代數解題中的典型錯誤心理分析與啟示

廣東省中山市東鳳理工學校(528425) 張紅霞

代數解題中的典型錯誤心理分析與啟示

廣東省中山市東鳳理工學校(528425) 張紅霞

一、典型代數解題錯誤的心理分析

1.因代數解題思維過程的復雜性導致的一類“錯誤”的心理分析

代數思維作為一種形式符號的操作,需要較高的符號操作能力,學生如果不具備確定等價轉化的結構意識,那么代數解題過程中就會發生由于思維過程的復雜性而導致的錯誤.這種復雜性讓學生一般的心理思維受阻而無法全面考慮推理邏輯互逆的推理關系.

這是一道純粹的代數題,主要的心理操作是符號變換,其中的思維復雜.首先,問題是在已知一個角滿足一個三角函數關系式的情況下,求這個角的余弦值.如果關系式中含有要求的三角式子,學生可以按方程思想及換元思想來理解和解決這個問題.但現在不是,那么按照一般思路,就應先求出這個角或者這個角的正弦值和余弦值,再求這個角的余切值,這是一般學生想得通的.可是,本解題過程并不是按這種思路來解決的,而是避開求角,通過關系轉換,變成所要求的三角函數式的一個等式,轉換為方程及換元思路來解決.那么,這個轉換就要求“可逆”,學生明白這個道理嗎?

有些學生到了(5)這一步,就宣告結束,結果出來了,為什么?這是因為他沒有可逆的意識.有的學生從條件出發考慮,覺得還有一個條件沒有用,題目到(5)不能結束,這才想到進一步利用條件“細化”結論,而不是處于可逆的想法.

從(1)到(5)學生可能是套以往的方法模式,從(6)到(11)是進一步求符合條件的要求量.實際上,整個思維過程是復雜的,因為這里聯合運用了條件(1).(1)到(5)是先求符合滿足其中一個條件的所有要求量,而在具體實施過程中,不僅是求出符合一個條件的要求量,而且也有可能求出不符合這個條件的量,因為用了“平方”運算,(6)到(11)是剔除不符合第一個條件和第二個條件的,正是由于有這步工作,“二合一”,所以前面用了平方運算也不用再單獨剔除.可以發現學生缺乏的不是理論知識,而是對形式結構的洞察力.

2.因代數解題外顯表達“失誤”導致的一類“錯誤”的心理分析

代數問題解決是一個復雜過程,代數解題中語言表達——數學語言運用,也就是數學語言書寫對于學生也是一種困難.當學生試圖把有關代數的想法(如化簡、運算、推理與證明等)用書面的形式寫下來時往往會出現“心里清楚,但是表達出來卻不是那么一回事兒”的情況,即產生書寫失誤.

如圖1所示的解題書寫失誤,學生其實掌握了多項式的運算法則和冪的運算,特別知道負數的偶數次是正數,負數的奇數次是負數,但是在書寫的時候就產生了“·”的書寫困難,點乘寫得跟減號很像,于是在第二步的第一項運算里面就出現了心里想著是(?x)2·x3,但是中間的點寫得非常像減號,于是腦海里晃過“?x平方后負號沒了,但是x3前面有個負號”,所以結果就成這樣了.其次可以看到兩種運算符號緊接著連續出現的現象:?x5·?8y和4x2y2·?x3y,學生掌握的運算順序“先乘除再加減,有括號先算括號里面的數”,括號里面的運算完成之后,即成功去括號之后沒有想過還要添括號連續的兩種運算符號中間需要用添加括號來保證運算書寫的合理性,結果導致了書寫過程與結果都錯了.

圖1

3.因代數解題文字理解的困難性導致的一類“錯誤”的心理分析

代數問題解決具有廣泛的應用背景,代數應用題的本質是一種數學建模活動:一方面要求學生能夠根據實際情境,發現和構建合適的數學模型;另一方面也要求學生能夠解釋各種數學模型的不同意義.在這種活動中符號意識和對數學模型的洞察力至關重要.應用題通常稱為“文字題”,一般都有較多的文字敘述,文字的表述、文字題中無關信息、文字過多等都會對學生的代數問題解決帶來困難.

案例2

圖2

學生解答應用題時出現錯誤的一個重要的原因是學生過分依賴句中的關鍵詞,而未能真正了解題目的語意.可以看出學生在閱讀的時候非常認真,把關鍵詞都劃出來了,但是解題過程錯誤百出.所以學生的閱讀理解能力還是差,無法正確理解題意.“出廠價總是在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動”,“出廠價總是……”理解成了“出廠總價”,而6元的基礎直接忽視了,同樣情況也發生在銷售價上,如此以來導致后面做的大量計算的努力都白費了.文字理解不僅僅出現在多文字應用題中,還出現在少文字求解題中.文字過少,學生無法透徹理解題目的意思而導致錯誤.

所以文字理解的困難導致解題錯誤的現象屢見不鮮,幫助學生克服文字理解的困難也是代數解題教學的重點之一.

4.因代數解題概念表征的缺失性導致的一類“錯誤”的心理分析

代數的很多概念——常量與變量、模式與函數、方程與不等式都有多方面的表征.以函數為例,函數是一個典型的“認知根源”,其中包含很多子概念,如定義域、值域、對應關系、自變量、因變量、常數、函數解析式、函數圖像等.從“面”上看函數的表現方式包括作為形式概念的函數符號f(x),作為通俗易懂的函數機(輸入—輸出箱);既有代數的特征(函數解析式)、數的特征(函數的列表表示),也有幾何特征.是否能夠全面理解函數概念在一定程度上取決于處理函數多元表征的能力,而學生理解函數概念的多元表征卻不是一件容易的事情.比如,學生可以將函數用圖形直觀表示,但是往往在解釋圖形表示的函數信息方面卻總是感到困難.

案例3

圖3

5.因代數解題經驗思維的機械性導致的一類“錯誤”的心理分析

學生的錯誤很多時候是經驗理解下的產物,如對某些判斷準則的誤解或經驗性的錯覺,這些都是機械的,而且經常性重復.一種經驗理解是乍看到題目比較繁瑣、復雜,就給自己找借口:“這種題目我肯定做不出來的!老師也知道以我的水平做不出來很正常!”所以堂而皇之交上空白大卷;一種經驗性理解是解題策略的選擇受到代數問題的常用解題策略影響,比如換元法、分類討論、待定系數法等在代數問題解決中經常使用的方法,學生一遇到類似的問題結構立即就使用相應的方法,而沒有從新問題的本身出發進行審視.

同樣,學生一看到分段函數,馬上警覺地進行機械的分類討論,按自變量的范圍2?a2≥0且a≥0、2?a2≥0且a＜0、2?a2＜0且a≥0以及2?a2＜0且a＜0分類討論,再根據自變量的范圍代入分段函數的解析式,進一步求出范圍,四種情況討論的結果要取并集.此題放在選擇題里面,如此的分類討論不僅浪費時間,而且過程容易出錯,如是搞不清楚取交集還是并集,到最后還是竹籃打水一場空,所以分類討論就不起作用.但其實,分段函數的兩個解析式是熟知的二次函數,因此可以初步做出函數圖像,畫出圖像就發現這個分段函數在R上是單增函數,如此可以直接運用單增函數的定義求解.當分類討論顯得蒼白無力的時候,也有學生會發現不對勁而回過頭來重新看問題,可是大部分學生機械的經驗理解影響還是選擇對分類討論.

所以根據具體問題的具體條件審視并發現,擺脫經驗性理解也能夠提高代數問題解決的正確率和有效性.

二、對代數教學的啟示

1.從強化符號變換抓起,簡化代數思維的復雜性

代數思維之所以復雜,本質原因是沒有抓住代數符號變換思維的規則推理.符號變換主要包括(1)代數式的賦值、化簡和恒等變形的技能;(2)解方程和不等式的技能;(3)換元法.在代數教學中要巧用逆運算律,引導學生逆向思維.學生往往習慣于從正面入手推導,正向推理正確就滿足了,而忽視逆向思維的應用,教師應把逆向思維方法滲透到教學中,讓學生多經歷逆向推導的矛盾性或否立性,熟悉代數思維的互逆性,明白矛盾關鍵點,復雜的思維會顯得簡單化,在代數解題時會全面尋找命題成立的條件,從而減少錯誤.

2.從發展數學語言入手,減少代數解題的外顯失誤

學生在初學時較難掌握數學語言的語義及句法規則,如果處理不好,會成為制約學生代數學習以及解題的重要因素.因此,教學中應重視數學語言的解釋和分析.心理學家認為,理解數學語言表述的句子,應從三方面進行:數學語言的句法結構、數學語言表達的實際內容(稱為語義內容)、句法與語義的關系.在教學中對符號體系應有必要的解釋,確切的敘述和恰當的教授方法.一開始在教與學的過程中,要讓學生意識到符號的使用是進行數學表達和數學思考的重要形式.再對數學語言中的自然語言和符號語言以及圖形語言之間進行熟練地指導轉換,請學生詳述符號意義以及整合口語表達能力,盡量把心里所想的通過口語表達出來,接著引導學生克服口語與書寫之間的轉換困難,從而對數學符號的操作達到熟練程度.

3.從塑造意義建構突破,加強代數問題的文字理解

意義建構指解釋或發現形式符號或表達式背后的數學結構、實際模型以及各種符號操作的意義和作用.反過來也需要從實際問題背景中建構數學結構和模型,通過符號操作解決背景問題.學生需要在教師的指導下,從某些具有數學背景或者和現實生活聯系較密切的代數問題出發,通過學生自主研究、合作交流的方式,運用類似數學科研的方法獲取知識并運用知識.同時,在研究過程中,學生經歷代數知識的形成和發展過程,了解知識的研究背景和現實意義,在學習過程中發現數學美和體驗學習數學的樂趣.最后通過代數思維能力的培養,提高學生的創新意識和實踐能力,加強數學理解和文字背景的聯系,引導學生從整體和局部各角度抓住文字的關鍵信息,從而提高代數解題正確性.

4.從重視數形結合強調,加強代數概念的多元表征

數學關系可被展示為不同的形式,包括可視(例如圖表、圖像或曲線圖)、數字地(例如表格、清單)、符號和口頭等形式.通常一個好的數學探索應包括許多這樣的表征,因為每個形式都對理解呈現的思想有所貢獻.教師在教學過程中應該重視多元表征的功效,去研究、去分析、去使用.符號在一個代數概念的定義和性質中必須強調變量可以有多種等價形式,而圖像表征分析必須全面周到,不能簡單考慮局部.

5.從引導觀察分析總結,克服經驗理解的機械性

數學教學的實質是解題教學,是分析問題與解決問題的教學.在教學活動中,普遍存在這樣的現象:注重具體解題方法的講授,而忽略了隱蔽在具體技巧后面的更豐富、更一般的思維方法的教學,致使學生做大量的習題,而在“新題”面前無所適從.所以教師要教會學生問題的處理方法,每遇到新題除了運用舊方法的同時也引導學生重新審視題目的意義建構,深入全面地發現突破口,并且將數學研究的全過程展示給學生,幫助學生從中領悟數學思想和數學方法,掌握數學的實質,進而克服經驗理解的機械性.

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