圓錐曲線易錯(cuò)題案例剖析

王馨舸

【摘 要】高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圓錐曲線作為高考的重要考點(diǎn)之一，很多學(xué)生掌握起來相對(duì)困難。基于此，筆者在文中列出了三種具有代表性的易錯(cuò)題，并對(duì)其例題進(jìn)行分析，最后總結(jié)了幾類常用解題方法。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；易錯(cuò)題型；剖析

1不能充分利用概念定義（定義法、“設(shè)而不求”法）

例1.定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求M到x軸的最短距離。

解析：此題有多種解法：①可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)，設(shè)AB中點(diǎn)M（x0，y0），通過使用弦長公式以及中點(diǎn)公式可求出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)思想即可求出此題最短距離。②M到x軸的距離屬于“點(diǎn)線距離”，可以先行考慮M到準(zhǔn)線的距離，使用定義法。通過兩種方法解題，可將其進(jìn)行比較。

解法一：設(shè)，AB中點(diǎn)M（x0，y0）

由①可得

即

由②、③得

代入④可得

解法二：

總結(jié)：解法一通過列方程組，通過消元消除x1與x2，最終組成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的解題方法。解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化成其到準(zhǔn)線之間的距離，利用梯形中位線性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離之和，結(jié)合定義與“三角形中兩邊之和大于第三邊”的屬性，簡捷地求解出了結(jié)果，兩種方法可形成明顯的對(duì)比。

筆者在此將解圓錐曲線問題的定義法與“設(shè)而不求”的解題方法總結(jié)如下：

定義法：

（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1，r2=ed2。

（2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，r1-r2=2a，當(dāng)r1>r2時(shí)，注意r2的最小值為c-a；第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離”相互轉(zhuǎn)化。

2忽視隱含條件（韋達(dá)定理法）

例2.已知橢圓過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次交與A、B、C、D，設(shè)，（1）求；（2）求的最值。

解析：點(diǎn)A、D與B、C來自于“不同系統(tǒng)”，A、D交與準(zhǔn)線，B、C處于橢圓之上。直接求解將過于復(fù)雜，可以將這些點(diǎn)連成的線段投影到x軸上，可得：

再使用韋達(dá)定理即可得到答案。

（韋達(dá)定理：一元二次方程中，兩根之和，兩根之積）

解：（1）橢圓中，

，左焦點(diǎn)

將，代入橢圓方程得：

設(shè)，

則

（2），

3多動(dòng)點(diǎn)問題的解題思路不清（判別式法）

例3.已知橢圓和點(diǎn)，過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程。

解析：此題為軌跡問題，學(xué)生解題過程中遇到的主要難點(diǎn)是受多動(dòng)點(diǎn)的困擾。解此類問題通常可使用通過參數(shù)法，第一步要做的是選參，想辦法將Q的橫、縱坐標(biāo)利用參數(shù)來表達(dá)，達(dá)到消參的目的。由于點(diǎn)Q（x，y）的變化是由直線AB的變化引起的，自然可以選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，那么怎樣聯(lián)系起來呢？①利用點(diǎn)Q在直線AB之上；②利用題目中的條件：進(jìn)行轉(zhuǎn)化。由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，可得到：，建立x和k的關(guān)系，需要將AB的方程式代入橢圓方程，再使用韋達(dá)定理解題。

解：設(shè)，則由得：，解得：

設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓方程，消除y得到下列關(guān)于x的一元二次方程：

代入①，化簡可得

③式與聯(lián)立可消除k得到：，

在②式中，由，解得，結(jié)合③式可求得。則點(diǎn)Q的軌跡方程為：

3總結(jié)

由方程組進(jìn)行消元，將產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到。其中，難點(diǎn)在于引參，活點(diǎn)在于用參，重點(diǎn)在于消參，此為幾何綜合問題求解的關(guān)鍵步驟。

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