串聯整合方法分析比較拓展
——《雞兔同籠》教學實踐與思考

王相春

【教學內容】

浙教版三年級《雞兔同籠》。

【教學過程】

一、談話引入

1.引出數學特征。

師：同學們，這是生活中的雞和兔（圖片）；在畫家的筆下，是這樣畫的（美術作品）；而研究數學問題的人用“”來表示雞，這表示什么意思呢？

生：雞有一個頭，兩只腳。

師：那么兔該怎么表示呢？

生：再添上兩只腳，因為兔有一個頭，四只腳。

2.看圖編題。

生：有兩只雞，兩只兔；4個頭，12只腳。

師：現在每人畫一幅圖，請同桌猜猜是什么意思。

師：今天我們就來學習《雞兔同籠》問題。

【思考：從畫家筆下的雞兔到數學中的雞兔，感悟數學更關注的是事物的數量特征，體會數學思維的抽象性和概括性。在圖像和語言之間進行溝通轉換，為接下來課程的展開做好必要的鋪墊。】

二、解決問題方法的多樣化

1.分步呈現例題。

師：一個放雞、兔的籠子，從上面數，有8個頭，雞和兔可能各有幾只？

（教師引導，學生討論交流）

生：雞兔分別是 0、8；1、7；2、6；3、5；4、4；5、3；6、2；7、1；8、0。

師：剛才大家列舉了雞和兔的各種情況。那么籠子里到底是幾只雞幾只兔能確定嗎？

生：不能，還缺少條件。

師：（補充條件：從下面數，共有26只腳）現在題目中有哪些數學信息？

生：有8個頭，26只腳。雞有2只腳，兔有4只腳。

師：我們一起把條件用式子表示出來。

師：現在你能確定有幾只雞和幾只兔嗎？

（學生嘗試解決問題，教師巡回，收集典型解法）

2.學生反饋。

（1）畫圖法。

師:請這位同學把你的想法說一說。

生：我先畫了8只兔，發現有32只腳，多了6只腳，所以去掉3只兔，變成3只雞。

師：檢查一下，腳的只數是否正確？

生：5×4=20（只），3×2=6（只），20+6=26（只）。正確！

師：下面請另一位同學重新畫一下，看仔細了！

生：先畫：

再畫：

最后修改成：

【思考：三年級學生尚不能完全脫離實物，抽象地進行邏輯演繹，經過一定概括的“圖像”形象直觀，便于操作，可以有效地幫助學生理解和分析數學事實或現實情境中的數量關系。基于自身認知水平對問題本質進行再表征以利于進一步開展推理、解決問題的過程，是解決問題的關鍵環節，學生應當經常有機會經歷這樣的過程，形成分析問題、解決問題的經驗。展示學生的畫圖作品，都蘊含了“假設-調整”的因素。】

（2）嘗試猜測。

師：這位同學你又是怎么想的呢？

生：有8個頭，我先嘗試4只雞4只兔的情況，算出腳有24只，不夠。再試3只雞、5只兔，腳有26只，成功了。

師：他是抓住“共有8個頭”這條信息，試著猜測有幾只雞幾只兔，算出腳的只數來檢驗，如果不對，再調整。

（3）列表法。

①呈現學生作品。

生：他是把每一種情況的腳的只數都求出來，然后選中“26只腳”的情況。

②觀察，發現規律。

師：他列得很完整。仔細觀察，你發現其中有什么規律嗎？

生：腳的只數都是2只2只增加的。

生：每次減少一只雞，增加一只兔，就會增加2只腳。

生：因為雞有2只腳，兔有4只腳，一只雞變成一只兔，所以要加2。

師：從左往右看，把1只雞換成1只兔，都會增加2只腳；從右往左看，把1只兔換成1只雞，就要減少2只腳。

③根據規律，跳躍列表，感知假設。

師：看這種假設，誰有好辦法找到答案？

生：從16到26，要想增加10只腳，就要把5只雞換成5只兔，所認雞是3只，兔是5只。

生：我可以給他補充算式：最開始8×2＝16（只），還缺：26-16＝10（只），1只雞換成1只兔只能增加2只腳，所以10÷2＝5（只），就要把5只雞換成5只兔，雞變成：8-5＝3（只），兔變成：0+5=5（只）。

師：下面再看這張表格，你會填嗎？

生：雞0只、兔 8只，總共有腳8×4=32（只），多了6只腳，這樣就要把兔換成雞，換一次就減少 2只腳，6÷2=3（只），所以雞有0+3=3（只）、兔有8-3=5（只）。

師：同學們，學習中常常要回頭看。我們回頭看一看，剛才的列表與最開始的列表，有什么區別？

生：開始的麻煩，每個都要列，當知道規律之后，我們可以跳著列，這樣比較快。

生：區別是我們找到了規律，利用規律就可以預算出答案。

【思考：有意識地選取典型性的學生作品，引導學生開展聚焦與分析。觀察表格中的數據，先發現“+2”或“-2”的現象，再究其原因，突出1只雞（兔）換成1只兔（雞）所帶來的腳數變化。進一步啟發學生利用這種變化規律，把開始的“一一列舉”法優化成“跳躍調整”法，并在解釋“跳躍調整”策略的過程中，啟迪出“算術假設”的思路。】

（4）感悟方法之間的聯系。

師：今天我們學了“畫圖”和“列表”兩種解決問題的方法。仔細看一看，它們之間有什么類似的地方嗎？

生：我發現畫圖的同學是先都畫成雞或者先都畫成兔。列表的第二個同學也是從全都是雞的情況開始的，表格里寫的數就對應這圖上的頭和腳。

生：我發現表格調整的時候，都是以“2只腳”為一份來進行調整，1只雞換成1只兔，腳數就加2，反之就減2。圖里也是這樣的，每次都是添上2只腳，或者劃去2只腳。

生：我覺得畫圖和列表都可以歸到同一個算式里去。都先假設8×2=16（只），然后都去驗算：26-16=10（只），要想辦法增加10只腳。根據規律1只雞變成1只兔只能增加2只腳，預算出：10÷2=5（只），要變5只，于是得到答案。

【思考：解決一個問題，可能有很多種方法，每一種方法各有特點，從而各有適用性。但因為都針對同一個問題，因此也必有共同之處。引導學生對方法進行比較，在比較的過程中感悟特點，溝通聯系，使學生對問題的理解、對數學學科特點的理解變得更加深刻。】

三、鞏固練習，感受模型

1.練習，感受數學文化。

師：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這道古代名題你讀懂了嗎？你能解決嗎？請同學們用自己喜歡的方法試試看。

2.再次練習，感知模型。

題目一：有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？

題目二：5角的硬幣和1元的硬幣共有20枚，價值16元。其中5角硬幣有幾枚？1元的呢？

師：這些問題與“雞兔同籠”問題有關聯嗎？

生：題目一龜就是兔，鶴就是雞。題目二1元硬幣就是兔，5角硬幣就是雞。

師：看來“雞兔同籠”問題不只是說雞和兔的事，也可以變化出很多不同的情境，像剛才兩道題都能夠找到“雞和兔”的影子。“雞兔同籠”實際上只是一類問題的模型！

3.布置作業。

編一個有趣的“雞兔同籠”問題。（注意不用“雞”和“兔”！）

【編輯點評】

王相春老師這節課值得借鑒的有以下三點。

首先，面對全班學生上課，宜適當減緩學習的坡度。具體包括：1.放低起點。問題討論中需要用到的一些符號、語言都先做鋪墊。這樣能保證大部分學生都能夠順利進入問題情境，參與問題解決的過程。2.在學生獨立解題時，積極巡查，準確判斷學生的認知情況，結合本課的重點有選擇、有順序地講評學生作品，層層落實和推廣關鍵知識和重要方法。3.差異化作業。解題和編題練習都允許學生作個性化的選擇和表現，思維能力弱一點的，模仿程度高一些；思維水平高的，可以作較大的變式。大家都感受到自己的收獲，都有成功的體驗。

其次，做好“多元展示”與“必要溝通”，有意識地提高學生的認知概括水平。從不同的角度切入問題，用不同的表征再現問題，循不同的路徑推理問題，等等，都可能帶來解題方案的不同。展示不同的方案，能拓寬學生的思路，且在聽取方案的過程中，學生也在進一步熟悉問題，增進對問題的理解。但是課堂不應就此打住，“用自己喜歡的方法想”只是個性化學習的一部分，教師在系統學習的過程中還要引導學生去思考和發現不同方法之間千絲萬縷的聯系，對方法做進一步的概括和分類。這是學生不能自覺達到的認知高度，也正是需要教師去主動引導的地方。

這節課，王老師不僅引導學生解決具體的“雞兔同籠”問題，更提出高一層次的反思性問題：“畫圖和列表之間有什么相似的地方？”“這些問題與‘雞兔同籠’有關聯嗎？”通過這些問題的討論，學生就能跳出亦步亦趨、就題解題的窠臼，透過問題情境關注問題結構，掌握“雞兔同籠”的數學模型以及“假設”的思想方法，獲得更強的學習主動性和能動性。