“微元思想”在動量定理解題中的應用

馬秀江

在2014年新課標卷物理考綱中增加的內容：選修模塊3-5，在主題“碰撞與動量守恒”下增加“動量定理”并作Ⅱ級要求.這就要求教師在備考過程中體現出考綱的變化.尤其是“微元思想”在動量定理解題中的應用，要想解好此類題從以下三個方面作起.

一、建立一種模型——柱體模型

對于流體問題，可沿流速v的方向選取一段柱形流體，設在Δt時間內通過某一橫截面S的流體長度為Δl，如圖1所示，若流體的密度為ρ

，那么，在這段時間內流過該截面的流體的質量為Δm=ρSΔl=ρSvΔt.圖1

二、掌握一種方法——微元法

當所取時間為Δt足夠短時，圖1流體柱長度

Δl甚短，相應的質量Δm也很小.顯然，選取流體柱的這一微小元段作為研究對象就稱微元法.

三、運用一個規律——動量定理

求解這類問題一般運用動量定理，即流體微元所受的合外力的沖量等于微元動量的增量，即

F合Δt=Δp.

四、舉例

1.液體流問題

例1高壓采煤水槍出口的截面積為S，水的射速為v， 水的密度為ρ，水平射到煤層上后，①若水的速度變為零，求水對煤層的平均沖力大小為多少？②求水對煤層可能受到的最大平均沖力的大小為多少？

解析①取時間t內的水研究對象m=ρSvt，以初速度方向為正方向，根據動量定理，有：

-Ft=0-（ρSvt）v

計算得出：F=ρSv2

因此，本題正確答案是ρSv2.

②取時間t內的水研究對象m=ρSvt，以初速度方向為正方向，根據動量定理，有：

-Ft=-ρSvtv—（—ρSvtv）

計算得出： F=2ρSv2

因此，本題正確答案是2ρSv2

點評所取的的時間為Δt足夠短，趨近于零時，液體柱長度Δl很短，相應得質量Δm也很小，這種取微元作為研究對象的方法，稱為微元法.在水流中截取很小的一段為研究對象，等效成兩種模型，一種是水流的速度減速到零，另一種是水流的速度等大反向，相當于彈性碰撞，兩種情況下作用時間都為t，此類問題迎刃而解.

例2為估算池中睡蓮葉面承受雨滴撞擊產生的平均壓強，小明在雨天將一圓柱形水杯置于露臺，測得1小時內杯中水上升了45 mm.查詢得知，當時雨滴豎直下落速度約為12 m/s.據此估算該壓強約為（設雨滴撞擊睡蓮后無反彈，不計雨滴重力，雨水的密度為1×103 kg/m3）（）.

A. 0.15PaB. 0.54Pa

C. 1.5PaD. 5.4Pa

解析設雨滴受到支持面的平均作用力為F.設在Δt時間內有質量為Δm的雨水的速度由v=12 m/s減為零.以向上為正方向，對這部分雨水應用動量定理：

FΔt=0-（-Δmv）

得到F=ΔmΔtv.

設水杯橫截面積為S，對水杯里的雨水，在Δt時間內水面上升Δh，則有研究對象Δm=ρ SΔh，

F=ρSvΔhΔt，壓強P=FS=ρVΔhΔt=103×12×45×10-33600=0.15（Pa）

點評此題關鍵是選取極小時間的水柱為研究對像，因為時間非常的短，還是估算題，所以重力可以忽略，與2016高考題35處理思想一致，豎直方向應用動量守恒，忽略了重力.

例3一水龍頭以v1=20 m/s的速率噴出截面積為2×10- 4m2的水柱，水柱垂直沖擊豎直墻壁后，變成無數小水滴，被墻面反彈后向四周均勻飛濺，形成一個頂角為120度的圓錐，如圖2所示，若飛濺水滴的速率為2.0 m/s則，則水柱對墻壁的沖擊力為多大？水的密度ρ=1×103kg/m3.圖2

解析 在該問題中，重力對水柱的影響可以忽略不計，設水龍頭噴水的方向為正方向.設在Δt時間內與墻壁發生碰撞的水柱質量為Δm=ρSv1Δt，設水柱受到墻壁沖擊力為F.由動量定理得

-

FΔt=-Δmv2cosα-Δmv1，

F=ρSv1（v2cosα-v1）

帶入數據得F=-84 N

水柱對墻壁的沖擊力F′是F的反作用力，大小也為84N.

點評動量定理公式是矢量式，建立方程時要注意各矢量的方向，本題中根據對稱性，把沖量分解到水平方向和豎直方向，豎直方向分沖量矢量和為零，重力比墻壁反沖擊力小得多，可以忽略不計.

2.微粒流問題

例4太空飛船在宇宙飛行時，和其它天體的萬有引力可以忽略，但是，飛船會定時遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用.設單位體積的太空均勻分布垃圾n顆，每顆的平均質量為m，垃圾的運行速度可以忽略.飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向的橫截面積為S，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住.試求飛船引擎所應提供的平均推力F.

解析取一段時間Δt，在這段時間內，飛船要穿過體積ΔV=S·vΔt的空間，遭遇nΔV顆太空垃圾，使它們獲得動量ΔP，其動量變化率即是飛船應給予那部分垃圾的推力，也即飛船引擎的推力.

F=

ΔPΔt=ΔM·vΔt=m·nSvΔt·vΔt=nmSv2

點評太空垃圾的分布并不是連續的，對飛船的撞擊也不連續，如何正確選取研究對象，是本題的前提.建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對模糊地處理垃圾與飛船的作用過程、淡化“作用時間”和所考查的“物理過程、時間”的差異.物理過程需要人為截取，對象是太空垃圾.

3.氣體流問題

例5在水平地面上放置一個氧氣瓶，設瓶內高壓氧氣的密度為ρ，瓶口甚小，其橫截面積為S.若打開閥門，當噴出氧氣的速率為v時，求地面對氧氣瓶的靜摩擦力大小（在此過程中，瓶內氧氣密度的變化忽略不計，且設氧氣瓶保持靜止狀態）.解析選取極短時間Δt內噴出的相應速率為v的一小段氧氣柱為研究對象，其微元的質量Δm，受到的沖力為F，由動量定理有：

FΔt=Δmv，而Δm=ρSvΔt代入得

F=ρSv2

根據牛頓第三定律，氧氣瓶所受氣體的反作用力與氣體的沖力大小相等，又因氧氣瓶保持靜止，由平衡條件得靜摩擦力大小為f=F=ρSv2.

點評處理有關流體（如空氣、高壓燃氣等）撞擊物體表面產生沖力（或壓強）的問題，可以說非動量定理莫屬.解決這類問題的關鍵是選好研究對象，一般情況下選在極短時間Δt內射到物體表面上的流體為研究對象

例6某種氣體分束由質量m0=5.4×10-26kg，速度v=460 m/s

的分子組成，各分子都向同一方向運動，垂直地打在某平面上后又以原速率反向彈回，如分子束中每立方米的體積內有n0=1.5×1020個分子，求被分子束撞擊的平面所受到的壓強？

解析時間t內碰撞面積S上的分子數：N=（vt·S）n0

容器有6個面，所以每個器壁碰撞的分子數為16N，對于這部分分子，根據動量定理，有：

-Ft=-

16Nm0v-16Nm0v

計算得出：p=FS=13n0m0v2

答：被分子束撞擊的平面所受到的壓強是13n0m0v2.

點評由于沖擊作用過程時間極短，產生變化很大，研究對象還是微觀粒子，牛頓運動定律不適用，用動量定理可以不考慮中間細節，只分析整個過程中沖量的總體效果，是解決這類問題的重要方法.

4.電子流問題

例7在彩色電視機的顯像管中，從電子槍射出的電子在加速電壓U作用下被加速，且形成電流為I的平均電流，若打在熒光屏上的高速電子全部被熒光屏吸收.設電子質量為m，電量為e，進入加速電場之前的初速不計，求：

①t秒內打在熒光屏上的電子數？

②顯像管受到電子流的平均沖力多大？

解析①電子流單位時間流過某一截面的電量是一定的，故Q=It，n=Qe=Ite.

對一個電子而言，有12mv2=eU，

所以加速后電子的速率為

v=2eUm.

②以體積元ΔV 中的 n 個電子為研究對象，電子與熒光屏作用前的速度為 v，作用后電子被吸收表明其動量為零，由動量定理得

F·Δt=n·Δp=n（p-0）

=nmv=Ite·m2eUm.

故顯像管受到的平均沖力為F=I2eUme.

例8已知火箭發動機產生的推力F等于火箭在單位時間內噴出的推進劑的質量J與推進劑速度v的乘積.即F=Jv.質子火箭發動機噴出的推進劑是質子，這種發動機通常用于外層空間中產生小的推力來糾正衛星的軌道或姿態.設質子發動機噴出質子流的電流I=1 A，用于加速質子的電壓U=5×104V.試求該發動機的推力F.（已知質子的質量是1.6×10-27kg，電量為1.6×10-19C）

解設單位體積內的質子（電荷）數為n

質子流的橫截面為S

每個質子的質量為m0

則質子電流強度I=nevS0

單位時間內噴出的質子總質量J=nvSm0

電場對質子做的功為：W=eU

且由題意可知W=12m0v2-0 v=2eUm0

故F=nvSm0v=nSm0v2=nS×2eU

IJ=em0， J=Im0e

即：F=Jv=Im0e2eUm0=Ie2eUm01=I2Um0e

點評無論是電子流、質子流還是光子流，都可以把這些等效成常見的水流模型，使形異質同的問題歸為一類應用動量定理去處理.

例9[2016年全國（新課標卷Ⅰ）]理科綜合題35：某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質量為M的卡通玩具穩定地懸停在空中.為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變為零，在水平方向朝四周均勻散開.忽略空氣阻力.已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，求：

（ⅰ）噴泉單位時間內噴出的水的質量；

（ⅱ）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度.

解析（ⅰ）在一段很短的Δt

時間內，可以認為噴泉噴出的水柱保持速度v0不變.

該時間內，噴出水柱高度：Δl=v0·Δt①噴出水柱質量：Δm=ρ·ΔV②

其中ΔV為水柱體積，滿足：ΔV=Δl·S③

由①②③可得：

噴泉單位時間內噴出的水的質量為

ΔmΔt=ρ·v0·S

（ⅱ）設玩具底面相對于噴口的高度為h

如圖3所示，由玩具受力平衡得：圖3

F沖=Mg④

其中，F沖為玩具底部水體對其的作用力.

由牛頓第三定律：

F壓=F沖⑤

其中，F壓為玩具對其底部下面水體的作用力

v′為水體到達玩具底部時的速度

由運動學公式：

v′2-v20=-2gh⑥

在很短Δt時間內，沖擊玩具水柱的質量為Δm

Δm=ρ·v0·S·Δt⑦

由題意可知，在豎直方向上，對該部分水柱有

動量定理（F壓+Δmg）·Δt=Δm·v′⑧

由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略

⑧式變為

F壓·Δt=Δm·v′⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得

h=v202g-M2g2ρ2v20S2

點評動量定理，流體受力分析，微元法.情景比較新穎，考查了學生綜合分析能力.也提醒我們在備考過程中不能有押題的想法，對知識、方法一定全面復習.兩三年前考綱的變化可能在某一年的高考中的體現出來.

動量定理，應用面廣，題型多變，容易出現綜合應用的題中，在物理備考中，把實際情景問題構成物理模型，他需要我們去偽存真，揭示本質，做到多題歸一.解題的關鍵是構建柱體微元模型應用動量定理分析求解，則曲徑通幽，“柳暗花明又一村”.

（收稿日期：2016-09-16）