初中數學幾何線段及線段和、差的最值問題探析

李蓉

【摘 要】初三總復習中，我們發現很多中考真題卷或模擬卷里經常出現求線段最值或線段和差最值等問題，而學生對這種題型經常無從下手，感覺特別難。其實初中階段這種類型的問題最終基本上都能轉化為以下三種類型：①利用兩點之間線段最短求最短路徑或線段的最小值；②利用垂線段最短求解；③利用三角形三邊關系（三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊）當三點共線時取得最值。

【關鍵詞】線段最值線段和最小；線段差最大轉化定邊

一、一般處理方法

（一）常用定理

（1）兩點之間，線段最短（已知兩個定點時）

（2）垂線段最短（已知一個定點、一條定直線時）

（3）三角形三邊關系（已知兩邊長固定或其和、差固定時）

PA+PB最小，需轉化，使點在線異側

|PA-PB|最大，需轉化，使點在線同側

具體例題分析

類型一 利用兩點之間線段最短

1.立體圖形平面展開圖求最短路徑

例1.有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離。

試題分析：此題為常規題型，碰到立體圖形中的最短路徑問題把它展開成平面圖形再利用兩點之間線段求解即可。

解：AB = 4，

BC為底面周長的一半

即BC = 5π

AC = =

=

答：螞蟻爬行的最短距離為cm。

2.通過作軸對稱求距離之和的最小值

例2：如圖，∠AOB=30°，∠AOB內有一定點P，且OP=10.在OA上有一點Q，OB上有一點R.若△PQR周長最小，則最小周長是（ ）

A.10 B.15 C.20 D.30

試題分析：此題出現一個定點兩條定直線，所以我們是通過這個定點分別關于這兩條直線作對稱點，再根據三角形三邊關系，最終轉為兩點之間線段最短來處理。

解：設∠POA=θ，則∠POB=30°﹣θ，

作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM.

作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN.

連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，

則△PQR即為周長最短的三角形.

∵OA是PE的垂直平分線，

∴EQ=QP；

同理，OB是PF的垂直平分線，

∴FR=RP，

∴△PQR的周長=EF.

∵OE=OF=OP=10，

且∠EOF=∠EOP+∠POF

=2θ+2（30°-θ）=60°，

∴△EOF是正三角形，∴EF=10，

即在保持OP=10的條件下△PQR的最小周長為10.

故選A.

3.利用平移求線段和的最小值

例3：荊州護城河在CC'處直角轉彎，河寬相等，從A處到達B處，需經過兩座橋DD'、EE'，護城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與河岸垂直.如何確定兩座橋的位置，可使A到B點路徑最短？

試題分析：由于含有固定線段“橋”，導致不能將ADDEEB通過軸對稱直接轉化為線段，需要構造平行四邊形將AD、BE平移至DF、EG，即可得到橋所在位置

解：作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E、D，作DD、EE即為橋

證明：由做法可知，AF∥DD，AF=DD，則四邊形AFDD為平行四邊形

于是AD=FD

同理，BE=GE

由兩點之間線段最短可知，GF最小

即當橋建于如圖所示位置時，ADDEEB最短

二、利用垂線段最短求最值

1.通過轉移點，轉化為一個定點到一條定直線的距離的最小值

例1：如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（ ）

A.3 B. C. D.6

試題分析：此題，兩條線段涉及到三個點，其中B為定點，另外兩個點均為動點，但通過角平分線這個條件可以把BM轉化成關于線段AD對稱的線段EM. 從而把兩條線段之和的最值轉化為點E到直線AB的最短距離。

解：在AC上取一點E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N′，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，則BM+MN最小（根據兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），

∵AD平分∠CAB，AE=AB，

∴EO=OB，AD⊥BE，

∴AD是BE的垂直平分線（三線合一），

∴E和B關于直線AD對稱，

∴EM=BM，

即BM+MN′=EM+MN′=EN′，

∵EN⊥AB，

∴∠ENA=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠AEN′=30°，

∵AE=AB=6，

∴AN=AE=3，

在△AEN中，由勾股定理得：EN=，

即BM+MN的最小值是.

故選B.

2.通過勾股定理轉移線段轉化為垂線段最短

例2. 如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為.

試題分析：此題由于E、F兩點均為動點，若按常規思路直接求其最值感覺無從下手，而此時如能轉化成其他與之相關的線段直徑，則問題就迎刃而解了 由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短。

解：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，

如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，

∴AD=BD=1，即此時圓的直徑為1，

∵∠EOF=2∠BAC=120°，

而∠EOH=∠EOF，

∴∠EOH=60°，

在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH=·sin60°=，

∵OH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2EH=，

即線段EF長度的最小值為.

故答案為.

3.通過三角形全等相似等轉移線段轉化為垂線段最短

例3.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，

問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？

問題2：如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.

問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.

問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE=nPA（n為常數），以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由。

試題分析：此題難度很大，P、Q兩點也均為動點，而且此題要轉化的線段隱藏得更深，需要在復雜圖形中挖掘線段的等分點，從而轉化成線段PG的整數倍，才最終變成動點到定直線的線段中垂線段最短的問題。

解：問題1：∵四邊形PCQD是平行四邊形，

若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，

∴∠DPC=90°，

∵AD=1，AB=2，BC=3，

∴DC=2，

設PB=x，則AP=2-x，

在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，

化簡得x2-2x+3=0，

∵△=（-2）2-4×1×3=-8<0，

∴方程無解，

∴對角線PQ與DC不可能相等.

問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，

則G是DC的中點，

過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，

∵PD∥CQ，

∴∠PDC=∠DCQ，

∴∠ADP=∠QCH，

又∵PD=CQ，

∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，

∴AD=HC，

∵AD=1，BC=3，

∴BH=4，

∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4.

問題3：如圖3，設PQ與DC相交于點G，

∵PE∥CQ，PD=DE，

∴，

∴G是DC上一定點，

作QH⊥BC，交BC的延長線于H，

同理可證∠ADP=∠QCH，

∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，

即，

∴CH=2，

∴BH=BG+CH=3+2=5，

∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5.

問題4：如圖4，設PQ與AB相交于點G，

∵PE∥BQ，AE=nPA，

∴，

作QH∥PD，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠ADP=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，

∴∠QBH=∠PAD，

∴△ADP∽△BHQ，

∴，

∵AD=1，

∴BH=n+1，

∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，

過點D作DM⊥BC于M，

則四邊形ABND是矩形，

∴BM=AD=1，DM=AB=2

∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，

∴∠DCM=45°，

∴∠KCH=45°，

∴CK=CH·cos45°= （n+4），

∴當PQ⊥CD時，PQ的長最小，最小值為（n+4）.

三、利用三角形三邊關系

1.通過找到特殊定點構造三角形

例1.如圖，∠MON=90°，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM，ON上當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，等邊三角形的形狀保持不變，運動過程中，點C到點O的最大距離為（ ）

A.2.4 B. C. D.

試題分析：如圖，取AB的中點D.連接CD.根據三角形的邊角關系得到OC小于等于OD+DC，只有當O、D及C共線時，OC取得最大值，最大值為OD+CD。

【解答】解：如圖，取AB的中點D，連接CD.

∵△ABC是等邊三角形，且邊長是2，∴BC=AB=2，

∵點D是AB邊中點，

∴BD=AB=1，

∴CD===，即CD=；

連接OD，OC，有OC≤OD+DC，

當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD，

由（1）得，CD=，

又∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，

∴OD=AB=1，

∴OD+CD=1+，即OC的最大值為1+.

故選：C.

2.以旋轉為背景構造三角形

例2：在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1.

（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數；

（2）如圖2，連接AA1，CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.

試題分析：此題為一道中考壓軸題，第（3）EP1 落在BE和BP1 所在的三角形里，而這個三角形里BE是定值，EP1的最值就轉化成了B P1 的最值。

解答：解：（1）由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。

（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴，

∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1

∴，

∵S△ABA1=4，

∴S△CBC1=；

（3）過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，

①如圖1，當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；

②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+AE=2+5=7。

3.通過作對稱點找到最值的特殊位置

例3：如圖，拋物線l交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，﹣3）.將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l1.

（1）求l1的解析式；

（2）在l1的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A1及C兩點的距離差最大，并說出理由；

試題分析（1）根據翻折變換的性質，求得A1和B1的坐標，用待定系數法即可求得拋物線l1的解析式，（2）根據三角形兩邊之差小于第三邊的性質即可知，B1C的延長線與對稱軸x=1的交點P，即為所求。求出B1C的解析式即可求得點P的坐標。

解：（1）如圖1，設經翻折后，點A.B的對應點分別為A1、B1，依題意，由翻折變換的性質可知A1（3，0），B1（﹣1，0），C點坐標不變，∴拋物線l1經過A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）三點，設拋物線l1的解析式為y=ax2+bx+c，則

，解得。∴拋物線l1的解析式為：y=x2﹣2x﹣3。

（2）拋物線l1的對稱軸為：x=，如圖2，連接B1C并延長，與對稱軸x=1交于點P，則點P即為所求。此時，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。

設P′為對稱軸x=1上不同于點P的任意一點，則有：|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|

設直線B1C的解析式為y=kx+b，則

，解得k=b=﹣3。∴直線B1C的解析式為：y=﹣3x﹣3。

令x=1，得y=﹣6。∴P（1，﹣6）。

通過以上三種類型題目的分析，我們不難發現，雖然線段最值及線段和差的最值是一個難點，但只要我們能夠吃透本質，在碰到這種類型問題時都能結合具體題目具體分析，確定相應的類型，從而快速找到基本原理是利用兩點之間線段最短，還是垂線段最短，抑或是利用三邊關系。從而找到問題的突破口，去運用相關知識去解決這個難點。