淺談對混合運算的分析及教學處理

許明堅

[摘要]混合運算教學要尊重教材，又要尊重學生的認知規律，創造性地使用教材，精心設計學生的學習活動。教學中一要處理好數學知識與生活經驗的關系，二要處理好人為規定與科學道理的關系，三要處理好自主探究與數學結論的關系這三種關系。

[關鍵詞]混合運算 知識分析 教材分析 教學處理

一、對混合運算的知識分析

混合運算就是把加、減、乘、除這幾步運算混合成一道幾步計算的算式，這樣的算式不是憑空想到的，而是應解決問題的需要而產生的，比較復雜的問題需要幾步計算才能解決，一般情況下是列一個一步計算的算式算出得數，再列一個算式算出得數……直到把問題解決。為了簡便需要把幾個分步算式合并成一道綜合算式，這樣的算式就是一道含有幾步的算式的綜合算式，混合運算就此產生。由于混合運算是種含有幾步不同的運算，到底先算什么運算、再算什么運算？這就牽涉到按什么順序進行計算的問題。混合運算的運算順序是有規定的，這個規定既有科學道理，又有人為因素，舉兩個例子說明：

問題1：一枝鋼筆8元，一本筆記本5元，張老師買15本筆記本和一枝鋼筆，一共需要多少元？解決這個問題要線算15本筆記本多少元，5×15=75元，再算一共多少元，8+75=83元，列綜合算式是8+5×15，根據解決這個問題的計算步驟：要先算15本筆記本多少元，是用5×15計算的，所以計算8+5×15時要先算乘法后算加法。有除法和減法的道理一樣，因此在沒有括號的混合運算是先算乘、除法，后算加、減法。

問題2：四（1）班有23個男生和25個女生，體育課上要把全班同學平均分成4個小組進行活動，平均每組多少人？解決這個問題要先算全部多少人，23+25=48人，再算平均每組多少人，48÷4=12人，解決這個問題時改變了先乘除后加減的運算順序，怎么辦？那就用括號幫忙，列成綜合算式是（23+25）÷4，所以人們就規定：在有括號的算式中，要先算括號里的后算括號外的。

由上可以得到小學里的混合運算的運算順序是這樣的：一是只有加、減（或乘、除）法，按照從左向右的順序進行計算，二是在沒有括號的混合運算中，先算乘、除法，后算加、減法；三是在有括號的混合運算中，要先算中括號里的算式，再算小括號里的算式，最后算括號外面的算式。

二、對混合運算的教材分析

過去教材的計算一般都是教材直接出示計算題，這種教材的最大弊端是：隔離了計算與實際生產、生活的聯系，是為學習計算而教學計算。事實是怎樣的呢？世界上絕沒有無緣無故的計算，計算都是伴隨著解決問題進行的，人們在解決實際問題時常常需要計算，因此計算就自然產生了。所以新教材改變了傳統的編寫方式，在計算教學之前都安排一個需要解決的實際問題，應解決問題的需要引出計算，混合運算也不例外。如：四年級上冊30頁的混合運算，先編排了一個文具店的生活情境，提出要解決的問題“小軍買3本筆記本和一個書包，一共用去多少元？”，先分步計算解決：先算3本筆記本多少錢，5×3=15元，再算一共用去多少元，15+20=35元（或20+15=35元），合并成一道算式是5×3+20或20+5×3，怎么計算5×3+20或20+5×3呢？再對照解決這個問題的步驟得出：不管乘法在前還是在后，都要先算乘法后算減法。

三、對混合運算的教學處理

義務教育課程標準數學教材計算的編排特點是：創設情境-尋找數學信息-提出問題-列式計算-研究算理（運算順序）-問題解決-歸納計算方法（運算順序）。因此混合運算教學既要尊重教材，又要尊重學生的認知規律，創造性地使用教材，精心設計學生的學習活動，這在教學中必須處理好以下三個關系。

1.處理好數學知識與生活經驗的關系

數學知識是嚴謹規范的，生活是復雜多變的。然而小學生學習的數學知識都是來源于生活的，是對解決生活問題所使用的方法歸納、總結和升華。混合運算的運算順序是解決生活問題的方法總結，而生活是幫助學生理解混合運算順序的抓手，所以在教學混合運算時，要牢牢扣住解決問題的過程，根據解決問題的過程理解人為規定的道理，進而理解和掌握混合運算的順序。

2.處理好人為規定與科學道理的關系

人們對數學知識的每種規定不是隨意的，都有它的道理的，這樣的規定一般都要尊重人的生活習慣，順應人們的思維，便于認識、理解和掌握。混合運算順序的人為規定也是如此。教學時既要關注運算順序的認為規定，又要關注人們這樣規定的道理，要用科學的道理解釋運算順序的人為規定，使學生不但運算順序其然，而且還要讓學生知混合運算順序之所以然。

3.處理好自主探究與數學結論的關系

學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現，因為這種發現、理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。混合運算的運算順序雖然人為規定比重偏大，但是人為規定卻遵循的人們生活習慣，有其自身的科學道理，所以教學時不能直接告知學生運算順序，而應當在自主探究的基礎上體驗和感悟運算的順序。如：教學四年級下冊39頁的有中括號的混合運算時，可以這樣處理：

（1）出示39頁主題圖，讓學生觀察主題圖，收集圖的數學信息。

（2）讓學生提出問題，最后定格在“合唱組人數是美術組的幾倍？”先讓學生思考：這個問題分幾步計算？第一步求什么問題？怎么列式計算？8+6=14人；第二步求什么問題？怎么列式計算？14×2=28人；第三步求合唱組人數是美術組的幾倍？84÷28=3。

（3）研究怎樣列綜合算式，學生可能會列出：84÷（8+6）×2，84÷[（8+6）×2]……

如果出現：84÷（8+6）×2，出現以下情況教師應這樣引導：

①沒有學生反對，則問：按照這樣的列式是先算什么？再算什么？最后算什么？與剛才的解決問題的計算順序一樣嗎？怎么辦？

②如果有學生提出異議，就讓學生說理由，歸結到要加中括號上來。

如果出現84÷[（8+6）×2]，就問：“[]”是什么符號？它表示什么意思？不加中括號可以嗎？為什么？

這樣教學就無需單獨教學有中括號的混合運算的運算順序了，把運算順序前置到綜合算式之前，不是原來的先有混合運算后有運算順序，而是先確定運算順序，再讓學生想辦法創造出這樣的綜合算式。由于綜合算是是學生按照運算順序“創造”出來的，因此混合運算的運算順序自然深深地刻畫到了學生的心田，無需進行重復教學。