例析分離變量法在高中數學中的應用

郭小輝

分離變量法作為一種重要的數學思想方法.在近些年的高考數學試題中多有體現.縱觀近幾年高考數學試題，有關考查分離變量法的題型主要有：求函數零點問題；解決函數的單調性問題；解決不等式的恒成立問題；在導數中的應用等.

一、方法介紹

使用分離變量法是通過將兩個變量構成的不等式（方程）變形到不等號（等號）兩端，使兩端變量各自相同，解決有關不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知.使用分離變量法解決問題的關鍵是分離變量之后將問題轉化為求函數的最值或值域的問題.分離變量后，對于不同問題我們有不同的理論依據可以遵循.以下定理均為已知x的范圍，求a的范圍：

定理1不等式f（x）≥g（a）恒成立f（x）min≥g（a）（求解f（x）的最小值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立f（x）max≤g（a）（求解f（x）的最大值）.

定理2不等式f（x）≥g（a）存在解f（x）max≥g（a）（求解f（x）的最大值）；不等式f（x）≤g（a）存在解f（x）min≤g（a）（即求解f（x）的最小值）.

定理3方程f（x）=g（a）有解g（a）的范圍=f（x）的值域（求解f（x）的值域）.

解決問題時需要注意：

（1）確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一個；

（2）確定是求最大值、最小值還是值域.

二、典例分析

1.利用分離變量法解決函數的零點問題

例1已知a是實數，函數f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍.

解析問題轉化為2ax2+2x-3-a=0在x∈[-1，1]上恒有解

由定理得只需求函數g（x）=3-2x2x2-1在x∈[-1，-22）∪

（-22，22）∪（22，1]上的值域即可， ±22單獨考慮.此法思維量較小，運算量較二次函數略大，得分率略有增加.2.利用分離變量法解決函數的單調性問題

例2已知函數f（x）=12ax2+2x（a≠0），g（x）=lnx.若h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞增區間，求a的取值范圍.

解析問題轉化為h′（x）=ax2+2x-1x≥0在x>0上有解，即ax2+2x-1≥0在x>0上有解.問題轉化為a≥1-2xx2在x>0上有（存在）解 由定理1.2得a≥1-2xx2min.

由1-2xx2=（1x-1）2-1≥-1，所以a≥-1.

3.利用分離變量法解決不等式恒成立問題

例3設f（x）=lg1+2x+a·4x3，其中a∈R，如果x∈（-∞，1）時，f（x）恒有意義，求a的取值范圍.

解析如果x∈（-∞，1）時，f（x）恒有意義

1+2x+a4x>0，對x∈（-∞，1）恒成立

a>-1+2x4x=-（2-x+2-2x），x∈（-∞，1）恒成立.

令t=2-x，g（t）=-（t+t2）

又x∈（-∞，1），則t∈（12，+∞）

∴a>g（t）對t∈（12，+∞）恒成立，

又∵g（t）在t∈（12，+∞）上為減函數，

g（t）

∴a≥-34.

4.利用分離變量法解決導數問題

例4已知函數f（x）=x3-3ax2+3x+1，設f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍.

解析若導函數在（2，3）內沒有零點，則有以下兩種情況：

（1）f ′（x）=3x2-6ax+3≥0在（2，3）內恒成立，即a≤x2+12x=12（x+1x）在（2，3）內恒成立.

易知當x∈（2，3）時，54<12（x+1x）<53，所以，此時有a≤54.

（2）f ′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）內恒成立，即a≥x2+12x=12（x+1x）在（2，3）內恒成立.

易知當x∈（2，3）時，54<12（x+1x）<53，所以，此時有a≥53.

所以，當f（x）在區間（2，3）中無極值點，即f ′（x）=3x2-6ax+3≥0或者f ′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）內恒成立時，有a≥53或者a≤54.

從而，當f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點時，a的取值范圍是（54，53）.

點評這種解法中，把a分離出來以后，轉化成了求a≤x2+12x=12（x+1x）或者a≥x2+12x=

12（x+1x）在（2，3）內恒成立的問題，也是學生熟悉的函數基本題型，與上一種解法比較，顯得更為簡捷，有效率.

（收稿日期：2016-10-12）