關注方程本質 在體驗感悟中建模
——《用方程解決問題（例2）》教學實踐與思考

張麗萍

【緣起】

嘉興市小學數學六年級畢業檢測卷上有這樣一道題：足球上白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，共有黑色皮多少塊？

此題照搬了人教版五年級上冊教材第74頁例2的內容。

筆者對本校7個班共293名學生的解題情況做了調查，發現共有113人次出現或多或少的錯誤。

【分析與思考】

從調查情況來看，大部分學生在面對此類問題時，基本都采用了方程法來解答，說明他們還是可以在問題中識別方程的模型并運用相應策略正確解答。同時，調查也反映出仍有30%左右的學生對運用方程解題不敏感、不適應，方程式的表達與計算能力不符等問題。最突出的表現是由于原來的認知習慣，運用算術方法解決問題的影響較深刻，學生應用方程意識不強，甚至會出現一定的排斥，沒有形成自覺運用方程的意識。

基于這樣的現狀，筆者認為，學習新知時的建模至關重要，只有關注數學本質，讓學生自覺探究、構建模型，運用方程思想解決問題，在體驗中感悟，在感悟中創新，把原本客觀的問題解決內化為自己獨到的解題思想方法進而形成技能才是數學學習的最佳方式。現以《用方程解決問題（例2）》談談個人的嘗試與思考。

一、感悟體驗前聚焦問題——凸顯本質

（一）解讀問題背景，找準學習起點

修訂教材將解稍復雜方程與列方程解決問題分開教學，這樣的改變是為了適當分散原來一節課兼顧列方程和解方程兩個教學難點，便于突出等量關系的分析，有利于讓學生充分體驗列方程解決問題的過程，突出列方程解決實際問題的特點與優勢，讓學生在解決問題的時候擺脫算術思維方法中的某些局限性，尤其是逆向思維的解決問題，這樣可以降低學生學習的難度，體會蘊含在方程中的建模思想、化歸思想，強化數學應用意識的培養，也為學生進一步學習如六年級分數百分數的解決問題及今后的代數知識做好認知的鋪墊。

（二）基于學情，定位學習目標

學生在學習時會有兩個障礙：一是找準等量關系，并根據等量關系列方程解答；二是體驗列方程解決實際問題的優越性，即從逆向到順向思維轉變的問題。克服這兩點，將是學生數學思想方法認識上的又一次飛躍。

基于這樣的學情，我將教學目標定位在：通過畫圖，找到等量關系，正確列方程解決問題；借助數形結合，溝通線段圖—等量關系—方程三者之間的聯系，初步體會列方程解決問題的特點與優越性；提高學生數學建模、分析問題、解決問題的能力等。

二、感悟體驗中滲透思想——建立模型

為達成目標，每一個教學環節的把握都得深思熟慮，這樣才能發揮教學的最大價值。我們可以從問題情境——建立模型——應用模型三方面入手，讓學生經歷數學建模的過程，積累構建模型的活動經驗，初步形成模型思想。

（一）主動學習，以學定教

1.鎖定典型資源，為學而導。

在充足的時間里，學生自主審題、分析數量關系、獨立解決。由于個體思維能力的差異，原認知逐漸顯現，作為教師需用一雙敏銳的眼睛去捕捉具有代表性的典型資源，通過收集，大致有這么幾種方法：

讓學生板演解題方法并自由說說是怎么想的，表述思考過程，教師不評價對錯。在這樣的交流過程中推進學習，引發學生自覺對于不同方法的思辨，為以學定教奠定基礎。同時，通過交流學習能夠幫助學生在有限的時間里，獲取更多的方法，找到合適、有效的解決問題的方法，進一步拓寬學生的思維空間，提升學生的學習能力。

2.引發再思考，為學而調。

《數學課程標準》關于解決問題的目標之一是學生“初步形成評價與反思意識”，面對各種方法與思考過程的表述，教師提出疑問：這么多方法，答案各不相同，我們該怎么辦？引發學生主動驗證自己的推理過程是否正確，此舉既培養了學生檢驗的習慣，用檢驗結果及時反思自己的解題策略，尋找錯誤根源，重審關鍵信息進行自我調整，把錯誤扼殺在搖籃里；又為最精彩的課堂生成埋下伏筆。

（二）基于等量關系，突破難點

1.任務驅動找等量關系。

列方程解決問題的關鍵是找等量關系。學生在之前各年級的解決問題學習中，已經初步積累了一些分析數量關系的經驗。但因為等量關系需要學生具備對數量間關系的理解與抽象概括的綜合能力，所以當學習列方程解決問題時，一部分學生因不能順利、正確地找到等量關系，而不能完成任務。

在以上的環節里，我以數形結合等任務驅動學生深入到問題的本質中去，同桌交流利用優生資源鎖定正確的方法，并簡要說明理由，以此為突破口帶動全班聚焦關鍵信息，從而找準等量關系。

2.萬象歸一表等量關系。

（1）各顯神通展多元。

算術解和列方程解決問題有一個共同的特點——基于等量關系，但在具體的表述上卻有一定的差異。讓學生二次探索的目的：一是利用已有的知識找出題目中數量間的相等關系；二是想辦法把這種關系表示出來。在表示問題中數量關系的過程里，讓學生自主尋找和表達等量關系的方法，文字描述、圖形、寫式子等都是等量關系很好的表征，旨在訓練學生的抽象思維能力。

如，有學生用一句簡單的話來表述——黑色皮塊數×2－4=白色皮的塊數；大部分學生用到了線段圖，也有學生想到了用式子和文字相結合的形式來表征。

（2）數形結合突重點。

面對多種等量關系的表征，優化就顯得很有必要。讓學生從結果到方法，重新思索表征的需要、表征的使用和價值，很快發現畫圖的優勢——直觀形象。然后以畫圖作為反饋重點，展示學生的作品（如圖1），讓學生自己說圖的意思。

（圖1）

解讀線段圖意義的過程就是找準等量關系的過程，適當追問學生先畫什么，強化黑皮作為單位“1”的印象，在此基礎上找準等量關系，如，黑色皮塊數×2－4=白色皮的塊數、黑色皮塊數×2－白色皮的塊數=4、黑色皮塊數×2=白色皮的塊數+4。這些相等關系就是方程的雛形，雖形式不一樣，但本質是一樣的，無論怎樣變化，黑色皮作為單位“1”始終不會變，找對了這個方向，學生就能順向思維，把黑色皮的2倍作為整體來思考，無痕中建立了方程模型。

3.更進一步固關系。

到這里，學生已基本明確了等量關系，給發生錯誤的學生一次糾正的機會，厘清錯誤原因，二次畫線段圖，同桌互查，能達到進一步深化與鞏固的效果。接著，乘勝追擊，讓學生自主評價黑板上的方法就一目了然了，甚至可能還會產生新的方法。學生認同方程方法時，適時指點一下方程解法的要求，并自主檢驗，總結出列方程解決問題的步驟，強化必要的規范，一步到位，又一次提高了學生的建模能力。

（三）由表及里,感悟思想

1.三維溝通,凸顯數學本質。

重視等量關系的辨析與建立，讓學生自主嘗試、畫圖支撐、圖式溝通等一系列教學手段都是為等量關系的建立與鞏固而服務。突破了這一點，那么六年級分數百分數問題就迎刃而解了。

畫好線段圖，找準等量關系，正確列出算式或方程后，我并沒有止步，而是再帶學生往里走一走，進一步探究“線段圖——等量關系——方程”三者之間的內在聯系，讓學生根據自己的理解在圖上指一指方程中 2X、-4、2X-4 以及算術中（20+4）、（20+4）÷2 在圖上是哪部分，分別表示什么意思。真正做到數形結合，無縫銜接。

2.方法對比,體驗順逆思維。

切身經歷了算術與方程兩種不同思維方式的解題過程，引導學生將兩種方法進行對比，說說感受進一步提煉不同方法背后的意義。將兩者進行對比的目的，是讓學生體會到算術解是逆向思維；方程解是順向思維，體現方程解法的特點。但是兩者又有共源，即等量關系，這是逆向與順向思維互相轉化的關鍵點。

3.理解本質，感悟方程思想。

著力放大探究過程，說一說、畫一畫、作對比、檢驗等，目的就是帶領學生體驗多種方法、經歷多元思辨。列方程的過程實際上是一個用數學符號提煉現實生活中特定關系的過程，也就是數學建模過程。讓學生嘗試將經歷的學習與思考過程進行歸納總結，掌握列方程解決實際問題的一般方法和步驟，強化必要的書寫規范，相對來講學生收獲的不僅僅是知識，還有更多的學習經驗，提高建模和解決問題的能力。

三、感悟體驗中拓展延伸——鞏固模型

（一）針對練習，循序漸進

1.找一找（等量關系）。

（1）一條1000米的公路，平均每天修x米，修了8天，還剩下440米。

（2）飼養場有母雞480只，比公雞的2倍少20只，這個飼養場公雞有幾只？

【思考：讓學生在兩個不同形式的問題中尋找等量關系，既有針對性地彌補了學生在等量關系確立時的陌生感，又鞏固了學生剛剛建立的數學模型。】

2.做一做。

（1）獵豹是世界上跑得最快的動物，速度能達到每小時110千米，比大象的2倍還多30千米。大象每小時跑多少千米？

（2）看圖，只列方程不解答。

【思考：以一文一圖形式呈現，既鞏固了學生剛剛建立的數學模型，又稍作變化豐富了ax±b=c類型的應用。】

3.連一連。

【思考：第三層次則是變式延伸，通過兩題的對比讓學生對所學知識進行重構，打破了不是本節課學了方程解就所有題目都要用方程的思維定勢，使例題的作用更加突出。這樣一個從立到破，再破再立的建模過程有利于學生對知識的串聯和加工，從而達到舉一反三的效果。】

（二）融合策略，內化創新

1.感悟中自由選擇。

畫圖、找等量關系都可以幫助我們整理條件和問題，思考數量關系，確立正確的解題思路。學生在獨立嘗試時，出現了許多不同的算法，只要結果正確，都是學生個性化的思考，應予以尊重，不輕易判別方法的優劣。至于算術解和方程解的各自特點與選擇，教師也不作硬性規定，而是讓學生在分析的過程中自主感悟，既尊重學生個性，又讓學生體會解決問題策略的多樣性。

2.融合中不斷創新。

知識的融合讓策略的使用更加靈活有趣，通過兩種方法的對比，學生客觀地指出二者的特點：方程在思維上確實容易，尤其是一些難以用算術方法解答但用方程思考能化繁為簡，便捷優越，但也有其麻煩之處，即每次都要寫解和設，解的過程也繁瑣；算術解在思維上逆向，思考起來麻煩，但算起來簡單。如果將二者有效融合就完美了。基于這樣的思考，有學生提出“用方程思想，算術方法”的策略，即利用方程的思維順向寫出問題中的相等關系，然后根據相等關系逆推出算術式，這樣就克服了兩者的弊端，在融合中創新。