高中數學課堂教學方式的探究和應用

陳明華

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）33-0156-03

一、問題提出

隨著課程改革的深入開展，中小學教師的教學方式有了很大改進，但在充分肯定成績的同時也應該看到，部分教師“滿堂灌”、“獨角戲”等現象。大力推進課堂教學改革，改變學與教的方式，改變教學方式，提高課堂效率，仍然是教學改革面臨的十分迫切的任務。本文以《方程的根與函數的零點》教學為例，研究“類比-歸納”教學方式，體現教學方式中的“特殊”與“一般”關系，強調學生的思考過程與參與體驗，探索總結提升數學思維。

二、理論基礎

從奧蘇泊爾的學習理論可以看出學習者學習新知識的過程實際上是新舊材料之間相互作用的過程，學習者必須積極尋找存在于自身原有知識結構中的能夠同化新知識的停靠點，并嘗試把新知識納入到已有的圖式中去，從而引起圖式量的變化的活動。如果要讓這個變化過程更加流暢自然、更加高效，就必須處理好新舊知識的聯系、呈現方式。教師必須在教授有關新知識以前了解學生已經知道了什么，并據此開展教學活動。

數學教學就是數學發現過程，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然后再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的，類比、歸納的效果離不開新舊知識形式。

三、特例和一般在教學中的應用

數學家們認為，類比是數學發現的重要源泉，波利亞在《怎樣解題》中指出“類比是一個偉大的引路人”.處理好類比歸納中的特殊與一般關系，往往會起到事半功倍的效果。

（一）立足特例，洞察本質，拓展外延

數學中的許多概念、知識結構有類似的地方，在新概念的提出、新知識的講授過程中，可以運用特殊到一般的類比的方法，因為被用于類比的特殊對象是學生所熟悉的，所以學生容易從新舊內容的對比中接受新知識，掌握新概念.在高中數學中，可通過類比法引入的概念十分多。

【案例一】：填空：（圖象、根、圖象與x軸交點由學生填空。）

問題1：從該表你可以得出什么結論？

生：一元二次方程的實數根即為相應二次函數圖象與x軸交點的橫坐標。

問題2：這個結論對一般的f（x）=ax2+bx+c（a≠0）和方程ax2+bx+c=0成立嗎？

生：也成立。

問題3：其他的函數y=f（x）與方程f（x）=0之間也有類似的關系嗎？

生：方程f（x）=0的實數根即為函數y=f（x）圖象與x軸交點的橫坐標。

概念：對于函數y=f（x），把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點。

通過對特殊的一元二次函數與x軸交點與相應方程的根的關系，去探索一元二次函數與x軸交點與相應方程根的關系，最后推廣到一般函數也有相同關系。該過程的設計逐層提升，讓學生反復理解函數的零點與方程根之間的關系，等到零點概念推出也順理成章。

（二）對比新舊，重視遷移，舉一反三

眾所周知，數學問題不勝枚舉，解題的方法也是千差萬別，類比思想存在于解決數學問題的過程中，是幫助我們尋找解題思路的一種重要的思想方法。當我們遇到一個“新”的數學問題時，如果有現成的解法，自不必說；否則解決問題的關鍵就是尋找合適的解題策略，看能否想辦法將之轉化到曾經做過的、熟悉的、類似的特殊問題上去思考。通過聯系已有知識給我們的啟發，將已有知識遷移到新問題中來，把解決已有問題的特殊方法移植過來，為所要解決的問題指引方向，幫助學生舉一反三，提高解題能力，也可以引導學生探索獲取新知識，提高學生的創新思維能力。

【案例二】：例2：求函數f（x）=lnx+2x-6的零點的個數，確定零點區間[n，n+1]（n∈Z）.

解法1（借助計算工具）：用計算器或計算機作出x、f（x）的對應值表和圖象.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f（x） -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表或圖象可知，f（2）<0，f（3）>0，則f（2）f（3）<0，說明函數f（x）在區間（2，3）內有零點.

問題6：如何說明零點的唯一性？

又由于函數f（x）在（0，+∞）內單調遞增，所以它僅有一個零點.

解法2（估算）：估計f（x）在各整數處的函數值的正負，可得如下表格：

1 2 3 4

f（x） - - + +

結合函數的單調性，f（x）在區間（2，3）內有唯一的零點.

解法3（函數交點法）：將方程lnx+2x-6=0化為lnx=6-2x，分別畫出g（x）=lnx與h（x）=6-2x的草圖，從而確定零點個數為1.繼而比較g（2）、h（2）、g（3）、h（3）等的大小，確定交點所在的區間，即零點的區間.

由圖可知f（x）在區間（2，3）內有唯一的零點.

通過例題分析，能根據零點存在性定理，使用多種方法確定零點所在的區間，并且結合函數性質，判斷零點個數。

（三）運用類比，構建聯系，形成框架

通過類比教學，可以讓學生加強不同知識板塊之間的聯系，能使學生在已有知識基礎上由陌生到熟悉，由淺入深，由直觀到抽象地學習新知識，有利于更好地理解新知識的內涵，符合教學的“循序漸進”原則。

心理學家們認為，孤立的知識容易遺忘，而系統化的知識有利于理解和掌握，也易于遷移和應用.把舊知識與新知識結合起來形成系統的知識體系，通過這樣的類比，既鞏固了原有知識，又加強了對新知識的理解，形成了系統化的知識建構，便于學生理解、記憶和應用。

【案例三】：例2.已知函數，且函數恰有3個不同零點，則實數a的取值范圍（ ）

A.（-∞，8]B.（-∞，4]

C.[0，4]D.（-∞，0）

解：將方程化為，分別畫出與的草圖，通過平移直線 ，從而確定零點個數為3.再觀察直線縱截距得出a的取值范圍。

所以，，選D。

點評：該例題已知函數零點個數，確定函數中參數的取值范圍。將函數轉化為方程，分別畫出與的草圖，通過平移直線，

零點的概念和應用都轉化為方程問題，利用數形結合。通過本例讓學生清楚了解到函數零點在數學基本框架中的位置，在平時的題目中該如何轉化，利用什么樣的思想方法。

四、方法實施注意點

實際教學運用中特殊到一般的類比歸納方法不應該僅僅是形式上的推出，而應該充分挖掘特殊問題解決過程中的一般本質內涵，又要有效防止特殊到一般的負遷移影。

（一）特殊一般，要避免慣性思維

在探究零點存在定理的過程中，我們設置了這樣一個引例：

【案例四】：問題5：函數y=f（x）存在零點的條件是什么？.下圖是冰在常溫下融化時溫度變化圖，假設冰的溫度是連續變化的，請將圖形補充成完整的函數圖象（其中一種）。

請問：這段時間內，是否一定有某時刻冰的溫度為0度？

問題6：函數y=f（x）在區間[a，b]上有f（a）f（b）<0，那么函數f（x）在區間（a，b）上是否一定存在零點，請舉例說明。

生：（部分同學畫出分段函數）。

生：“連續不斷”是必不可少的條件。

點評：在特殊例子的圖象分析過程中，學生能夠發現函數y=f（x）在區間[a，b]上零點存在的條件是f（a）f（b）<0。但也忽視了函數的多樣性，可能出現的圖形很多，簡單的認為是一個增函數。所以將特殊圖形和函數下的結論遷移到一般結論，形成了充分性與必要性層面的錯誤。教學時教師應該說明研究的前提是圖象連續的函數，還要提出針對性的辯析問題防止學生在研究特殊例子時帶來的負遷移，讓學生通過舉其它反例（如反比例函數、分段函數）等方式，認識到特殊例子中函數圖像的特殊性。又如在學生根據特殊函數猜想出一般判斷零點有且只有一個必須滿足的三個條件后，教師可提出一定要滿足這三個條件才能得到函數零點有且只有一個嗎？通過合作討論等方式讓學生明確其邏輯關系。

（二）類比運用，要滲透數學思想

在案例二中對于不能直接求解的超越方程，解法一直接通過列表描點的方法來畫圖，在其過程中先從表中取值利用零點存在定理得到有零點，從形式上看是畫圖從圖象找零點的方法，也有利用零點存在定理來解決，從本質上說它們是相同的，因為零點存在定理本身就是由圖象得到的；然后再根據函數的增減性得到直觀的函數圖象整體，從而得到函數的零點有且只有一個。解法二是解法一的改進版，解法一注重函數圖像的應用，而解法二則更注重零點所在區間，在解題中更有操作性，對課本例題中涉及的方法很好的歸納、應用。解法三是先將函數的零點轉化為與上面不同方程的根的問題，再將超越方程的根的個數轉化為兩個函數圖象的交點，在這兒需要引導學生理解其等價的關系（交點即為縱坐標相等時的橫坐標，也即為方程的根），還要引導學生對兩種解法進行比較，顯然通過方程的變形化歸為基本函數來畫圖會更簡潔，體現數形結合思想。

（三）特殊反例，加深結論理解

在零點存在性定理中用到有如下設置：

【案例五】：零點存在性定理：

如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

〖課堂小練〗下列函數在相應區間內是否存在零點？

（1）f（x）=x3-3x+1，x∈[1，2]；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈[0，1].

概念反思：判斷正誤，若不正確，并用函數圖象舉出反例.

（1）y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）·f（b）<0，則f（x）在區間（a，b）內有且僅有一個零點.

（2）y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）·f（b）≥0，則f（x）在區間（a，b）內沒有零點.

（3）單調函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）·f（b）<0，則f（x）在區間（a，b）內有且僅有一個零點.

請一位學生板書反例，其他學生補充評析，例如：

經過之前的引導鋪墊，得出零點存在性定理，利用課堂小練習判斷在相應的區間是否存在零點，是對定理的應用，讓學生清楚感覺到零點的存在只需要函數連續不斷，對應端點函數值相反，有助于學生對定理的應用。學生似乎對該定理有很好的理解，但是由于該定理是一個充分不必要條件，學生由于慣性思維往往會有很多想當然的“理解”。這時，利用概念反思，判斷正誤。從定理反面、必要性上設置問題，激發學生思考，讓學生深刻體會到定理的特殊性。即定理只講明零點的存在性而并沒有具體幾個零點；如確定單調性則零點唯一；該定理只是說明了零點存在的一種情形。

（四）特殊例子，要有較強的指向性

在課堂練習中，教師讓學生完成如下：

【案例六】：練習：〖課堂小練〗下列函數在相應區間內是否存在零點？

（1）f（x）=x3-3x+1，x∈[1，2]；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈[0，1].

【案例七】：〖課堂小練〗下列函數在相應區間內是否存在零點？

（1）f（x）=x3-3x+1；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，

點評：上面兩小題設置在零點存在性定理之后，其實這兩個小題是有密切聯系的，上述兩個方程都是不能直接求解的超越或高次方程，雖然它們的形式不同，但它們是同一類問題，解法是利用函數零點存在性定理判斷，教師授課時也可以通過借助多媒體畫圖觀察函數圖象，再利用零點存在定理得到零點所在的大致區間；這兩個小題設置到例題1解法3之后學生可以通過方程的移項變形，轉化為比較兩個基本函數的圖象交點來解決，這樣更有利于圖象的直接畫出。因此教學中應該引導學生將特殊的兩個小題的解題過程作比較，明確兩種解法的實質，也有助于變形方向的把握和變形方式的熟練掌握；這樣的聯系歸類也有利于數形結合思想的進一步滲透。雖然是同樣的兩個小練習，稍加修改，卻扮演不同的角色，在零點存在性定理后的作用是練習鞏固，目的在定理的應用上，在例1解法3后目的是解題思想方法，起到不同的作用。

學無定法，教亦無定則。如何讓學生在課堂當中輕松自如的接受概念、數學方法、數學思想，這就是教學的本質。

參考文獻：

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[4]陳心五.《中小學課堂教學策略》（第二版）.人民教育出版社.2007年3月第2版.