Mathematica模擬簡諧振動的合成

陳大偉 斯小琴

(安徽建筑大學城市建設學院 安徽 合肥 238076)

Mathematica模擬簡諧振動的合成

陳大偉 斯小琴

(安徽建筑大學城市建設學院 安徽 合肥 238076)

按照一維、二維相互垂直和三維相互垂直3種情形，運用Mathematica軟件分別模擬了同頻率和不同頻率的簡諧振動合成.直觀地顯示了不同情況下簡諧振動合成的結果，不但可以加深學生對各種簡諧振動合成的理解，還可以提高學生的學習興趣.

簡諧振動 Mathematica 合成

簡諧振動[1～3]是振動的最基本、最簡單的振動形式，是研究各種復雜振動的基礎.依據傅里葉級數和傅里葉變換，各種復雜的振動都可以看作是若干個或是無限多個簡諧振動的合成.在實際應用中，常常遇到一個物體同時參與兩個或更多個振動的情況.

對于一些簡單的簡諧振動的合成，可以經過數學運算得到合成振動的表達式[4,5]，但多數情形下，振動合成問題比較復雜，合振動的表達式難于得到，對于其運動的軌跡和隨時間而變化的規律更難于直觀想象.為了直觀地了解不同情形下簡諧振動疊加后合成振動的特點，本文利用Mathematica數學軟件[6,7]，對不同情形下的簡諧振動的合成進行了仿真模擬[8～11]，直觀地顯示了合成后的振動情況.

1 一維簡諧振動的合成

(1)同頻率簡諧振動的合成

兩個簡諧振動的表達式分別為

x1=A1cos(ωt+φ10)

x2=A2cos(ωt+φ20)

則其合振動為

x=x1+x2=Acos(ωt+φ0)

(1)

其中

A=[(A1cosφ10+A2cosφ20)2+

多個簡諧振動xi=Aicos(ωt+φi0)，其合振動為

x=∑xi=Axcos(ωt+φx0)

(2)

其中

兩個或多個一維同頻率簡諧振動合成，其合振動仍為簡諧振動，其頻率與分振動頻率相同，軌跡為余弦(或正弦)曲線，如圖1所示(實線為合振動).同頻率同方向簡諧振動的合成原理，對于討論光波、聲波以及電磁輻射的干涉和衍射有重要作用.

圖1 3個一維同頻率簡諧振動合成的軌跡

(2)不同頻率簡諧振動的合成

一般情況下，同方向不同頻率簡諧振動的合成不再是簡諧振動，而是復雜的振動.為突出頻率不同引起的效果，文中只討論同振幅、同相位、不同頻率的簡諧振動的合成.設兩個簡諧振動為

x1=Acos(ω1t+φ0)

x2=Acos(ω2t+φ0)

則合振動為

(3)

由式(3)可知，合振動不是簡諧振動，而是以振幅

做周期變化的高頻振動，其合振動周期稱為“主周期”.若兩個簡諧振動的頻率相差不大，即ω2+ω1?ω2-ω1，則合振動是一個振幅隨時間做周期性緩慢變化的高頻振動，這種振幅時大時小的現象叫作拍.拍現象在光學、電磁學等領域都有重要應用，如用光拍法測光速.

多個簡諧振動xi=Acos(ωit+φ0)，其合振動為

(4)

圖2 5個一維不同頻率簡諧振動合成的拍現象

利用Mathematica仿真模擬可知，兩個或多個一維頻率比為有理數簡諧振動的合振動雖然復雜但具有周期性,如圖3實線所示，而頻率比為無理數簡諧振動的合振動則既復雜又無周期性，如圖3虛線所示.

圖3 4個一維簡諧振動的合成

2 二維相互垂直的簡諧振動合成

(1)同頻率簡諧振動的合成

設質點同時參與兩個垂直方向上的簡諧振動

x=A1cos(ωt+φ10)

y=A2cos(ωt+φ20)

從分振動方程式消去參數t，得合振動的軌跡方程為

(5)

多個二維簡諧振動

x=∑xi=Axcos(ωt+φx0)

y=∑yi=Aycos(ωt+φy0)

其合振動為

(6)

由上式可知，二維相互垂直的同頻率簡諧振動的合振動的軌跡一般為橢圓，當相位差為零或π時為直線.軌道的具體形狀、方位和運動方向由分振動的振幅和相位差決定，如圖4所示.

圖4 二維同頻率簡諧振動合成

(2)不同頻率簡諧振動的合成

一般來說，二維相互垂直的不同頻率簡諧振動，由于它們的相位差不是定值，其合振動的軌跡不能形成穩定的圖案.但當它們的頻率比為有理數時，則合成振動的軌跡能形成一封閉的穩定的曲線，曲線的花樣和分振動的頻率比、初相位有關，得出的圖形叫李薩如圖形，如圖5(a)所示，而當頻率比為無理數時，合振動的軌跡不能形成封閉的圖形，如圖5(b)所示.

圖5 二維相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成

3 三維相互垂直的簡諧振動的合成

(1)同頻率簡諧振動的合成

設質點同時參與3個相互垂直方向上的簡諧振動

x=A1cos(ωt+φ10)

y=A2cos(ωt+φ20)

z=A3cos(ωt+φ30)

則其合振動為

(7)

多個三維簡諧振動

x=∑xi=Axcos(ωt+φx0)

y=∑yi=Aycos(ωt+φy0)

z=∑zi=Azcos(ωt+φz0)

其合振動為

(8)

三維相互垂直的同頻率簡諧振動的合振動與二維相互垂直同頻率簡諧振動的合振動相似，其合振動的軌跡為空間橢圓,如圖6所示.

圖6 三維同頻率簡諧振動合成

(2)不同頻率簡諧振動的合成

頻率不同時，三維相互垂直的簡諧振動，若頻率比為有理數時，其合振動的軌跡能形成穩定的閉合曲線，如圖7(a)所示.但當它們的頻率比為無理數時，合成的軌跡不能形成閉合曲線，如圖7(b)所示.

圖7 三維相互垂直不同頻率的簡諧接動的合成

4 結束語

本文從振動的基本形式簡諧振動出發，推導了各種情形的振動合成，并借助mathematica軟件，對不同情形下的簡諧振動的合成進行了仿真模擬，直觀地顯示了合成后的振動情況，有一定的參考價值.

1 趙近芳.大學物理學. 北京：北京郵電大學出版社, 2014.11

2 程守洙，江之永.普通物理學. 北京：高等教育出版社, 1999

3 漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程·力學.北京：高等教育出版社，1997.

4 藍海江.多個簡諧振動的合成.廣西科學院學報，2009，25(1)：22～25

5 康文秀.同頻率相互垂直簡諧振動的合成.物理與工程，2005，15(6)：26～31

6 梁明華，樊東紅，藍丹.基于Mathematica三維圖形的制作.貴州學院學報，2008，24(2)：128～130

7 陽明盛，林建華. Mathematica基礎及數學軟件. 大連：大連理工大學出版社, 2003

8 王寧星.拍圖形的對稱性.廣州大學學報(自然科學版)，2002，1(5)：89～91

9 楊繼先.相互垂直的諧振動合成軌跡研究.西華大學學報(自然科學版)，2008，27(2)：76～78

10 向根祥，石玉軍.簡諧振動合成的計算機模擬. 蘭州文理學院學報(自然科學版)，2015，29(1)：25～28

11 王穎輝.同方向同頻率諧振動合成初相位的確定.物理與工程，2010，20(3)：14～16

Simulation on the Synthesis of Harmonic Vibration Using Mathematica

Chen Dawei Si Xiaoqin

(Urban Construction College, Anhui Jianzhu University, Hefei,Anhui 238076)

In this paper, three cases are given of one dimensional, two dimensional and three dimensional, using mathematica to simulate the same frequency and different frequency synthesis of harmonic vibration. To display the different conditions of the synthesis of harmonic vibration results , not only can deepen students′ understanding of the synthesis of various harmonic vibration, but also can improve the students' interest in learning.

harmonic vibration; mathematica; synthesis

2016-10-31)