探“源”引“流”

張永杰

[摘要]“源流式”高中數學教學是切合新教改，體現數學“核心素養”的高中數學教學方式的一種轉變，也促使高中數學本真價值的回歸?！霸戳魇健备咧袛祵W教學的根本意義是讓高中數學“返本歸源”。讓學生對數學“探本窮源”，進而讓學生從數學的“源”與“流”上整體、聯系、深刻地把握數學。

[關鍵詞]“源流式”教學；高中數學；數學生長

基于功利主義和對教學效率的片面追求。高中數學教學常常是“掐頭去尾燒中段”。由此異化成一種“截流式”教學?！敖亓魇健苯虒W具體表現為：教師對學生的機械灌輸。學生對知識的被動接受。這種方式很少讓學生有自主探究、自發交流、自能思考的機會。“源流式”教學與“截流式”教學截然不同。旨在讓學生對數學知識進行“再創造”（弗賴登塔爾語），經歷數學知識自然生長的過程。由此把握數學知識的由來和內在本質。

對“源流式”教學的深度解讀

任何事物都不是突然發生的。都有其漸進演變的過程。也就是說都是有“源”和“流”的。在高中數學教學中。我們同樣需要關注知識的“源”與“流”。關注知識的本質。關注知識的結構脈絡。

首先是知識的“源”。所謂“源”。就是“根源”。在高中數學教學中教師要能積極“返本歸源”。引領學生追問并探尋數學知識的“根源”。讓學生“飲水思源”“探本窮源”。具體而言。就是要善于追問數學知識的“生成之源”。關注數學知識的“生長之源”。把握數學知識的“生發之源”。

其次是知識的“流”。所謂“流”。即“流向”“流動”“流變”“流傳”等。在高中數學教學中。教師要引領學生精準地把握數學知識的流向。把握數學知識間的關聯。把握數學的知識結構。明晰每一個數學知識點“從哪里來、到哪里去”。要順流而下。讓學生根據已有的數學知識體驗、感知新知識的生成。

“源流式”教學的建構路徑

高中數學實施“源流式”教學有兩個層面。即處理好知識的“源”與“流”。“源式”教學要求學生對數學知識不僅“知其然”。更“知其所以然”。要對知識的產生、發源地進行回溯、探訪，進而把握知識本質、結構，“以簡馭繁”；“流式”教學要求學生明晰每一個數學知識點背后的“上位知識”和“下位知識”。它“來自何處又去向何方”。它是以怎樣的方式和途徑“來去”的。要“既見樹木。又見森林”。

溯本求源——“源流式”教學之起點

“源流式”教學首先需要探尋數學知識之源、學生認知之源，這是學生學習數學之起點。也是數學教學設計之起點。因此。教師必須基于學生的已有知識結構、認知結構，遵循學生的認知規律進行教學。

1.探尋數學知識起點

高中數學知識幾乎都是“散裝”的。它略去了知識誕生的先后順序、認知視角等。“源流式”教學即是要求數學教學要潛入數學知識的原點去、源頭去，去探尋知識的本質和研究視角等。例如。教學“平面解析幾何初步”單元。該單元是在小學、初中學習幾何圖形的基礎上進行教學的，但小學、初中都是采用幾何的方法進行的研究。高中數學截然不同。它要求用代數的方法對圖形進行量化研究。這是高中解析幾何的根本方法。這對于后面學習橢圓和雙曲線、拋物線等圖形。加深對圖形的量化刻畫至關重要。教學之前教師必須要有足夠的認識。

2.把脈學生認知起點

學生的認知是螺旋建構的。教學中教師要把脈學生的認知起點。找準學生認知的“最近發展區”。將學生的數學學習由“潛在發展區”導向“現實發展區”。例如。教學“等差數列”。筆者讓學生通過正反實例深刻理解“等差數列”中的“常數”的含義和作用。如a_n-a_n-1=4n-5，很多學生認為這個等差數列中的公差是“4n-5”，其實當n為正整數時，這個數列的公差不是等差而是“變差”。公差會伴隨n的變化而變化。如此。把脈學生的認知起點?？梢源龠M學生的數學學習。

3.激活教學設計起點

在高中數學教學中。教師需要考量從何處預設教學目標、規劃教學設計、謀劃學習過程。教學起點的設計是教學過程展開的基礎。教學的針對性、適切性與教學起點的設計息息相關。例如。教學“平面與平面平行的判斷”。筆者根據數學知識起點和學生認知起點。將課時目標進行有效定位：掌握“平面和平面平行的判定定理”，能夠用圖形、文字、符號對定理進行多元表征：理解定理。能夠自主歸納出“平面與平面平行”的判斷條件：能對以長方體、棱錐等為載體的面面平行問題進行論證。形成學生空間問題平面化思想。

順流而下——“源流式”教學之過程

數學知識是相互關聯的整體結構。教學中不僅需要回溯知識的“源”。更需要探尋知識的“流”。通過探尋“流”。引領學生領悟知識的內核。把握知識的關聯。將各個知識點納入到主知識渠道之中。形成對知識的整體認知。

1.“主任務”驅動?！按髥栴}”設定

“任務驅動”是建構主義的教學法。即是讓學生圍繞一個中心任務展開自主的探究。這是“源流式”教學的激發機制，學生在這個過程中主動“查源、補漏、尋缺”。教師以“大問題”設定。激發學生的主動思維。提升學生的思維品質。例如。教學“指數函數和對數函數關系”。筆者首先用“主任務”驅動：函數y=a^x和y=log_ax（a>0且a≠1）之間有什么內在關系。然后筆者先用一組題誘導學生思考：嘗試計算函數y=2^x和y=log₂x的y的值。通過計算。學生得出了兩個函數值表。接著筆者引導學生觀察并繪制圖像。用“大問題”設定：兩個函數之間有什么關系？同底的指數函數和對數函數的圖像有什么關系？學生從具體到抽象，逐步建立起反函數的概念。反函數的原理、特性等數學知識是函數知識發展的必然流向。

2.“高觀點”統籌?！爸R點”集裝

“源流式”教學要求教師關注數學知識的發現、發生、發展和變化的過程，把握數學知識內部小系統、知識間的大系統的屬種、層次、交叉關系。因此，教師需要用“高觀點”進行統籌。對數學散裝的“知識點”進行“整體集裝”。由此構筑數學知識之體。例如。教學“直線與方程”單元，筆者將知識點整理如下：兩直線位置關系（兩條直線的交點坐標、兩點間的距離、點到直線的距離、兩平行直線間的距離、兩直線垂直），這部分內容在整個高中解析幾何中發揮著極其重要的作用。教學時必須讓學生秉持“高觀點”：方程的直線和直線的方程。因為整個解析幾何主要研究的就是兩個問題：曲線的方程和方程的曲線。用“高觀點”對“知識群”進行集裝。對于學生建立解析幾何學習的根本框架有著十分重要的意義和價值。

3.“條線式”串聯?！靶蛄谢鄙L

盡管有一些相同類型的數學知識被分散在高中各年級的教材之中。其難度不一。但在其內部卻存在著本質關聯。“源流式”教學要求教師在教學過程中對同類知識、相關知識等進行“條線式”串聯。以便讓知識獲得“序列化”生長。教學“二項式定理”，即（a+b）ⁿ展開式，筆者首先讓學生嘗試分析n=2，3，4時展開式的共同特征學生從（a+b）²=a²+2ab+b²出發，嘗試推導（a+b）³，（a+b）⁴的展開式。并且提出各自的猜想。覺得用遞推法得出各項系數有困難為此。筆者引導學生嘗試用組合知識解釋ab項的系數。于是學生根據多項式的乘法法則推導表示出了（a+b）³，（a+b）⁴的展開式，并形成了關于（a+b）ⁿ的展開式的猜想通過“條線式”串聯。最終形成了二項式展開式的通項：T_k+1=C^k_na^n-kb^k（0≤k≤n，n∈N^*）。實現了數學知識的“序列化”生長

“源流式”教學洞察知識之根、結構之眼，將數學知識“連成線、形成片、織成網”。學生觸摸到數學知識的生成、感知數學知識的延展方向。不斷形成新知識的“生長能級”。相信這樣，能使學生跟隨數學知識從源頭流出。感受數學知識的流淌。自然能形成對數學的真正理解和應用。