操作中外顯思維 對(duì)比中建構(gòu)意義
——《倍的認(rèn)識(shí)》教學(xué)設(shè)計(jì)及解讀

設(shè)計(jì)/周曉輝 解讀/孫惠惠

一、初識(shí)倍數(shù)關(guān)系

教師出示主題圖，讓學(xué)生觀察“從圖中獲得了哪些數(shù)學(xué)信息”。然后引導(dǎo)學(xué)生聚焦“黑兔有2只，白兔有4只”這兩條信息并提出問題。最后說明“兩個(gè)數(shù)量之間除了比多、比少這樣的相差關(guān)系外，還有著另一種關(guān)系，倍的關(guān)系。（板書課題）

【解讀：主題圖中有四條信息，教師引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)其中兩條信息提出問題，直入主題減少不必要的干擾。】

二、認(rèn)識(shí)“2倍關(guān)系”

1.描述中初識(shí)2倍關(guān)系。

教師提問：如果我們把2只黑兔看作1份，白兔有這樣的幾份？

預(yù)設(shè)：兩份。

師：像這樣我們就說白兔的數(shù)量是黑兔的2倍。我們是怎么看出來的呢？

預(yù)設(shè)：把黑兔看成一份，白兔有這樣的兩份，白兔的數(shù)量是黑兔的2倍。

教師出示下圖。問：如果我們用3個(gè)紅圓表示蘿卜，青菜該怎么表示呢？

預(yù)設(shè)：用6個(gè)綠圓表示青菜的數(shù)量。

師：把3個(gè)紅圓看作一份，綠圓的數(shù)量是紅圓的幾倍，你能來圈一圈、說一說嗎？

預(yù)設(shè)：把3個(gè)紅圓看成一份，綠圓的數(shù)量有這樣的2份，綠圓的數(shù)量是紅圓的2倍。

【解讀：教師呈現(xiàn)兩組素材，從實(shí)物到抽象圖形，學(xué)生通過圈一圈份數(shù)，說一說2倍關(guān)系的形成過程，初步建立“把某個(gè)數(shù)量看成一份，另一個(gè)數(shù)量里有這樣的幾份就是它的幾倍”的概念。這樣切入教學(xué)，緊扣學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，有利于學(xué)生利用舊知識(shí)構(gòu)建新概念。】

2.對(duì)比中抽象“2倍關(guān)系”模型。

師：我們一起研究后發(fā)現(xiàn)，白兔的只數(shù)是黑兔的2倍，綠圓的數(shù)量是紅圓的2倍。這些圖中的形狀、個(gè)數(shù)都不一樣，但為什么我們都說第二行的個(gè)數(shù)是第一行的2倍呢？

教師小結(jié)：無論第一行擺幾個(gè)，只要把它看成一份，第二行擺這樣的兩份,也就是有2個(gè)幾，我們就可以說第二行的數(shù)量是第一行的2倍。

3.想象中拓展“2倍關(guān)系”模型。

師：如果第一行擺5只蝸牛，第二行該怎么擺？

預(yù)設(shè)：如果第一行擺5只蝸牛，那么第二行擺10只蝸牛，擺2個(gè)5只。

【解讀：教師通過回顧學(xué)習(xí)過程，將兩組“2倍關(guān)系”的素材一一呈現(xiàn)，然后進(jìn)行對(duì)比。通過對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“2倍關(guān)系”的本質(zhì)，抽象出2倍關(guān)系的模型。通過想象模型中每一份的數(shù)量，讓學(xué)生體會(huì)到標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)量可以是多種情況，這樣既幫助學(xué)生建立起了“2倍關(guān)系”的基本模型，又豐富了模型的內(nèi)涵。】

三、認(rèn)識(shí)“幾倍關(guān)系”

1.猜想中初步建立“幾倍關(guān)系”表象。

師：如果第二行再增加同樣多的一份，第二行是第一行的幾倍？再增加一份呢？第二行有5個(gè)這樣的圈呢？

2.在操作中表征“幾倍關(guān)系”圖式。

師：同學(xué)們想不想動(dòng)手?jǐn)[一擺？和你的同桌商量一下你們打算擺幾倍關(guān)系？

教師出示操作要求：

（1）擺兩行，能清楚看出其中一行是另一行的幾倍。

（2）擺完后同桌說一說：（）的數(shù)量是（）的___倍。

預(yù)設(shè)：學(xué)生對(duì)幾倍的表征各種各樣。從圖式的形式上來說，可能是“倍數(shù)關(guān)系”的基本圖式，也可能是基本圖式的變式（如下圖）。從“倍數(shù)關(guān)系”來說可能會(huì)擺出“一個(gè)數(shù)量是另一個(gè)數(shù)量的任何倍”。

3.交流中理解“幾倍關(guān)系”的含義。

（1）以小組為單位介紹基本的3倍、4倍模型圖。（見下圖）

師：請(qǐng)說一說你們擺的是幾倍關(guān)系？是怎么想的？

生：把兩個(gè)綠圓看成一份，黃圓的數(shù)量有這樣的3份，黃圓的數(shù)量是綠圓的3倍。

（4倍關(guān)系的解說略）

（2）集體解讀“幾倍關(guān)系”變式圖。

師：你們還能判斷出下圖他們之間的倍數(shù)關(guān)系嗎？（根據(jù)學(xué)生的回答引導(dǎo)：重點(diǎn)突出圈一圈的辦法能夠幫助我們看清倍數(shù)關(guān)系）

【解讀：學(xué)生在“擺幾倍關(guān)系”的活動(dòng)中，將自己頭腦中對(duì)“倍數(shù)關(guān)系”的表征“擺”出來。教師再根據(jù)學(xué)生擺的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生從“基本的倍數(shù)關(guān)系模型”到“模型的變式”逐層解讀，既把“倍”的認(rèn)識(shí)從“2倍關(guān)系”擴(kuò)展到“幾倍關(guān)系”，又豐富了學(xué)生頭腦中倍數(shù)關(guān)系的表征。】

4.溝通中明確“倍數(shù)模型”和“乘法模型”的關(guān)系。

師：我們已經(jīng)擺出了那么多“倍數(shù)關(guān)系”，讓我們從數(shù)量上仔細(xì)觀察，如果一份是2，以2個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)去數(shù)一數(shù)，第二行是幾個(gè)幾呢？

預(yù)設(shè)：3個(gè)2（板書：3個(gè)2，是2的3倍）

完成板書如下：

師：這幅作品你能從數(shù)量上來介紹嗎？

預(yù)設(shè)：第一行擺2個(gè)，第二行擺這樣的4份，就是4個(gè)2，所以第二行的數(shù)量是第一行的4倍。（板書：4個(gè)2，2的4倍。）

【解讀：學(xué)生對(duì)“幾倍關(guān)系”的理解停留在“份數(shù)”模型上，即“把一個(gè)數(shù)量看成一份，另一個(gè)數(shù)量里面有這樣的幾份，就是它的幾倍”。通過引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)量”上觀察所有的“倍數(shù)關(guān)系”圖式，發(fā)現(xiàn)以a為標(biāo)準(zhǔn)去數(shù)，剛剛?cè)Τ鰩追荩陀袔讉€(gè)a，也就是a的幾倍。將“幾倍關(guān)系”從具體的圖式表征抽象到數(shù)字符號(hào)表征，而且將“倍”的意義由“份數(shù)”模型過渡到“幾個(gè)幾”的乘法模型。】

5.對(duì)比中抽象“3倍關(guān)系”的模型。

師：剛才我們通過擺一擺、圈一圈已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這幾位同學(xué)擺的都是3倍關(guān)系，怎么擺就能擺出兩行之間的3倍關(guān)系呢？

教師總結(jié)：先擺一份，再擺這樣的3份，也就是擺3個(gè)幾，就能擺出兩行之間的3倍關(guān)系。

【解讀：將“3倍關(guān)系”的圖式一并呈現(xiàn)，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)“3倍關(guān)系”的本質(zhì)屬性。】

6.游戲中鞏固“乘法模型”與“倍數(shù)模型”的聯(lián)系。

（1）猜一猜游戲。教師描述學(xué)生擺：第一行擺2個(gè)，第二行擺4個(gè)2，學(xué)生猜一猜誰是誰的幾倍，并圈一圈進(jìn)行驗(yàn)證。

（2）拍手游戲。要求：教師拍4下，請(qǐng)學(xué)生拍的數(shù)量是教師的兩倍，并說一說怎么聽出來拍的數(shù)量是教師的2倍。

【解讀：通過兩個(gè)游戲，讓學(xué)生“聽描述”想“幾倍關(guān)系”的表征形式，促進(jìn)學(xué)生能脫離“幾份”模型直接由“幾個(gè)幾”想到“幾倍關(guān)系”。】

7.對(duì)比中抽象“倍數(shù)關(guān)系”模型。

師：剛才我們通過游戲已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一個(gè)數(shù)量是另一個(gè)數(shù)量的幾倍，只要怎么擺就一定能擺出一行是另一行的幾倍呢？

預(yù)設(shè)：我們只要先確定一行的數(shù)量，把它看成一份，另一行擺幾個(gè)這樣的數(shù)量，也就是擺幾個(gè)幾，就能擺出另一行是這一行的幾倍了。

【解讀：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比“幾倍關(guān)系”的圖式，借助對(duì)“2倍關(guān)系”和“3倍關(guān)系”本質(zhì)屬性的理解，抽象出“幾倍關(guān)系”的本質(zhì)屬性，從而完成對(duì)“倍”的意義完整的建構(gòu)。】

四、分層練習(xí)中凸顯“標(biāo)準(zhǔn)量”的重要性

1.填一填：教師出示上圖，學(xué)生嘗試填，發(fā)現(xiàn)無法表示倍數(shù)關(guān)系，體會(huì)到“倍是兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系”。

2.畫一畫：先猜三角形可能是幾個(gè)，然后請(qǐng)學(xué)生畫出自己猜的個(gè)數(shù)。

3.比一比：集體反饋教師引導(dǎo)學(xué)生觀察4種情況（三角形為1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)和6個(gè)），體會(huì)同樣都是6個(gè)圓，標(biāo)準(zhǔn)量不同倍數(shù)也會(huì)發(fā)生變化。

4.辨一辨：教師出示學(xué)生的兩個(gè)錯(cuò)例。第一個(gè)錯(cuò)例是畫錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)量的，通過辨析使學(xué)生清楚，標(biāo)準(zhǔn)量必須是6的因數(shù)；第二個(gè)錯(cuò)例是把圓的數(shù)量當(dāng)成標(biāo)準(zhǔn)量的，通過辨析學(xué)生感悟到“找倍數(shù)關(guān)系的時(shí)候，一定要找準(zhǔn)誰和誰比，把誰看成標(biāo)準(zhǔn)。

5.拓展到三個(gè)量進(jìn)行比較。

教師在上一題的基礎(chǔ)上添加一行長方形，讓學(xué)生從中找一找誰是誰的幾倍。

【解讀：通過“填”“畫”“比”“辨”四個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)到“倍”描述的是兩種數(shù)量之間的關(guān)系，感悟到“比較量相同的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)量不同，倍數(shù)也會(huì)不同”，明白“把誰看成標(biāo)準(zhǔn)量”的重要性。習(xí)題設(shè)計(jì)層次性強(qiáng)，涵蓋學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)，學(xué)生在不斷修正錯(cuò)誤中感悟描述“倍數(shù)關(guān)系”的注意點(diǎn)。】

五、課堂小結(jié)

今天研究的是兩個(gè)數(shù)之間的另一種關(guān)系，我們把一個(gè)數(shù)量看成一份，另一個(gè)數(shù)量有幾個(gè)幾，我們就可以說，另一個(gè)數(shù)量是它的幾倍。

【解讀：1.操作中外顯思維，豐富學(xué)生頭腦中“倍”的表象。操作、展示等活動(dòng)，都能讓學(xué)生將自己的思維得以展現(xiàn)。本課在認(rèn)識(shí)“2倍關(guān)系”之后，教師安排了“擺幾倍關(guān)系”的操作活動(dòng)。通過“擺”這一操作活動(dòng)，讓學(xué)生將自己頭腦中“幾倍關(guān)系”的表征外顯在紙上。從教學(xué)設(shè)計(jì)中可以看到，學(xué)生擺的關(guān)于“幾倍關(guān)系”的表征，涵蓋了“倍數(shù)關(guān)系”的基本圖式和變化圖式。豐富的可視化表征有助于學(xué)生打破思維定勢(shì)，完整地建構(gòu)“倍”的直觀模型和意義，也為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)“一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”等問題打好基礎(chǔ)。

2.在對(duì)比中建構(gòu)、逐步抽象出“倍”的概念本質(zhì)。“對(duì)比”是一種很好的揭示概念屬性的方法。本節(jié)課，為了引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)“倍”的意義，周老師在四個(gè)地方有效運(yùn)用了這一方法。三次對(duì)比分別是“2倍關(guān)系圖式對(duì)比”“3倍關(guān)系圖式對(duì)比”和“幾倍關(guān)系圖式對(duì)比”，學(xué)生從“初步感知有這樣的2份就是幾的2倍”到認(rèn)識(shí)“3份就是3個(gè)幾，就是幾的3倍”再到明白“幾個(gè)幾就是幾的幾倍”，逐步抽象出“確定一個(gè)數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)，另一個(gè)數(shù)量里有幾個(gè)幾，就是它的幾倍”，也就是“倍”的本質(zhì)屬性。這個(gè)過程中，學(xué)生思維的抽象程度越來越高，要求也越來越高。第四次對(duì)比，在“分層練習(xí)畫標(biāo)準(zhǔn)量”之后，通過對(duì)學(xué)生所有作品的對(duì)比，學(xué)生感悟到“標(biāo)準(zhǔn)量變化引起倍數(shù)變化”，對(duì)“倍”的概念作了有益補(bǔ)充。】

（本文作者系朱樂平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）