“面積法”引入中學(xué)幾何課堂

廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與教育軟件學(xué)院(510006) 廖紅麗

“面積法”引入中學(xué)幾何課堂

廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與教育軟件學(xué)院(510006) 廖紅麗

平面幾何是初中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容中的一個(gè)重要組成部分,也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn),幾何難學(xué)已是不爭(zhēng)的事實(shí).為了解決這個(gè)問題,很多數(shù)學(xué)教育家前赴后繼地研究新的幾何學(xué)習(xí)方法、教學(xué)方法,但仍無多大改觀.有的數(shù)學(xué)教育家甚至提出要削減平面幾何的在初中課本中的分量,這是不可取的.幾何是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要的知識(shí)模塊,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力和嚴(yán)謹(jǐn)性思維有著不可替代的作用.兩千多年來,中學(xué)幾何課堂一直采用歐幾里得的幾何體系進(jìn)行幾何教學(xué),公理、定理較多,解題的技巧比較靈活多變.張?jiān)菏堪l(fā)現(xiàn)歐幾里得幾何仍然停留在“一題一法”的水平上,并沒有一套強(qiáng)有力的通用的解題方法,使得學(xué)習(xí)幾何的人覺得十分吃力[]1.如何去改良平面幾何,處理好中學(xué)課本中的幾何,已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革爭(zhēng)論的焦點(diǎn)之一.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指出,要培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力,幾何直觀通俗上講是借助直觀的幾何圖形去思考復(fù)雜的問題,把問題簡(jiǎn)單化.在平面幾何中,圖形的面積無疑是最直觀的.用“面積法”解題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,除了在幾何中可用“面積法”解題,在代數(shù)中“面積法”也非常實(shí)用.恒等式、不等式的證明都可以用“面積法”來證明,而且比用代數(shù)方法證明更加直觀、簡(jiǎn)單.在初中平面幾何中引入“面積法”的解題思想,并把面積作為解題的主線,改造初中幾何,會(huì)不會(huì)是個(gè)好的改革方案呢?首先來學(xué)習(xí)兩個(gè)基本定理——共邊比例定理和共角比例定理.這兩個(gè)定理易于掌握,而且非常實(shí)用,通過面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)線段的關(guān)系可以把幾何問題用代數(shù)方法解決,能解決很多比較難證的平面幾何題.

首先引入兩個(gè)基本概念——共邊三角形和共角三角形.

定義1有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為共邊三角形.例如,如圖1中,△ABC與△ABE,△BCD與△BCA,△ABD與△ADC,△ABD與△BDC等.

定義2有一組角對(duì)應(yīng)相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形稱為共角三角形.如圖1中,△ABE與△CDE,△BCD與△BCA,△ABD與△ADC,△ABD與△BDC等.

為了書寫簡(jiǎn)單,我們約定△ABC的面積S△ABC以后仍用△ABC表示.這里我們引入一個(gè)基本命題,由這個(gè)基本命題可以得到共邊比例定理和共角比例定理.

圖1

圖2

共邊比例定理[]2有公共邊的兩個(gè)三角形面積之比等于它們第三頂點(diǎn)連線被公共邊所截對(duì)應(yīng)線段之比.上述共邊比例定理可表示成:

圖3

共角比例定理[]2共角三角形的面積之比等于相等角或互補(bǔ)角的兩夾邊乘積之比.反之,若兩個(gè)三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)角兩夾邊乘積之比,則兩角相等或互補(bǔ).上述定理可寫成:

圖4

注:共角比例定理的逆定理是證明兩角相等或互補(bǔ)的一個(gè)十分有用的工具.

從共邊三角形、共角三角形的定義我們可以看出,這兩個(gè)模型在平面幾何圖形中普遍存在,那么共邊比例定理與共角比例定理便可以大放異彩.以這兩條定理作為基本定理,再輔以其他簡(jiǎn)單的幾何命題,例如三角形內(nèi)角和定理,圓的定義等就可以得到平面幾何的一系列定理.在現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教科書中,某些定理的證明過程不夠簡(jiǎn)潔或嚴(yán)謹(jǐn),將共邊比例定理、共角比例定理引入后,可以彌補(bǔ)這方面的不足.除此以外,這兩個(gè)定理在解決較難或較復(fù)雜的幾何題中,往往能發(fā)揮出意想不到的效果.從下面的例子體會(huì)這兩個(gè)定理的美麗之處.

1 相似三角形的判定

在人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書中數(shù)學(xué)九年級(jí)下學(xué)期(以下簡(jiǎn)稱“《人教版數(shù)學(xué)教科書九(下)》”)中第二十七章第二節(jié)中介紹了相似三角形的判定.課本中先直接引入平行線分線段成比例定理,指導(dǎo)學(xué)生用度量線段的方法檢驗(yàn),并沒有給出嚴(yán)格的證明.由平行線分線段成比例定理可以得到相似三角形的模型,然后推導(dǎo)出相似三角形的判定條件.這里,我們用“面積法”推導(dǎo)出相似三角形的判定條件.首先證明平行線分線段成比例定理.

平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等.上述定理可以寫成:

圖5

如圖5,直線l1、l2、l3互相平行,直線m、n分別交l1、l2、l3于

用“面積法”證明平行線分線段成比例定理比用度量法得到定理更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,而且證明過程簡(jiǎn)單,證法直觀、易懂.

三角形相似判定條件之一若△ABC與△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,則△ABC∽△A′B′C′.

圖6

圖7

采用“面積法”的解題方法,應(yīng)用共角比例定理來證明相似三角形的判定條件,相比起《人教版數(shù)學(xué)教科書九(下)》中對(duì)相似三角形的判定條件的證明更為簡(jiǎn)便、所用的知識(shí)儲(chǔ)備更少.《人教版數(shù)學(xué)教科書九(下)》中需引入平行切割定理、全等三角形的知識(shí)來推導(dǎo)、證明,而這里只需用面積的簡(jiǎn)單推論和共角比例定理就可以得到,而且證明的過程簡(jiǎn)潔、易懂.

2 蝴蝶定理

設(shè)圓內(nèi)的弦AB的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作兩弦CD、EF.連結(jié)CE、DF,分別交AB于G、H,則M為GH的中點(diǎn).

分析:蝴蝶定理是初等幾何著名難題之一,對(duì)蝴蝶定理的證明也有許多優(yōu)美奇妙的解法,有添加輔助線的,也有解析幾何的證法,但用面積法證明是最簡(jiǎn)單明了的,面積證法可以利用共邊比例定理、共角比例定理或張角公式來得到面積與線段之比,不需添加輔助線.

證法一:如圖8,由共邊比例定理和共角比例定理得

圖8

圖9

證法三:此處給出歐幾里得幾何體系中的一種常用的證法.此證法需添加輔助線,用到全等三角形、相似三角形和四點(diǎn)共圓的知識(shí)點(diǎn).

圖10

如圖10,連結(jié)OM,過圓心O作OU⊥CE,OV⊥FD,垂足為U、V,則OM⊥AB,U、V分別為CE、FD的中點(diǎn).且由于∠GUO=∠GM=90°,∠HV O=∠HMO=90°得G、U、O、M四點(diǎn)共圓,H、M、O、V四點(diǎn)共圓.則∠CUM=∠GOM,∠MOH=∠MV F.又因?yàn)椤鰿ME∽△FMD,U,V為CE,FD的中點(diǎn),所以,△CUM∽△FV M,∠CUM=∠MV F,所以,∠GOM=∠MOH,△GMO～=△HMO.所以,GM=HM.證畢.

通過對(duì)比以上三種不同的證明過程,我們體會(huì)哪種證法更優(yōu).在邏輯結(jié)構(gòu)方面,邏輯結(jié)構(gòu)越簡(jiǎn)單越好.從證明步驟看,證法三的證明步驟比證法一、證法二的證明步驟要多些,且需要添加輔助線得到全等三角形和相似三角形的模型才能解題,而這往往是我們解題時(shí)不容易想到的.從涉及的知識(shí)面看,證法三所涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多,包括全等三角形的性質(zhì),相似三角形的判定,圓的性質(zhì)定理,四點(diǎn)共圓的判定定理等.而用“面積法”證明不用添加輔助線便可得到共邊三角形和共角三角形的模型,所用的定理主要是共邊比例定理和共角比例定理,證明過程相對(duì)簡(jiǎn)便.

3 賽瓦定理

分析:要求線段之比,則可利用“面積法”的解題思想將線段之比變換成三角形面積之比,這里可以有很多不同的選擇,只要使之滿足三個(gè)比的積為1即可.[]3

用“面積法”證明賽瓦定理最能體現(xiàn)面積法解題的優(yōu)越性,只需用共邊比例定理或共角比例定理便可以得到,另外的證法可以用梅涅勞斯(Menelaus)定理來證明,同時(shí)梅涅勞斯定理也可以由面積法證得.

由以上幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子可以看出“面積法”的優(yōu)點(diǎn),特別是在解決數(shù)學(xué)奧林匹克的問題時(shí),“面積法”的優(yōu)勢(shì)更為明顯.將“面積法”的解題思想引入中學(xué)幾何課堂,在中學(xué)課本中加入共邊比例定理、共角比例定理這兩個(gè)有力的解題法寶,能給學(xué)生提供多一種解題工具.同時(shí),共邊比例定理、共角比例定理的引入直觀自然,知識(shí)的起點(diǎn)低,學(xué)生易于接受,并不會(huì)加重中學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).以這兩個(gè)定理作為基本定理,在課本中輔助推導(dǎo)證明其他的定理,能起到錦上添花的作用.學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中若能熟練運(yùn)用“面積法”的解題思想來解決幾何問題,那么學(xué)生解決幾何難題的能力將會(huì)得到極大的提高.

[1]張景中,曹培生.從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)[M].北京:中國兒童出版社,2005.2.

[2]張景中.一線串通的初等數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.12-13

[3]邱承雍.賽瓦定理及其應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2012(02).

[4]張景中.教育數(shù)學(xué)探索[M].成都:四川大學(xué)出版社,1994.