泰曼-格林干涉圖仿真

趙 挺, 張擁軍, 呂道文

(蚌埠醫學院 公共課程部, 安徽 蚌埠 233030)

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泰曼-格林干涉圖仿真

趙 挺, 張擁軍*, 呂道文

(蚌埠醫學院 公共課程部, 安徽 蚌埠 233030)

根據泰曼-格林干涉儀原理，建立并設置了圖像對應矩陣的維數。依據光強分布公式設定矩陣單元，得到了光強分布數值矩陣。利用Origin9.0軟件進行了透鏡在不同像差時所對應的干涉圖像仿真。

Origin9.0軟件; 泰曼-格林干涉圖; 仿真

0 引 言

泰曼-格林干涉儀是在邁克爾遜干涉儀的基礎上演變而來的，一種用于檢測光學儀器質量的儀器，因具有較高的實用價值，故得到了廣泛的應用，常根據其形成的干涉圖像測定精密光學儀器(顯微物鏡、望遠鏡、高空相機)的波像差，并以此評價儀器的成像質量。通過實驗課研究這些干涉圖像的形成規律，可以進一步鞏固和提升理論課的教學效果。由于儀器精密易損，故對實驗的環境、操作都有較高要求，造成了開設相關實驗課的困難。近年來，讓學生通過計算機編程對圖像進行模擬，成為一種輔助傳統教學模式的手段[1-3]，但其要求操作者必須具備編程基礎，無形中提高了學習的難度。Origin作為一款常見的科學數據處理軟件，操作方便,通過簡單步驟便可實現對干涉圖像的仿真[4]。整個過程避免了復雜的編程，方便課堂演示或課后自學。

1 仿 真

1.1 原理

光學系統的波像差[5]常作為評價像質的依據，其主要通過光波波前的相位分布來體現，而光波強度一般不受其相位分布的影響，故人眼無法直接觀察到后者。利用相-幅轉化的方法(即將相位轉化為振幅)可將相位分布的情況顯示出來。根據泰曼-格林干涉儀和斐索干涉儀的原理[6]，兩相干點光源發出的光波相互干涉時，接受屏上出現直線型干涉條紋。當兩光源在O點重合時，接受屏上無干涉條紋。當在其中一束光波上加載因像差而引起的相位差時，接受屏上出現新的干涉圖像。由于加載的相位差單純由像差引起，故此干涉圖像即為通過相-幅轉化方法獲得的像差圖像。當加載不同的相位差時，就會形成相對應的像差圖像。 光波干涉原理如圖1所示。

圖1 光波干涉原理圖

圖1中相干點光源S1、S2與接受屏上P點的距離分別為r1、r2，O點與接受屏的距離為L，S1、S2所發出球面波在P點的復振幅分別為U1、U2，當S1、S2重合于O點時，r1=r2=r，則[1]：

由圖1可知，式(1)中的r為

式中：x，y----P點在接受屏上的坐標。

當在其中一束光波上加載像差W后，其在P點復振幅可表達為：

取k=2π/λ，設光強I0=4A02，則此時屏上的光強分布為：

式(4)即是干涉圖像中光強的分布公式。

依據Kingslake的方法對泰曼-格林干涉圖的分析[5]，當只有初級像差時，光學系統波像差函數為：

W(x,y)=A(x2+y2)2+By(x2+y2)+

C(x2+3y2)+D(x2+

式中:x，y----光瞳面上坐標,入瞳半徑歸一化為1；

A，B，C，D----分別為球差、徑向彗差、像散、離焦系數；

E，F----繞坐標軸傾斜的系數。

以上系數皆以波長為單位。

將式(5)中的各項代入式(4)(泰曼-格林干涉圖所反映波像差為光學系統波像差的兩倍，式(5)各項在代入時都需擴大一倍)，即可確定各種像差(球差、彗差、像散)以及調整狀態(離焦、傾斜)對應干涉圖像的光強分布情況。通過分析這些圖像，有助于在測定實際光學儀器時，判斷其像差大小。

1.2 方法

根據原理，按照如下步驟進行仿真：

1)建立并設置圖像對應矩陣的維數(像素點數)，x、y范圍(顯示區域)。

2)依據光強分布公式設定矩陣元，得到光強分布數值矩陣。

3)繪出圖像。

以無傾斜時具有徑向彗差的透鏡對應干涉圖像的仿真為例，首先打開Origin9.0軟件，依次點擊File/NEW/Matrix，建立矩陣。選擇Matrix/Set Dimension，在出現的對話框中輸入矩陣維數為(1000，1000)，x、y的取值范圍皆為[-1，1]。

將式(2)和式(5)中徑向彗差對應項代入式(4)得：

I= (U1+U3)·(U1+U3)*=

設定I0=1、L=1(仿真其他圖像時，此二項設定不變)，取B=5(單位為波長)。因為多數光學成像儀器都是旋轉對稱系統，所以與接受屏中心O′的距離大于光瞳半徑R(歸一化后，R=1)的區域，其光強應設定為零，故點擊Matrix/Set Values，輸入公式：((x^2+y^2)^0.5>1?0:((cos(10*pi*y*(x^2+y^2)))^2/(x^2+y^2+1)))^2)/(x^2+y^2+1)),點擊“OK”，得到光強分布數值矩陣。點擊“plot/Count/Gary Scale Map”，獲得對應干涉圖像。

1.3 結果

依照以上方法，我們得到了透鏡在具有不同像差、調整狀態時，所對應的干涉圖像，如圖2～圖8所示。

1.3.1 球差仿真

設定球差系數A=5，以及不同的離焦系數D，得到無傾斜時(E=0，F=0)具有球差的透鏡，在近軸焦點(D=0)、中間焦點(D=-5)、邊緣焦點(D=-10)的干涉圖像(圖2(a)、(b)、(c))。又設定E=5和F=0，得到以上3種情況在傾斜時的干涉圖像(見圖2(d)、(e)、(f))。

1.3.2 彗差仿真

取彗差系數B=5、離焦系數D=0或D=5、傾斜系數E=F=0，獲得具有彗差的透鏡處于無傾斜的狀態下，在近軸焦點處以及存在離焦時的干涉圖像(見圖3(e)、圖4(e))，處于兩者四周的圖像表示沿不同方向傾斜產生的效果(E=±5，F=±5)。

圖2 具有球差的透鏡的干涉圖像

圖3 具有彗差的透鏡在近軸焦點處干涉圖像 圖4 存在離焦時具有彗差的透鏡的干涉圖像

圖5 具有像散的透鏡在匹茲瓦焦點處干涉圖像 圖6 具有像散的透鏡在弧矢焦點處干涉圖像

圖7 具有像散的透鏡在最佳焦點處干涉圖像 圖8 具有像散的透鏡在子午焦點處干涉圖像

1.3.3 像散仿真

圖5～圖8分別模擬一個具有像散(C=3)的透鏡，分別在匹茲瓦焦點(D=0)、弧矢焦點(D=-3)、最佳焦點(D=-6)以及子午焦點(D=-9)處，波前向各個方向傾斜時(E=±5，F=±5)，所形成的干涉圖像(見圖5(e)～圖8(e)皆對應無傾斜狀態，即E=F=0。

2 結 語

利用Origin軟件對典型的泰曼-格林干涉圖進行仿真模擬，所得圖像清晰美觀，與文獻[6]中圖例相比較，兩者非常吻合，模擬過程簡單、快捷、直觀，方便教師針對不同像差對應干涉圖進行演示和分析，增強教學效果。同時也可讓學生通過自學的形式，在仿真圖像的過程中驗證、總結其中規律，提高學習效率。

[1] 曲偉娟.基于Matlab的光學實驗仿真[D].西安：西北工業大學,2004:39-46.

[2] 師青梅,常宇.Matlab仿真技術在大學物理光學實驗教學中的應用[J].中國電力教育,2012,15:78-79.

[3] 王郡婕,王成,楊艷妮,等.幾何作圖和MATLAB仿真模擬在眼視光應用光學教學中的應用[J].海南醫學,2015,16:2472-2474.

[4] 吳肖，廖文，何艷陽.Origin 在大學物理實驗中的應用[J].中國現代教育裝備，2008(10):32-34.

[5] 馬科斯·玻恩,埃米爾·沃耳夫.光學原理[M].北京:電子工業出版社,2005:193-205.

[6] 蘇大圖.光學測試技術[M].北京,北京理工大學出版社,1996:132-143.

Twyman-Green interferograms simulation

ZHAO Ting, ZHANG Yongjun*, LYU Daowen

(Department of Basic Course, Bengbu Medical College, Bengbu 233030, China)

Twyman-Green interference principle, the dimension of image related matrix is built. Matrix cells are set based on light intensity distribution formula to get obtain the light intensity distribution matrix. With Origin9.0 software, the interference images are simulated when lens are working in different aberrations.

Origin 9.0 software; Twyman-Green interferograms; simulation.

10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2017.1.18

2016-10-20

蚌埠醫學院自然科學基金重點項目(BYKY1626ZD)

趙 挺(1981-)，男，漢族，安徽蚌埠人，蚌埠醫學院助教，碩士，主要從事光譜分析方向研究,E-mail:guangmingstar@163.com. *通訊作者：張擁軍(1977-)，男，漢族，安徽合肥人，蚌埠醫學院講師，碩士，主要從事眼視光學、醫學物理學、心理物理學方向研究,E-mail:j1609@163.com.

O 435.2

A

1674-1374(2017)01-0093-05