優(yōu)化思維過程簡化繁雜分類

張剛

有些高考數(shù)學的命題，因題設的條件多且交叉制約，若從整體上出發(fā)考查，難以找到解題的途徑，或其解題的過程根本不能統(tǒng)一敘述時，可考慮化整為零，逐一論之，各個擊破，再積零為整（分類討論）.也就是說將整體劃分為若干個局部，進而將這一數(shù)學問題化成幾個小問題，如果能在解題前注意優(yōu)化思維過程，適當作一點“技術處理”，簡化或避免分類，往往能給解題帶來事半功倍之效.本文結(jié)合近幾年高考數(shù)學壓軸題為例，談談如何優(yōu)化思維過程，簡化繁雜分類.現(xiàn)拋磚引玉如下，供大家參考.

一、整體把握，化繁為簡

例1（2011年高考江蘇卷第19題）已知a，b是實數(shù)，函數(shù)fx=x3+ax，gx=

x2+bx，f ′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的導函數(shù)，若f ′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

（1）設a>0，若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，求實數(shù)b的取值范圍；

（2）設a<0，且a≠b，若函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值.

分析本題中由于a，b為端點的開區(qū)間的端點位置不確定，若分類討論進行求解，則顯得非常繁瑣，若能巧妙利用好f ′（x）g′（x）≥0在區(qū)間恒成立這一條件，將其轉(zhuǎn)化為研究導函數(shù)hx在該區(qū)間上的增減性的充要條件，就能有效地避免極為復雜的分類討論.

解（1）b≥2（過程略）

（2）因函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，所以f ′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，這里I=a，b或者I=b，a.

令hx=f ′xg′x=6x3+3bx2+2ax+ab，則h′x=18x2+6bx+2a.因a<0，所以h′x=0有兩個符號相異的實根x1、x2，不妨設x1<0，x2>0.若b>0，由a<0知此時I=a，b，h0=ab<0，而0∈a，b，這與hx≥0在a，b上恒成立相矛盾，故b≤0.所以開區(qū)間I應在x2的左側(cè)，在I內(nèi)hx的單調(diào)性要么遞增，要么遞減，要么先增后減.從整體上看，不管哪種情形，只需ha≥0且hb≥0即可.由ha≥0且hb≥0，并結(jié)合a<0、b≤0解得-13≤a<0、-13≤b<0，所以a-b≤13.故a-b的最大值為13.

評注 本題由于區(qū)間端點不確定，通常需要分三類進行討論、由于題目中涉及的字母較多，無形之中增加了計算量，本題解法和官方解法相比，構思巧妙，解答流暢，從整體上把握問題，有效地避免了繁雜的分類.

二、巧設直線，方程助力

例2（2009年高考全國Ⅱ卷（文）第22題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為33，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點.當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為22.

（1）求a、b的值；

（2）C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有OP=OA+OB成立？若存在，

求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由.

分析第（1）問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關關系式計算即可，比較簡單，第（2）問若能抓住直線的斜率不可能為零，巧設直線方程為x=my+n，借助根與系數(shù)關系可以簡化或避免討論，大大減少計算量，提高解題速度.

解（1）a=3，b=2（過程略）

（2）設A、B坐標分別為x1，y1，x2，y2.注意到直線過x軸上的點F1，0，故設直線的方程為x=my+1，代入橢圓方程中化簡，得2m2+3y2+4my-4=0，因Δ>0恒成立，所以y1+y2=-4m2m2+3，y1y2=-42m2+3.

假設符合條件的P點存在，則Px1+x2，y1+y2在橢圓2x2+3y2=6上.

代入整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.

因Ax1，y1，Bx2，y2也在橢圓上，

故2x1x2+3y1y2+3=0，

即2my1+1my2+1+3y1y2+3=0，

整理得

2m2+3y1y2+2my1+y2+5=0.將y1y2、y1+y2的值代入，

解得m=±22.當m=22時，y1+y2=-22，x1+x2=my1+y2+2=32，得P32，-22，

直線l的方程為2x-y-2=0.

當m=-22時，得P32，22，直線l的方程為2x+y-2=0.

評注當直線過一點時，設直線方程時很容易利用點斜式或斜截式進行，而忽略斜率不存在的情況或是運算較繁，需要分類討論.如果知道直線的斜率不可能為零，可將直線方程設為x=my+n，這樣，不僅避免或簡化了討論的步驟，且可以大大減少計算量，提高解題速度.

三、變換主元，定輔略主

例3（2008年高考安徽卷（文）第20題）設函數(shù)fx=a3x3-32x2+a+1x+1，

其中a為實數(shù).

（1）已知函數(shù)fx在x=1處取得極值，求a的值；

（2）已知不等式f ′x>x2-x-a+1對任意的a∈0，+∞都成立，求實數(shù)x的取值范圍.

分析第（1）問直接利用導函數(shù)求一點處的極值結(jié)合增減性即可求出，第（2）問往往將它整理成關于x的二次不等式：a-1x2-2x+2a>0對任意的a∈0，+∞都成立，這樣就需要對二次項系數(shù)進行分類討論.而如果將問題轉(zhuǎn)化成以a為主元，x為輔助元的新函數(shù)ga=x2+2a-x2-2x對于任意的a∈0，+∞，ga≥0的充要條件問題，然后解不等式，那么問題就簡單多了.

解（1）a=1（過程略）

（2）因為

f ′x=ax2-3x+a+1.所以ax2-3x+a+1>x2-x-a+1

整理得x2+2a-x2-2x>0，令ga=x2+2a-x2-2xa>0，

顯然，ga為增函數(shù)，于是，對任意的a∈0，+∞，

ga≥0的充要條件是g0=-x2-2x≥0

解得-2≤x≤0.

評注 對于不等式恒成立問題有很多，但本題通過變換主元，使問題很好地避開了繁雜的分類討論，解答思路清晰，直觀簡潔，計算量小.

四、反面入手，另辟蹊徑

例4（2010年高考全國卷Ⅱ（文）第21題）已知函數(shù)fx=x3-3ax2+3x+1.

（1）設a=2，求fx的單調(diào)區(qū)間；

（2）設fx在區(qū)間2，3上至少有一個極值點，求a的取值范圍.

分析第（1）問將a=2代入函數(shù)關系式，利用函數(shù)的導數(shù)法求極值很容易求出.第（2）問為避免分類，考慮問題的反面. fx在區(qū)間2，3上沒有一個極值點，即 f ′x=3x2-6ax+3的圖象在區(qū)間2，3上與x軸無交點，轉(zhuǎn)化為f ′2f ′3≥0解得，再求其補集即可.

解（1）fx的單調(diào)增區(qū)間為-∞，2-3，2+3，+∞；fx的單調(diào)遞減區(qū)間為2-3，2+3.（過程略）

（2）要使函數(shù)fx在區(qū)間2，3上至少有一個極值點，只需函數(shù)f ′x=3x2-6ax+3的圖象在區(qū)間2，3上與x軸有交點且在2，3上方程f ′x=0無等根.為避免分類，考慮問題的反面. f ′x=3x2-6ax+3的圖象在區(qū)間2，3上與x軸無交點時，有f ′2f ′3≥0，并解得a≥53或a≤54，取其補集，得54

評注 對于在固定區(qū)間求極值點的問題，有時可以通過求問題的反面，再求其補集，有效地避開繁雜的分類討論，計算量小，解法更加順暢，自然.

五、數(shù)形結(jié)合，相得益彰

例5（2010年高考江蘇卷第20題）設fx是定義在區(qū)間1，+∞上的函數(shù)，其導函數(shù)為f ′x.如果存在實數(shù)a和函數(shù)hx，其中，hx對任意的x∈1，+∞都有hx>0使得f ′x=hxx2-ax+1，則稱函數(shù)fx具有性質(zhì)Pa.

（1）設函數(shù)fx=lnx+b+2x+1x>1，其中b為實數(shù).

（ⅰ）求證：函數(shù)fx具有性質(zhì)Pb；

（ⅱ）求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間.

（2）已知函數(shù)gx具有性質(zhì)P2.給定x1，x2∈1，+∞，設x11，β>1，若gα-gβ<

gx1-gx2，求m的取值范圍.

分析（1）第（1）（ⅰ）問直接求導即可解決，（ⅱ）問的關鍵是借助二次函數(shù)圖象的對稱軸的位置不同進行分析，以簡化分類. 第（2）問若構造出適當?shù)膱D形進行分析，不僅可避免繁瑣的分類，而且答案顯而易見，體現(xiàn)出以形助數(shù)，直觀易懂.

解（1）（ⅰ）f ′x=1x-b+2x+12

=1xx+12x2-bx+1.

因為x>1時，hx=1xx+12>0恒成立，所以函數(shù)fx具有性質(zhì)Pb；

（ⅱ）設φx=x2-bx+1=x-b22+1-b24，φx與f ′x的符號相同.

由二次函數(shù)圖象分析可知：

當1-b24≥0，-2≤b≤2時，

φx>0，f ′x>0，

故此時fx在區(qū)間1，+∞上遞增；

當b<-2時，φx圖象開口向上，對稱軸x=b2<-1，而φ0=1，對于x>1，總有

φx>0，f ′x>0，故此時fx在區(qū)間1，+∞上遞增；

當b>2時，φx圖象開口向上，對稱軸x=b2>1，方程φx=0的兩根為：

b+b2-42，b-b2-42，而b+b2-42>1，b-b2-42=2b+b2-4∈0，1.

當x∈1，b+b2-42時，φx<0，f ′x<0，故此時fx在區(qū)間1，b+b2-42上遞減；同理得：fx在區(qū)間b+b2-42，+∞上遞增.

綜上所述，當b≤2時，fx在區(qū)間1，+∞上遞增；

當b>2時，fx在1，b+b2-42上遞減；

fx在b+b2-42，+∞上遞增.

（2）由已知可知，α+β=x1+x2，且α，β，x1，x2都在定義域內(nèi)，x1

所以α+β2=x1+x22，

即中點相同，所以α、β要么在區(qū)間x1，x2上，要么在區(qū)間x1，x2外.

因gx具有性質(zhì)P2，即已知中a=2的情形，所以gx在1，+∞上遞增.

又因為gα-gβ

由圖形可見DF>CE，所以α，β只能在區(qū)間x1，x2上.

故x1<α

圖1

評注對于一些新定義型的高考題，有時候結(jié)合題目的已知條件，進行合理構造幾何圖形，恰當賦予幾何圖形數(shù)量關系，就可以使問題達到出乎意料的效果.

六、洞察本質(zhì)，抓住內(nèi)涵

例6（2011年高考浙江卷（文）第21題）設函數(shù)fx=a2lnx-x2+ax，a>0.

（1）求fx的單調(diào)區(qū)間；

（2）求所有實數(shù)a，使e-1≤fx≤e2對x∈1，e恒成立.

分析第（1）問只需對fx求導，利用導數(shù)f ′x的正負值求解單調(diào)區(qū)間.第（2）問顯然，要根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)fx在1，e上的最值.由

f ′x=0，得x1=-a2<0，x2=a>0，從而，fx在1，e上的單調(diào)性與a的值有關，通常分三種情況討論.但如能注意到e-1≤fx≤e2對x∈1，e恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，則可回避對a

解（1）f ′x=-2x+ax-ax，因為x>0，a>0.

所以fx的單調(diào)增區(qū)間是0，a，單調(diào)減區(qū)間是a，+∞.

（2）顯然，要根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)fx在1，e上的最值.由f ′x=0，得x1=-a2<0，x2=a>0，要使e-1≤fx≤e2對x∈1，e恒成立，需有e-1≤

f1=a-1≤e2得a≥e，則可回避了對a

由（1）可知，fx在1，e上遞增，所以e-1≤f1，fe≤e2，又a≥e，聯(lián)立解得a=e.

評注本題第（2）問關于函數(shù)在某一給定區(qū)間上恒成立問題，可以將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在端點處滿足給定的區(qū)間不等式條件，轉(zhuǎn)化為不等式問題，即可輕松求解.

七、分離參數(shù)，突破極限

例7（2010年高考數(shù)學全國卷（理）第21題）設函數(shù)fx=xex-1-ax2.

（1）當a=12時，求fx的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當x≥0時，fx≥0，求實數(shù)a的取值范圍.

分析（1）略.

（2）gx=ex-1x在x=0處的極限值是學生求解的難點所在.如何求解.如果學生能回歸導數(shù)的定義，利用分離參數(shù)突破極限值，則問題就變得簡單多了.

解（1）略；

（2）由已知得fx=xex-1-ax2≥0（其中x≥0）.

當x=0時，a∈R；當x>0時，分離參數(shù)得a≤ex-1x（其中x>0），

令gx=ex-1x（其中x>0），求導可得g′x=xex-ex+1x2（其中x>0）.

令hx=xex-ex+1（其中x>0），則h′x=xex>0（其中x>0），

因此hx在0，+∞上單調(diào)遞增，從而hx>h0=0，

于是g′x>0，故gx在0，+∞上單調(diào)遞增，

因為limx→0gx=limx→0ex-1x=limx→0ex-1-e0-1x-0

由導數(shù)的定義知limx→0gx的值為函數(shù)φx=ex-1在x=0處的導數(shù).又因為φ′x=ex，所以φ′0=e0=1，從而a≤1.

綜合以上可知，a取值范圍為-∞，1.

評注問題的難點在于gx=ex-1x在x=0處的函數(shù)值不存在，如何求解gx=ex-1x在x=0處的極限值是難點，很多教師在教學中都是運用高等數(shù)學中的洛必達法則求解的，但對于高中生而言，是超出高考要求的.如果能從導數(shù)定義出發(fā)，則不難實現(xiàn)問題的解決.

八、二次求導，柳暗花明

例8（2010年高考數(shù)學全國卷第20題）已知函數(shù)fx=x+1lnx-x+1.

（1）若xf ′x≤x2+ax+1，求a的取值范圍；

（2）證明：x-1fx≥0.

分析對于第（1）問通過二次求導，得到lnx-x的最大值，從而求出a的取值范圍. 第（2）問常規(guī)方法是把x-1fx進行化簡，然后對x進行分類討論，這是有難度的，若能從函數(shù)fx的符號入手，利用二次求導，借助fx在0，+∞上的增減性，解題思路頓時柳暗花明，問題化難為易.

解（1）xf ′x≤x2+ax+1化簡，得a≥lnx-x，令gx=lnx-xx>0，二次求導，得gxmax=-1，所以a≥-1.

（2）由題意，得f ′x=lnx+1xx>0，二次求導，得f ″x=1x-1x2x>0，可得f ′xmin=f ′1=1，所以f ′x>0，所以fx在0，+∞上是增函數(shù)，又f1=0，所以x-1與fx同號，即有x-1fx≥0.

評注本題兩問均通過二次求導，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的最值問題或單調(diào)性問題，從而避免了常規(guī)思路中對x的分類討論，優(yōu)化了思維，提高了解題效率.

總之，分類討論思想在歷年的高考數(shù)學壓軸題中，都占有及其重要的地位和作用，幾乎每年都有所考查，分類討論是許多學生的弱點，也是高考的熱點、難點.但是有些高考壓軸題，如果我們能夠根據(jù)題目條件，講究一些思維策略，作恰當處理，就可以輕松破解這些高考壓軸題，給解題帶來事半功倍之效.

（收稿日期：2016-09-12）