極小子群的擬中心性對群的冪零性的影響

高建玲

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009)

極小子群的擬中心性對群的冪零性的影響

高建玲

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009)

研究了4階循環(huán)子群擬中心且p階子群含于超中心的有限群,給出有限群為p-冪零群的充分條件。

擬中心子群;超中心;p階子群;p-冪零群

利用極小子群性質(zhì)討論有限群的p-冪零性，如王麗芳在文獻(xiàn)[1]中利用極小子群的s-半置換性討論了有限群的p-冪零性。而鐘祥貴在文獻(xiàn)[2]中,利用極小子群的擬中心性討論了有限群的結(jié)構(gòu),并給出此類群的分類。本文將文獻(xiàn)[1]中的“s-半置換性”換成“擬中心性”,得到了一些結(jié)果。本文中提到群G均為有限群,p為任一素數(shù),Gp表示G的Sylow p-子群,|G|表示群G的階,Z∞(G)表示群G的超中心。使用的其它符號見文獻(xiàn)[3]。

1 預(yù)備知識

定義1稱x為群G的一個擬中心元,若對一切y∈G有成立。

引理1設(shè)G為有限群,x為G的擬中心元。則：

(1)若x∈H≤G,則x為H的擬中心元;

引理2[4]如果G非p-冪零,但G的每個真子群都p-冪零,則：

(1)G=Gp? Gq,其中Gq循環(huán);

(2)如果Gp為非交換群,則如果Gp為交換群,則Gp為初等交換群;

(3)當(dāng)p＞2時,exp(Gp)=p;當(dāng)p=2時,exp(Gp)≤ 4。

引理3[1]若H ≤ G,則 Z∞(G)?H ≤ Z∞(H)。

引理4[1]如果NG,且N ≤ Z(G),則 Z∞(G)/N ≤Z∞(G N)。

2 主要結(jié)果

定理1如果G的4階循環(huán)子群在G中擬中心,且所有p階子群含于Z∞(G),則G是p-冪零群。

證明假設(shè)定理結(jié)論不成立,取G為極小階反例。

設(shè)H＜G,K≤H,且|K|=p,由假設(shè)及引理1知4階循環(huán)子群在H中擬中心,且由引理3知K≤Z∞(G)?H≤Z∞(H),因此 Z∞(H)包含H的每個p階子群,故H滿足定理條件,再由G的極小性得,H為p-冪零群。所以G為內(nèi)p-冪零群,即G=Gp?Gq,其中Gp,Gq見引理2。

斷言p=2。若否,即p＞2,由題設(shè)知Gp≤ Z∞(G),再由文獻(xiàn)[5]知Z∞(G)Gq為冪零群,因此G=GpGq=Z∞(G)Gq冪零,矛盾,故斷言成立。

任取x∈G2,如果o(x)=2,則x∈ Z∞(G),再由 Z∞(G)Gq為冪零群知x∈NG(Gq)。如果o(x)=4,則由文獻(xiàn)[3]知 xGq=Gqx 為2-冪零群,故從而x∈ NG(Gq)。由x的取法得G2≤ NG(Gq),矛盾。

因此極小階反例不存在,G是p-冪零群。

推論1如果G的4階循環(huán)子群在G中擬中心,且所有極小子群含于Z∞(G),則G是冪零群。

證明因G是冪零群的充分必要條件為對任意素數(shù)p||G|,有G是p-冪零群。由定理1,結(jié)論顯然成立。

推論2如果G的4階循環(huán)子群在G中擬中心,且所有極小子群含于Z(G),則G是冪零群。

證明因Z(G)≤Z∞(G),由推論1知結(jié)論成立。

推論3如果G的4階循環(huán)子群在G中擬中心,且所有p階子群含于Z(G),則G是p-冪零群。

證明因Z(G)≤Z∞(G),由定理1直接得結(jié)論成立。

定理2設(shè)NG,G/N為p-冪零群。如果N的4階循環(huán)子群在G中擬中心,且p階子群含于Z∞(G),則G是p-冪零群。

證明假設(shè)定理結(jié)論不成立,取G為極小階反例。以下分三步證明定理：

(1)G為內(nèi)p-冪零群。

(2)p=2。

若否,即p＞2,由題設(shè)知Gp?N≤Z∞(G),而G/(Gp?N)同構(gòu)于G/Gp×G/N的一個子群,因G/Gp是q-群,G/N是p-冪零群,故G/Gp×G/N是p-冪零群,從而G/(Gp?N)是p-冪零群,因此Gq(Gp?N)/(Gp?N)G/(Gp? N)。 此時一定有Gq(Gp? N)＜G。 否則有Gq(Gp?N)=G,由定理1知G是p-冪零群,矛盾。 所以Gq(Gp? N)＜G成立,從而Gq(Gp? N)是p-冪零群,又 Gqchar Gq(Gp? N)G,于是GqG,矛盾。故p=2成立。

(3)得出矛盾。

如果N=1,由條件可得G是p-冪零群,矛盾。如果N=G,由定理1知G是p-冪零群,矛盾。因此可設(shè)1＜N＜G,由(1)知,N是p-冪零群。由GpG,得Gp?NN,所以N是冪零群。可設(shè)N=Np×Nq,其中Nq∈Sylq(N),Np∈Sylp(N),因此Np=N ? Gp≤ Gp,Nq=N ?Gq≤ Gq。如果Nq=Gq,則Gqchar NG,故GqG,矛盾。如果Nq=1,則N ≤ Gp。 如果N=Gp,由定理1知G是p-冪零群,矛盾。所以N＜Gp,因此G/N=Gp/N·GqN/N,由G/N是p-冪零群知GqN/NG/N,又GqN＜G,所以GqN是p-冪零群,因此Gqchar GqNG,從而GqG,矛盾，故1＜ Nq＜ Gq。此時考慮商群G/Nq。

由題設(shè)及引理1知N/Nq的4階循環(huán)子群在G/Nq中擬中心,分析G的結(jié)構(gòu)知Nq≤ Z(G),由引理4可得,N/Nq的p階子群含于 Z∞(G)Nq/Nq=Z∞(G)/Nq≤ Z∞(G Nq),因此G/Nq及N/Nq滿足定理條件,再由G的極小性得,G/Nq是p-冪零群,故Gq/NqG/Nq,從而GqG,矛盾。

綜合以上三步得,極小階反例不存在,因此G是p-冪零群。

推論4設(shè)NG,G/N是冪零群,如果N的4階循環(huán)子群在G中擬中心,且極小子群含于Z∞(G),則G是冪零群。

證明因G冪零的充分必要條件為對任意素數(shù)p||G|,有G是p-冪零群。由定理2,結(jié)論顯然成立。

推論5設(shè)NG,G/N是冪零群,如果N的4階循環(huán)子群在G中擬中心,且極小子群含于Z(G)中,則G是冪零群。

證明因Z(G)≤Z∞(G),由推論4,顯然。

推論6設(shè)NG,G/N是p-冪零群,如果N的4階循環(huán)子群在G中擬中心,且p階子群含于Z(G),則G是p-冪零群。

證明因Z(G)≤Z∞(G)，由定理2直接可得結(jié)論成立。

[1]王麗芳.s-半置換子群對群的冪零性的影響[J].山西師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2006,20(4)：6-9.

[2]鐘祥貴.二次極大子群中2階及4階循環(huán)子群擬中心的有限群[J].數(shù)學(xué)雜志,2004,24(3)：245-248.

[3]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上)[M].北京：科學(xué)出版社,1999：74-75.

[4]陳重穆.內(nèi)外Σ-群與極小非Σ-群[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社,1988：1-6.

[5]張遠(yuǎn)達(dá).冪零與可解之間[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,1988：26-27.

Influences of Quasicentral Minimal Subgroups on p-Nilpotence of Finite Groups

GAO Jian-ling
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

The finite groups whose cycle subgroups of order 4 are quasicentral subgroups and subgroups of order p are in hypercentre are discussed.Some sufficient conditions of p-nilpotent groups are given.

quasicentral subgroups;hypercentre;subgroups of order p;p-nilpotent groups

O152.1

A

1674-0874(2017)02-0004-02

〔責(zé)任編輯 高海〕

2016-02-15

高建玲(1981-),女,山西朔州人,碩士,講師,研究方向：群論。