“邊角”料的完美價值
—— 再論“SSA”

廣東省佛山南海實驗中學(528200) 劉鋒

“邊角”料的完美價值
—— 再論“SSA”

廣東省佛山南海實驗中學(528200) 劉鋒

這是一個樸素而又不失樂趣的平面幾何問題,我們甚至能不假思索地猜想到該問題相關的結論是什么,卻又對所猜想的相關結論總有一絲疑惑.問題的解決,既用到幾何畫板直觀驗證,又用到代數知識推理論證,由淺入深,引人入勝.問題本身的內在美及其所承載的數學價值,值得我們靜心感受.

1 引言

在現行的北師大版初中數學教材體系中,邊邊角(以下簡稱SSA)是在八年級下冊第18頁作為反例出現,說明“SSA”并不能確定三角形全等,而證明直角三角形全等有特殊方法“HL”.由此,會有部分學生有這樣的慣性思考:如果兩個三角形都是銳角三角形或者都是鈍角三角形時,是否可以用“SSA”判斷它們全等呢?

2 “SSA”適用性的初步討論

為了系統、完整地闡述這一問題,我決定按以下兩種方式進行分類討論,一是按三角形本身進行分類,分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形進行討論;二是按對應角(即“SSA”中的“A”)進行分類,分為對應角是銳角、對應角是直角、對應角是鈍角進行討論.

2.1 對三角形的分類討論

若兩個三角形是直角三角形,可以簡單論證.

若兩個三角形是銳角三角形:如圖1,在銳角△ABC和銳角△A1B1C1中,AB=A1B1,AC=A1C1,∠B=∠B1,求證:△ABC～=△A1B1C1.

圖1

若兩個三角形是鈍角三角形,則不能通過上述證明方法得到全等,那么是否可以找出反例說明“SSA”在兩個鈍角三角形中不適用呢?

借助幾何畫板,可以構造圖2所示圖形,在△ABC和△ABC1中,AB=5cm,AC= AC1=4cm,∠B=30°.經測量,∠CAC1=97.04°,∠BC1A=138.19°(精確到十分位).由此說明,“SSA”在兩個鈍角三角形中不適用.

圖2

通過以上討論,我們可以得出結論:

結論一:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等的兩個直角三角形全等;

結論二:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等的兩個銳角三角形全等;

結論三:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等的兩個鈍角三角形不一定全等.

2.2 對對應角的分類討論

若對應角是直角,可以簡單論證.

若對應角是鈍角:

如圖3,在鈍角△ABC和鈍角△A1B1C1中,AB= A1B1,AC=A1C1,∠B=∠B1,90°＜∠B＜180°, 90°＜∠B1＜180°,求證:△ABC～=△A1B1C1.

圖3

若對應角是銳角,圖2仍是一個很好的反例,說明對應角是銳角時,“SSA”不適用.

通過以上討論,我們可以得出結論:

結論四:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等且對應角是直角的兩個三角形全等;

結論五:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等且對應角是鈍角的兩個三角形全等;

結論六:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等且對應角是銳角的兩個三角形不一定全等.

3 “SSA”不確定性的深入探討

若我們的探討就到此為止,未免平淡無味.以上兩種分類方法,有一定的重合度,經過比較分析,我們可以進一步縮小“SSA”不適用的范圍,得到以下結論:

結論七:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等且對應角是銳角的兩個鈍角三角形不一定全等.原因很簡單,我們并不清楚另外一組相等的邊所對的角是否相等,這組角可能相等,也可能互補.我們再進行以下的嘗試:

根據以上論證可以得出以下結論:

結論八:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等且對應角是銳角的兩個鈍角三角形,若對應角所對的邊不小于三角形中的最短邊,則這兩個三角形全等.

結論九:兩邊分別相等且其中一組對邊的對角相等且對應角是銳角的兩個鈍角三角形,若對應角所對的邊是三角形最短邊,則這兩個三角形不一定全等.

4 “SSA”的相關應用

在現行的教材中,“SSA”不能用來證明三角形全等,也沒有對此做過多的論述,但這并不代表“SSA”沒有用武之地.

例:同學們都知道,只有兩邊和一角對應相等的兩個三角形不一定全等.你如何處理和安排這三個條件,使這兩個三角形全等?比如:設有兩邊和一角對應相等的兩個三角形,如果這組角的對邊恰好都是這兩邊中較大的邊,那么這兩個三角形全等.請你仿照上例,再寫出三個使這兩個三角形全等的方案.

解析:可以有以下參考方案:

方案一:如果這個角是這兩邊的夾角,那么這兩個三角形全等;

方案二:如果這個角是直角,那么這兩個三角形全等;

方案三:如果這個角是鈍角,那么這兩個三角形全等;

方案四:如果這兩個三角形都是銳角三角形,那么這兩個三角形全等.

這是一道開放型的方案設計題,通過分析,可以知道在什么情況下“SSA”能判斷兩個三角形全等.

結論

行文至此,已近尾聲.縱觀現今初中數學教材的安排,“SSA”猶如滄海遺孤,很少被提及或是作為反例,未免有些遺憾.運用分類討論思想,我們不難發現,從三角形的三條邊、三個角中選取三個條件,應該有三個角(AAA)、兩角一邊、一邊兩角和三條邊(SSS)四大類,兩邊一角分為邊角邊(SAS)和邊邊角(SSA),一邊兩角分為角邊角(ASA)和角角邊(AAS).因此,只有“SSA”的加入,才能使得這是一個完整的體系.而對“SSA”的研究和討論,其過程遠比其它幾個判定三角形全等的定理或推論的獲得更富有趣味性和思想性.而“SSA”本身,也體現了數學的完整美.

[1]黃國輝.全等三角形判定中的“邊、邊、角”問題探討.撫州師專學報, 1985.

[2]陳德前.滿足“SSA”的兩個三角形全等嗎?.中學生數理化(八年級數學)(配合人教社教材),2014.7-8.

[3]查萍偉.“SSA”與中考題.中學生數理化(八年級數學)(配合人教社教材),2015.7-8.