夯實基礎 拓展提升
——《百分數解決問題》教學實踐與思考

徐曉良 徐丹紅

【教學內容】

人教版六年級上冊第90頁。

【教學過程】

一、談話引入，直接揭題

師：今天我們一起學習用百分數解決問題，在前面的學習中你對百分數已經有了哪些了解呢？

生：我們學習了百分數的認識，百分數的含義。

生：我們還學習了百分數的計算。

師：同學們對于百分數已經掌握了很多知識。那你在生活中哪里見過百分數呢？

生：在抽獎活動中見過。

生：下載軟件的時候見過。

生：食品成份中會寫雞蛋占了百分之幾。

【說明：引導學生用數學的眼光去看待生活、尋找生活中的百分數能更好地理解百分數，也為后面問題的提出做了很好的鋪墊。】

二、問題解決，學習假設

師：徐老師前幾天看到了一則和百分數有關的小廣告，今天和大家一起分享一下。

師：看了這則促銷的消息，你有什么想說的嗎？

XX車行活動信息

十一月信息：由于進價提高，自11月1日起，自行車價格上漲20%；

十二月信息：為了回饋消費者，自12月1日起，自行車價格下降20%，恢復到10月份的價格。

生：12月1日去買比較好。

師：你是認為12月的價格比較——

生：便宜！

生：我認為他這則信息有錯誤。

師：那你能告訴大家哪句話出錯了嗎？

生：我認為不能恢復到10月份的價格，會和10月份的價格有一些變化。

師：同學們能用數學的眼光分析生活中的問題并能提出質疑，非常棒！那么最后的價格是真的恢復到了10月份的價格，還是像我們同學所說的和10月份相比會有些變化呢？如果交給你，你能解決嗎？請把你的想法寫下來。

【說明：教師沒有直接提出問題，而是讓學生自己分析發現問題，并提升學生的問題作為課堂研究的主問題，不僅能讓學生帶著思考解讀信息，而且激發了學生提出問題、解決問題的熱情。】

（學生獨立完成，教師巡視）

師：誰愿意和大家交流一下你的想法？

生：假設10月份的價格是100元，那么11月份是100+20%=120（元），12月份是120-20%=96（元）。

（板書算式）

師：有沒有同學對他的算式有不同意見？

生：我完全看不懂算式中的20%是誰的20%，不知道他是怎么做的。

師：你的意思是他的算式中沒有表示出是誰的20%，是嗎？那么誰來幫助他把算式補充一下？

生 ：100 ×（1+20% ）=120（元）。

師：現在你能看出是誰的20%了嗎？

生：是10月份的20%。

師：其實這位同學用100+20%是想表示100+100×20%，而這個算式又可以表示成100×（1+20%），這樣計算的結果就是哪個月的價格？

生：11月。

師：11月知道了，我又應該如何求12月呢？

生：12月價格比11月下降了11月份的20%。

生：120×（1-20%）=96（元）。

師：如果老師用下面這條線段表示10月的100元，那么11月份應該怎么表示？

生：再加上20%。

師：這個20%該怎么表示？

生：把10月平均分成10份，取其中的2份線段。

生：也可以直接平均分成5份，取其中的1份。

師：那么12月應該是在——

生：把11月平均分成5份，少了其中的1份。

師：同樣是20%，在圖上為什么表示不一樣呢？

生：因為它們的單位“1”不同。

【說明：借助線段圖，為學生提供了思考的直觀工具，厘清了三者之間的關系。同時，也利用線段圖的直觀沖擊讓學生進一步理解兩個20%在表示實際量上的不同及其不同的原因。】

師：單位“1”發生了變化，所以最后結果也發生了變化。那么假設100元，得到了下降的結論，如果假設的是其他的數呢？

生：還是一樣的。

師：有同學假設不同的數嗎？和大家來交流一下。

生：我假設的是10元，10×（1+20%）=12（元），12×（1-20%）=9.6（元）。

生：我假設的是 1，1×（1+20%）=1.2，1.2×（1-20%）=0.96。

師：為什么我們假設的數是不同的，得到的結論卻都是下降呢？

生：11月份上漲的20%是以 10月份為單位“1”,而 12月份是以上漲了的11月份的價格為單位“1”，所以12月份的價格比10月份的價格要低。

生：下降的是上漲后的20%。

師：意思是說下降得要多，上漲的要少。

師：同學們剛剛是用分步計算得出結果的，有的時候綜合計算會給我們一個新的觀察角度。你能把上面的算式合并成綜合算式嗎？

學生說綜合算式，教師板書如下：

100×（1+20%）×（1-20%）=96（元）

10×（1+20%）×（1-20%）=9.6（元）

1×（1+20%）×（1-20%）=0.96

師：觀察這些綜合算式，你又有什么新的發現？

生：都是乘（1+20%）×（1-20%）。

生：不管假設多少，12月和10月的價格關系不變，都是求單位“1”的百分之幾是多少。

師：在這里是求單位“1”的百分之幾呢？

生：是求單位“1”的96%。

師：96%是怎么來的？

生：120%×80%=96%。

100×（1+20%）×（1-20%）=96（元）

120%×80%

96%（0.96）

師：都是求單位“1”的96%是多少，那我把單位“1”假設成a可以嗎？

生：可以！

師：那么就是求a的——

生：96%是多少。

師：a乘以96%，乘以一個比1小的數，結果——

生：比a小。

師：當然這里的a能不能為0啊？

生：不能。

師：結果是？

生：0.96a。

教師將線段圖中的100元改成a，12月份改成0.96a。

師：而且我們從圖上很明顯的看到，最后結果下降了，你知道下降了百分之幾嗎？

生：4%。

師：這個4%就是下降的幅度。這個下降的幅度和前面假設是多少有關系嗎？

生：沒有！

【說明：解決問題的過程放手讓學生獨立完成，給不同解決問題的方法、不同假設數據的呈現提供了可能。而后又巧妙的利用綜合算式，將這些不同的情況進行對比，讓學生由模糊變得清晰：這類解決問題無論多么復雜最后都可以化繁為簡為“求一個數的幾分之幾是多少。”】

三、變式練習，滲透模型

師：剛剛我們發現自行車的價格先經過了上漲，又下降，最后結果是下降了4%。如果是先下降后上漲呢？

（邊說邊出示折線統計圖）

生：（猶豫著說）變大了。

生：可能還是下降的。

師：請你算一算是漲了還是降了，如果可以直接列綜合算式就列出綜合算式。

生：怎么還是下降了？

師：還是下降？誰來說說你是怎么計算的。

生：假設是 a，a×（1-20%）×（1+20%）=0.96a。

師：明明現在變成了先降后漲，怎么結果還和先漲后降是一樣的呀？

生：先降的話，后面漲的就少了。

生：在下降的基礎上漲。

師：剛剛在同學的回答過程中，老師感覺到你們的腦海中都有了一幅新的線段圖。你們發現了什么？

（出示前后兩幅線段圖）

生：下降的20%還是比上漲的20%多。

師：還是因為——

生：單位“1”發生了變化。

師：下降幅度是——

生：4%。

生：我有補充，不管是先降后漲還是先漲后降，都是計算一個數的96%。

生：其實就是乘法交換律，（1-20%）和（1+20%）交換了一下而已。

師：所以表面上看，變化過程是不一樣的，但變化的結果和變化的幅度是一樣的。先下降20%，后上漲20%，最后是下降了。那如果還是先下降20%，后上漲30%呢？

生：肯定是漲了，漲了4元。

師：非常厲害，還能一下子知道漲了多少。算式表示出來可以嗎？誰來和大家分享一下你的算式？

生：假設十月份售價100元，100×（1-20%）×（1+30%）=104元。

師：漲了多少呀？

生：4元，是100元的4%。

師：剛剛咱們下降20%，上漲20%，結論是降了；下降20%，上漲30%，是漲了。如果店家想恢復到10月份的價格，那上漲百分之多少能恢復到原價呢？

【說明：用折線統計圖來展示變化的幅度是一個亮點。通過折線的變化這種形象的描述，讓學生對于變化幅度有了一個直觀的認識，課堂效果很不錯。】

生：應該是25%。

生：肯定是在20%和30%之間。

師：你能通過計算算出來嗎？試一試！

生：上漲25%，我是想0.8乘以幾等于1。

師：你們聽明白他的意思了嗎？

生：就說假設原價是1元，下降后是0.8元，那么0.8乘以多少才能仍舊等于1。

師：也就是說單位“1”只有乘以1才能仍舊等于單位“1”，而前面是0.8，0.8乘以1.25正好等于1。

板書：

1×（1-20%）×（1+？）=1

0.8×？

1

師：看來我們的猜測還是非常準的。還有不同的想法嗎？

生：下降后是80元，漲回到100元，要漲20元，20元是80元的25%。

生：（100-80）÷80=0.25=25%。

師：求100比80多了百分之幾，可以從不同的角度來解答恢復到原價需要上漲百分之幾。我們通過計算發現，如果上漲幅度和下降幅度是一樣的話，絕對不會——

生：和原價相等。

師：下降20%，要上漲25%才能回到原價，這是為什么呢？

生：因為單位“1”不同。

師：看來在百分數解決問題中單位“1”的變化對最后的解題起著很大的作用，所以我們要找清單位“1”。

【說明：通過先漲后降和先降后漲兩種情況的對比，使學生進一步熟練假設法的使用，也進一步理解了這類題型的意義。而通過“漲百分之多少能回到原價？”問題的解決則更進一步理解單位“1”對于百分數的意義。同時，也通過兩者的結果相同，讓學生體會到了變中有不變的思想。】