基于學生學習起點培養數據分析觀念
——《平均數》教學思考與實踐

范立軍

【課前思考】

回顧“平均數”的教學歷史，一個最大的變化是：原本作為應用題范疇的求平均數，現已劃入統計內容，要作為統計概念來進行教學。《數學課程標準（2011版）》明確指出：統計的核心是數據分析。這就決定了“平均數”的教學目標，應從過去注重平均數的求法，強調數量關系以及算法的多樣化，轉變為豐富和深化對平均數意義的理解，并讓學生在收集、整理、分析數據的過程中，感受到平均數可以反映一組數據的整體水平，具有一定的代表意義，培養學生的數據分析觀念。

【教學過程】

一、問題驅動，理解平均數的概念

1.情境引入。

師：從這兩張統計圖中，你了解到哪些情況？

生：女生隊3人參加比賽，男生隊4人參加比賽。

師：男生隊首先出場的是張小強，我們一起來看一下他的投籃情況。（在統計圖中動態顯示張小強投進了5個球）

師：張小強投進5個球后，聽到“女生隊3人，平均每人投進4個”的消息。張小強很高興，因為他覺得：“我的成績超過了女生隊的任何一個人”。

師：你們覺得張小強的這句話對嗎？

師：對還是不對，別忙著下結論。接下去請你把你認為的女生隊的投籃情況涂在這張統計圖中，來證明張小強這句話的正誤。

2.意義理解。

生：我這里表示女生隊的每個隊員都投進了4個。這樣整個女生隊也是平均每人投進了4個。（如圖1）

師：如果女生隊是這種投籃情況的話，那張小強的話是對的還是錯的？

生：對的。

生：我表示的女生隊的投籃情況是周華投進了3個，林虹投進了6個，李麗投進了3個。（如圖2）

師：怎么讓人看明白女生隊是“平均每人投進了4個”？

生：把林虹最上面的兩個，一個給周華，另一個給李麗，這樣就可以看到平均每人投進了4個。

生：我表示的女生隊的投籃情況是周華投進了2個，林虹投進了8個，李麗投進了2個。讓林虹拿出4個，2個給周華，另2個給李麗。這樣女生隊就平均每人投進4個了。（如圖3）

圖1

圖2

圖3

師：我們來看看這后面兩種投籃情況有什么共同點？

生：都投進了12個。雖然每人投進的球數不同，但平均以后都是4個。

生：都是投進多的同學把籃球分給投進少的同學，最后大家一樣多。

師：在數學上，把這樣將多出來的部分移補給少的部分，最后得到一樣多的方法叫“移多補少”（板書）。而通過移多補少后得到一樣多的那個數叫整組數的平均數。

（板書：平均數）

師：誰能說說在投影中的三幅圖中，“4”是哪幾個數的平均數？（學生回答略）

師：平均數“4”代表了周華、林虹和李麗每人都投進4個嗎？

生：不是。

師：那這個“4”代表是的誰的水平？

生：代表的是女生隊的整體水平。

師：是的。平均數就是代表一組數據的整體水平。

（板書：整體水平）

師：通過剛才的學習，我們可以確定張小強的這句話是錯的。那么張小強應該怎么說就對了呢？

生：張小強的成績超過了女生隊的平均水平。

3.深層解讀。

師：男生隊的平均投籃數是多少呢？我們一起來看一下。

師：你是如何求出男生隊的投籃平均數的？

生：平均數就是大家整體平均下來是多少個，所以我這樣算：（5+7+2+6）÷4＝5（個）。

師：“ 5+7+2+6”在求什么？“4”表示什么？“5”又表示什么？

生：“ 5+7+2+6”在求男生隊投進的籃球的總數，“4”表示男生隊的人數，“5”表示男生隊投籃的平均數。

師：也就是說，平均數可以用“總數÷人數”來得到。我們把這種求平均數的方法叫“求和均分”。

（板書：求和均分）

生：平均數就是“移多補少”以后整體平均在什么水平。男生隊最高是7個，最少是2個，另外2人分別投了5個和6個，我估計平均數大概在4個或者5個。如果是4個，多出的有3+1+2=6（個），缺少的只有4-2=2（個），不對。如果是5個，多出2+1+0=3（個），缺少的也是5-2=3（個），正好。平均數是 5。

師：整體觀察數據，用“移多補少”的方法來驗證平均數。

師：現在我們知道了男生隊的平均投籃數是5個，比女生隊高一點。看到這個情況，第五個男同學陳雷也想來參加比賽了。同學們想一下，陳雷要投進幾個，才能使男生隊的投籃平均數保持在5個？

生：陳雷也要投進5個球。

師：有道理。但是一分鐘以后，陳雷卻出現了一個不開心的表情，這說明了什么？

生：說明陳雷一個球也沒有投進。

師：如果陳雷一個球也沒有投進，那這時候男生隊的投籃平均數是多少？

生：（5+7+2+6）÷5=4（個），“5”代表人數，“4”表示這時候的投籃平均數。

師：如果陳雷是個投籃高手，他要投進幾個球才能使男生隊的投籃平均數變成6個呢？

生：5×6-20=10（個），如果平均數是6個，全隊5人，需要投進30個球，再減去另外4個隊員已投進的20個球，就算出了陳雷需要投進10個球。

生：還用“移多補少”的思路想。平均數是6個，現在多出的是7-6=1（個），缺少的是0+1+4=5（個），總體情況是缺少了5-1=4（個）。所以陳雷再投就要去補這4個，6+4=10（個）。

師：看來現在的平均數和陳雷的投籃數密切相關。陳雷投進得多，整個隊的平均數就會提高。陳雷投進得少，整個隊的平均數就會下降。其實不僅僅是陳雷，隊中任何一個投籃數量，都會直接影響整個隊的平均成績。平均數就是這樣一個數，組中任何數據變化，都會使它發生變化。

4.跟進練習。

師：要衡量一個人的籃球水平，除了要考慮他的投籃水平，身高也是一個很重要的因素。我們一起來看看男生隊4個隊員的身高情況。

師：你估計這4個同學的平均身高大約是多少？為什么？

生：我估計大約是140厘米。因為這4個人中有比140厘米高的，也有比140厘米矮的。

師：平均數一定在最大和最小數據之間，有道理。那么到底是多少呢？請同學們用自己喜歡的方法來求一下。

生：（141+136+145+142）÷4＝141cm。

師：大家有沒有發現，這里哪位同學的身高比較特殊？

生：我覺得張小強的身高比較特殊，因為他的身高剛好和平均身高相同。

師：那你們覺得“張小強身高141cm”和“平均身高141cm”這兩個“141”相同嗎？

生：不相同，“張小強身高141cm”指的是張小強一個人的身高水平；而“平均身高141cm”指的是這4個同學的整體身高水平，其中有不到141cm的同學，也有超過141cm的同學。

二、數據分析，培養學生的統計意識

師：現在我們知道了張小強的身高剛好等于籃球隊男生的平均身高。那么張小強的身高在全班男生中屬于什么水平呢？是高的、一般的還是矮的呢？

（學生討論交流：高的、矮的、一般的、不確定）

師：我們來看一看他們班20個男生的身高情況。

身高（cm）145 146 143 147 141 145 135 138 131 145 139 143 140 146 145 145 144 144 138 142

師：從這張統計表中，你能判斷張小強的身高水平嗎？

生：數據比較多，好像比較困難。

師：給同學們一點提示吧（課件圈出最高身高和最矮身高）。通過這兩個數據，對你判斷張小強的身高有沒有幫助？

生：把表格中的身高按從高到矮排一下，就知道了。

師：那我們就來看看這20位同學的身高從高到矮排列后的情況。

147 146 146 145 145 145 145 144 144 144 143 143 142 141 140 139 138 138 135 131

師：現在能判斷出張小強在班中的身高情況了嗎？為什么？

生：能判斷了。張小強的身高排在第14位，屬于比較矮的。

師：那比平均身高矮多少呢？我們可以怎么辦？

生：求出這20個男同學的平均身高，然后進行比較。

師：可以怎么求出這20個男同學的平均身高？

生：先把這20個身高加起來，然后再除以20，就能算出平均身高了。

師：好，我們請計算機幫忙算一下平均數，最后我們得到了這20個同學的平均身高是“142.2cm”，但這20個同學中沒有這樣的身高呀！這是怎么回事？

生：因為平均數代表的是這20個同學的整體身高水平，并不是指某一個同學的身高。

生：是把所有的同學身高平均下來，整體是142.2cm。

師：同學們回想一下，我們是經過怎樣的過程知道了張小強是偏矮的？偏矮了多少呢？

生：剛才我們通過排列知道了張小強的身高處在全班男生的中間以下的水平，又通過計算得出20個男生的平均身高，知道他比平均身高矮1cm多。

師：排列可以，算平均數可以，將來我們還會有更多的辦法來分析一組數據，得出一些有用的結論。

三、聯系生活，體會平均數的應用

杭州西湖景區游客統計表

年份 平均每天接待游客數量（人次） 備注2015年 10.89萬2016年 12.25萬

師：你能用平均數的知識來分析這兩年平均游客數量嗎？

生：“2015年西湖景區平均每天接待游客10.89萬人次”，說明這一年并不是每天都是10.89萬人次游客，有些日子接待人數比這個數據多，有些日子接待得少。2016年也是同樣道理。

生：從這里我們知道了2016年平均每天的游客數比2015年要多。但并不是說2016年任何一天都比2015年要多，也可能某一天的游客數比不上2015年。

【編輯點評】

范老師這節課的主要特色是強調“平均數”作為統計概念，即：1.強調概念的理解，而非平均數的求取；2.將平均數置于數據分析的情境之中，強調平均數的統計意義，重在發展數據分析觀念。

全課的情境設計頗為豐富和巧妙。

投籃情境的教學順序別出心裁。基于對學生學習起點的判斷，從逆向問題“已知女生投籃平均數，設想女生各人投籃情況”開始，既溝通了“平均數”和“平均的數”之間的聯系，又突出了二者的區別，很好地體現了尊重學生的經驗、利用學生的經驗、提升學生的經驗。同時，在這一案例中，學生已初步體會到平均數的特點：同一個平均數可能對應不同的數據組（數據的離散程度不同），但整組數據平均下來（移多補少）正好集中在平均數上。在女生投籃案例的基礎上，正向求取4個男生的投籃平均數，基于概念建構算法——求和平均、移多補少。教學之意，不在算法，而在概念的理解和應用，因此教師未在算法層面停留、跟進，而是進一步變式，引導學生思考增加一個男生后可能引起的平均數的變化，強化感知平均數的重要性質：1.單個數據對于平均數的影響；2.一組數據之于平均數的離差和等于0。

“身高”情境不是對于投籃情境簡單重復，它進一步放大了“平均數”的統計背景。使學生更為完整地經歷統計解決問題的全過程：要有理有據地回答“張小強的身高在全班男生中處于什么水平”，首先需要收集全班男生的身高數據，有了數據以后，可以做不同角度的加工、分析和解讀，此處不僅強化了平均數作為集中量的意義，而且為中位數等知識的引進預留了空間。在這樣的過程中，學生充分體會到數據承載著信息，對數據的合理處理能夠帶來合情的判斷和推測，有效地培養了數據分析觀念。

最后是對一些常見統計信息的解讀。如果說前面的生活情境更多地服務于“平均數”這個數學概念的教學，那么這里是運用“平均數”概念來解讀和辨析生活情境，很好地體現了素養取向的數學教學觀。學生對于生活信息相對深入的反思和解釋，不僅體現了他們數學素養的提高，也可視為一種公民素養的養成。