重力對超靜定結構受力的影響

劉文蘭 許允斗,2 閆文楠 姚建濤,2 趙永生,2

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島,0660042. 燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島,066004

重力對超靜定結構受力的影響

劉文蘭1許允斗1,2閆文楠1姚建濤1,2趙永生1,2

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島,0660042. 燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島,066004

目前有關超靜定結構的受力分析中幾乎均未考慮分支重力的影響，針對此，提出了一種考慮分支重力情況下超靜定結構受力分析的方法。首先基于分支的力矩平衡方程直接求解出在分支重力作用下產生的施加給動平臺的垂直分支軸線方向的約束力分量，并將其視作施加給結構的廣義外力;然后基于結構變形協調關系和受力平衡方程，獲得超靜定結構各分支沿其軸線方向的約束力分量的完整解析表達式以及存在制造誤差時裝配內力的解析表達式;最后討論了分支重力對超靜定結構受力的影響機理。以平面超靜定結構3-RR和空間超靜定結構7-SS為例進行了實例分析，并建立對應的剛柔混合模型,進行了仿真驗證。

重力；超靜定結構；3-RR結構；7-SS并聯機構；受力分析；裝配內力

0 引言

超靜定結構是工程實際中經常采用的一類結構，由于結構中存在冗余約束，其受力分析僅靠受力平衡方程無法求解，還需補充變形協調條件，另外，在溫度變化、制造誤差等因素影響下超靜定結構會產生附加內力，因此，超靜定結構的受力分析相對比較復雜。隨著力學理論的不斷發展和計算機技術的不斷進步，出現了大量關于超靜定結構受力的分析方法。ROJAS等[1-2]提出采用力矩分配法(逐步逼近法)分析超靜定梁；李銀山等[3]采用連續分段獨立一體化積分法求解了索梁耦合超靜定結構的受力分析問題；邊文鳳等[4]在三角形桁架變形協調的基礎上提出了一種建立超靜定桁架變形協調方程的新方法；文獻[5-7]分析了超靜定配筋連梁的非線性受力性能；吳曉等[8]提出了一種在里茲法基礎上引入拉格朗日乘子構造新能量函數(無需再補充變形協調條件)求解雙模量靜不定結構的方法；隋允康等[9]以超靜定桁架結構為背景研究了自適應結構的承載能力；QIN等[10]研究了超靜定對稱柔性結構的柔度建模問題；XU等[11]研究了冗余驅動并聯機構的超靜定驅動力問題；FATEMI等[12]推導了水平彎曲梁靜不定問題的封閉解析解。姚建濤等[13-14]考慮分支剛度和機構變形協調條件，求解了預緊式六維力傳感器7-SS(S表示球副)結構的靜不定問題，后來姚建濤等[15]進一步推導了冗余n-SS(n>6)并聯結構的分支桿軸向力與六維外力之間的全映射關系式；國內外學者也對n-SS(n>6)或其他超靜定結構進行了相關分析[16-19]。但是，上述研究基本上都沒有考慮超靜定結構各分支桿的重力作用。而當在建筑、橋梁及船舶等工程中采用的超靜定結構尺寸較大時，重力對該類結構產生的影響不容忽視。比如，用于外伸支撐的桁架結構，還未承受外載荷時在自重作用下已經產生了變形，若在設計階段未考慮重力的影響，很容易使得在實際中出現強度不夠或失穩等現象；另外，國內外學者研究n-SS(n>6)并聯結構六維力傳感器[15，19]時沒有考慮分支重力的影響，但若研制大尺寸大量程傳感器時，分支重力會對傳感器的測量精度產生很大影響。

本文考慮各分支桿重力的影響，以平面超靜定結構3-RR(R表示轉動副)為例對此類結構進行受力分析，提出求解超靜定結構約束力問題的一般方法，研究了分支重力對超靜定結構受力的影響機理，并將提出的方法用于空間超靜定結構7-SS的受力分析中以檢驗其通用性。

1 重力對超靜定結構3-RR受力的影響分析

平面3-RR結構由三個共面的RR分支組成，如圖1所示，分別記為分支AD、BD和CD。三個分支的一端通過R副與基座相連，另一端通過R副彼此相連，所有R副軸線垂直于結構所在平面。中間分支BD豎直布置，分支AD和CD關于分支BD對稱分布且與分支BD的夾角記為α。當D點受到外力作用時，三個分支中均會產生與外力相平衡的約束力，取D點為研究對象，最多只能建立兩個獨立的平衡方程，即該結構中存在1個冗余約束，因此，平面3-RR結構屬于一次超靜定結構。

圖1 3-RR超靜定結構簡圖Fig.1 Schematic diagram of 3-RR statically indeterminate structure

在D點建立參考坐標系DXYZ，Z軸垂直于結構所在平面，X軸與基座AC平行，Y軸則根據右手定則確定。當D點受到外載荷F=(0,Fy)T作用時，若不考慮分支重力作用，則分支AD、BD、CD均產生沿對應分支軸線方向的約束力，分別用f1、f2、f3表示，且各分支桿產生拉壓變形，D點變到D′點位置，如圖2所示。

圖2 變形后的3-RR結構Fig.2 Deformed 3-RR structure

由圖2可建立變形協調方程如下：

(1)

(2)

式中，Δl1、Δl2、Δl3分別為分支桿AD、BD、CD的軸向變形;ki分別為分支AD、BD、CD的拉壓剛度；Ei、Ai分別為各分支桿的彈性模量和橫截面面積;li為各分支桿的長度。

聯立式(1)和D點的受力平衡方程即可求解未考慮分支重力情況下沿各分支軸線方向的約束力大小。

在考慮各分支重力情況下，分支BD仍產生沿軸線方向的約束力，但分支AD(CD)產生的約束力不再沿分支軸線方向，而是沿結構所在平面內的任意方向，此時可將該任意方向的力分解為沿分支軸線方向和垂直分支軸線方向兩個分量，其大小分別用fi和fpi(i=1,3)表示。將分支重力視為分支桿質心受到的一個集中力，以分支AD為研究對象，其受力示意圖見圖3。

圖3 考慮分支重力時分支AD的受力示意圖Fig.3 Force diagram of the limb AD under gravity

取關于A點的力矩平衡方程，即可求得fp1：

fp1=G1sinα/2=Gv1/2

(3)

Gv1=G1sinα

式中，G1為分支AD的重力大小。

同理可得分支CD末端的約束力fp3：

fp3=Gv3/2

(4)

在考慮分支重力的情況下，D點除受到外載荷F作用外，還受到各分支提供的約束力fi(i=1,2,3)和fpj(j=1,3)，其受力示意圖見圖4。

圖4 D點受力示意圖Fig.4 Force diagram of the point D

對D點建立受力平衡方程可得

(5)

對式(5)變形可得

(6)

式(6)表明，由分支重力引起的垂直于分支軸線方向的約束力分量fp可以看作施加給D點的一部分廣義外力，其值根據式(3)和式(4)可得，則求沿分支軸線方向的約束力分量f的問題轉化為：3-RR超靜定結構在D點受到廣義外力F-Gpfp和各分支受到沿分支軸線方向的力Gai作用的情況下，求解結構內各約束反力大小的問題，其中,Ga1=G1cosα，Ga2=G2，Ga3=G3cosα。

此時式(1)中各分支變形應由下式計算：

(7)

i=1,2,3

由式(7)可得

(8)

式(8)可整理為以下矩陣形式：

(9)

Ka=diag(k1,k2,k3)

ΔX=(Δl1,Δl2,Δl3)TGa=(Ga1,Ga2,Ga3)T

(10)

ΔD=(0,Δl2)T

聯立式(6)、式(9)和式(10)可得

(11)

將式(11)代入式(10)并結合式(9)，即可得各分支軸線方向的約束力與外力及分支重力之間的解析表達式：

(12)

根據矩陣的加權廣義逆表達形式[20]，式(12)可進一步化簡為

(13)

綜上，式(3)、式(4)和式(13)給出了考慮分支重力的情況下，求解3-RR超靜定結構各約束反力的完整解析表達式。若不考慮分支重力的影響，即Gi=0，則式(3)、式(4)和式(13)變為

(14)

即

(15)

k3=k1

由式(3)、式(4)和式(13)可以發現：

(2)各分支重力對結構中的約束力影響分為兩部分，對沿垂直分支軸線方向約束力的影響僅與垂直于分支軸線的重力分量有關，如式(3)和式(4)所示；而對沿分支軸線方向約束力的影響與重力在垂直分支軸線和沿分支軸線的兩個分量均有關，具體值由式(13)決定，即

(16)

假設各分支在質心僅受到垂直于分支軸線方向的重力分量Gvi作用，則式(13)變為

(17)

式(17)表明垂直于分支軸線的重力分量Gvi對超靜定結構3-RR受力產生的影響等價于D點受到的廣義外力fpi對結構產生的影響，fpi與重力分量Gvi方向相同，大小滿足fpi=Gvi/2。

假設只有分支AD受到沿分支軸線方向的重力分量Ga1作用，則式(13)變為

(18)

式(18)表明，分支AD軸線方向的重力分量在Ga1其他分支軸向產生的約束力與D點受到和Ga1同方向但大小為Ga1/2的廣義外力作用時產生的約束力相同，而在分支AD自身軸向產生的約束力為廣義外力Ga1/2作用下產生的約束力與Ga1/2之和。根據疊加原理即可得所有分支軸向的重力分量對3-RR結構受力產生的影響。

因此，考慮分支重力情況下，對超靜定結構受力分析可概括為如下步驟：

(1)將各分支重力視為分支質心處的集中力，并將分支重力在對應分支末端產生的約束力分解為沿分支軸線和垂直于分支軸線方向的兩個分量；

(2)取分支為研究對象，根據受力平衡方程求解垂直于分支軸線方向的約束力大小；

(3)將上述求得的約束力分量視作結構受到的一部分廣義外力，取各分支的公共交點(或共用桿件)為研究對象建立受力平衡方程,并建立各分支在軸向約束力和軸向重力分量作用下的變形協調方程；

(4)基于步驟(3)建立的受力平衡方程和變形協調方程即可求解各分支軸向的約束力大小；

步驟(2)和步驟(4)給出了考慮分支重力情況下，超靜定結構各約束力的完整解析表達式。

下面將上述求解超靜定結構受力分析問題的一般步驟應用于空間超靜定結構7-SS的受力分析中，以檢驗其通用性，并分析重力對7-SS超靜定結構受力的影響機理。

2 重力對7-SS超靜定結構受力的影響分析

如圖5所示，7-SS并聯六維力傳感器由上平臺、下平臺以及7個測量分支DiUi(i=1,2,…，7)組成，各分支兩端均通過球副(S)與上下平臺連接。每個分支提供給上平臺1個約束力，故上平臺共受到7個約束力，以上平臺為研究對象最多能建立6個獨立的平衡方程，因此，7-SS并聯結構為空間一次超靜定結構。

圖5 7-SS并聯六維力傳感器結構簡圖Fig.5 Schematic diagram of 7-SS parallel six-axis force sensor

當不考慮分支重力時，各分支僅提供給上平臺1個沿分支軸線方向的約束力，根據文獻[15]即可求解7個分支約束力大小。

當考慮分支重力時，除中間豎直方向的分支外，其余分支末端均提供給上平臺1個處于由分支軸線和其重力矢量決定的平面內的任意方向的約束力，根據前述步驟(1)將其分解為沿分支軸線和垂直分支軸線的兩個分量fi和fpi，i=1,2,…,6。根據步驟(2)，以分支i為研究對象，取關于Di點的力矩平衡方程，即可求得垂直分支軸線的約束力分量的大小為

fpi=Gisinα/2i=1,2,…,6

(19)

式中，Gi為第i分支桿的重力大小;α為分支軸線和重力矢量之間的夾角。

在上平臺中心O點建立圖5所示的參考坐標系OXYZ，在參考坐標系下，分別用螺旋$i和$pi表示各分支提供給上平臺的約束力的兩個分量fi和fpi。根據步驟(3)將7-SS超靜定結構的各分支重力引起的垂直于分支軸線方向的約束力分量$pi視作施加到上平臺的廣義外力，則對上平臺可建立如下受力平衡方程:

(20)

fp=(fp1,fp2,…,fp6)Tf=(f1,f2,…,f7)T

$F=(Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz)T

同理，7-SS結構的各分支軸向約束力、軸向重力分量與分支軸向彈性變形之間存在以下關系:

f=KaΔX+Ga/2

(21)

Ka=diag(k1,k2,…,k7) ΔX=(Δl1,Δl2,…,Δl7)T
Ga=(Ga1,Ga2,…,Ga7)T
Gai=G1cosαi=1,2,…,6；Ga7=G7

假設上平臺的剛度遠比7個分支的剛度大，將其視為剛體，則各分支產生的軸向變形Δlj與上平臺在外載荷作用下產生的六維微位移D之間滿足以下協調關系：

(22)

將上式整理為矩陣形式，可得

(23)

D=(δx,δy,δz,φx,φy,φz)T

聯立式(20)、式(21)和式(23)即可得到考慮分支重力的情況下，7-SS超靜定結構各分支軸向約束力與外力及各分支重力之間的映射關系為

(24)

3 重力對裝配內力的影響

超靜定結構中存在冗余約束，若各桿件的制造長度不相匹配，則組裝后各桿中將會產生裝配內力。若考慮各桿重力，則結構中將會產生附加的裝配內力。

圖6 3-RR的實際裝配位形Fig.6 Actual assembly configuration of 3-RR structure

假設，由于制造誤差圖1所示的超靜定結構3-RR的分支桿BD比應有長度短了Δe，則裝配后各桿交于D1點，如圖6所示，桿AD和CD受壓，中間桿BD受拉。

根據前述分析，分支AD(或CD)的重力在結構的裝配點D1處產生的垂直于分支軸線的約束力分量可由分支受力平衡方程求解，各分支軸向的約束力則根據D1點的受力平衡方程和變形協調方程即可求解。取D1點為研究對象，其受力示意圖見圖7。

圖7 D1點受力示意圖Fig.7 Force diagram of the point D1

同理，將分支AD和CD的重力引起的垂直于分支軸線方向的約束力fpi視作D1點受到的廣義外力，則有如下受力平衡方程：

(25)

存在制造誤差時，該結構的變形協調方程為

(26)

聯立式(25)和式(26)即可得各分支軸線方向的裝配內力與重力之間的解析表達式為

(27)

由式(3)、式(4)和式(27)可發現：各分支重力對裝配內力的影響有兩部分，對沿垂直分支軸線方向內力的影響僅與垂直于分支軸線的重力分量有關，而對沿軸線方向裝配內力的影響與重力在垂直分支軸線和沿軸線的兩個分量均有關，具體值由式(27)決定。

4 數值算例與仿真驗證

4.1 3-RR平面超靜定結構

給定3-RR超靜定結構的一組參數：三分支均為橫截面直徑d=9 mm的圓柱桿，彈性模量均為E=207 GPa，α=30°，桿長l1=l3=200 mm，密度ρ=7.801 g/cm3，重力加速度g=9.8 m/s2。 根據文獻[21]提出的過約束并聯機構受力分析的仿真方法建立3-RR結構的剛柔混合模型，如圖8所示，其中三個分支桿為柔性體，基座為剛體。

圖8 3-RR結構的仿真模型Fig.8 Simulation model of 3-RR structure

在D點施加外力F=(0,10 N)T，考慮分支重力情況下得到各分支約束力的理論值和仿真值如表1所示。表2給出了未考慮重力和考慮重力兩種情況下3-RR超靜定結構各分支約束力的理論值。

表1 考慮重力時3-RR結構各分支約束力的理論值與仿真值Tab.1 Theoretical and simulation values of the constraint forces of 3-RR structure considering gravity

注：誤差=|理論值-仿真值|/仿真值，下同。

從表1中可以看出,由于約束力分量fp1、fp2和fp3只與各分支重力大小有關，與結構的變形無關，僅參與對應分支的受力平衡方程，因此其理論值和仿真值完全一致；而沿各分支軸線方向的約束力分量不僅與結構的受力平衡有關，而且與結構的變形有關，因此其理論值與仿真值之間存在一定的誤差，但三個量的誤差均小于0.8%，該誤差主要是由建立各分支柔性體時所采用的網格劃分方法、網格尺寸大小等引起的。總地來說，表1中的誤差表明了理論計算的正確性。

表2 未考慮重力和考慮重力條件下3-RR結構各分支約束力的理論值

注：“重力影響百分比”為兩種情況下分支約束力大小的差值與分支重力的百分比，下同。

從表2可以看出，當分支軸線方向與重力方向不一致時，雖然重力對沿分支軸線方向的約束力(如f1和f3)產生的影響不顯著，但是額外引起了與分支軸線方向垂直的約束力(如fp1和fp3)，該約束力的大小取決于分支重力和分支軸線與重力方向之間的夾角；當分支軸線方向與重力方向一致時，重力對該分支軸線方向的約束力影響較大，重力影響百分比為23%。重力對3-RR結構各分支約束反力的影響程度會隨著分支質量、分支軸線與重力方向之間的夾角以及外載荷的不同而不同。

4.2 7-SS空間超靜定結構

給定7-SS超靜定結構的一組參數如表3所示，各分支為具有相同橫截面尺寸的圓柱桿，彈性模量均為E=207 GPa，密度ρ=7.801 g/cm3，Ru為上平臺球鉸點的分布半徑，Rd1、Rd2分別為下平臺內圈和外圈球鉸點的分布半徑，H為上下平臺間的距離，α1、β1分別表示下上平臺第一個球鉸點和坐標原點連線在OXY平面內的投影與參考坐標系X軸的夾角，α2、β2分別表示下上平臺第四個球鉸點和坐標原點連線在OXY平面內的投影與坐標系X軸的夾角。

表3 7-SS并聯結構的結構參數

圖9 7-SS并聯結構的仿真模型Fig.9 Simulation model of 7-SS parallel structure

建立圖9所示的7-SS結構的剛柔混合模型，其中各分支桿為柔性體，上下平臺為剛體。

在O點施加六維外力$F=(20 N,25 N,20 N,25 N·m,20 N·m,25 N·m)T，考慮各分支重力時，得到各分支約束力的理論值和仿真值如表4所示。此外，表5給出了未考慮重力和考慮重力兩種情況下7-SS超靜定結構各分支約束力的理論值。

表4 考慮重力時7-SS結構各分支約束力的理論值與仿真值Tab.4 Theoretical and simulation values of the constraint forces of 7-SS structure considering gravity

表5 未考慮重力和考慮重力條件下7-SS結構各分支約束力的理論值Tab.5 Theoretical values of the constraint forces of 7-SS structure between considering gravity and not

從表4中也可以看出垂直各分支軸線方向的約束力分量fp1～fp7的理論值和仿真值完全一致，沿各分支軸線方向的約束力分量f1～f7的理論值和仿真值之間的誤差不超過1.3%，同理，該誤差是由建立7-SS結構各分支的柔性體模型時所采用的建模方法引起的。

從表5中可以看出不管分支軸線方向是否與重力方向一致，重力對7-SS結構的各分支約束力均產生了較大的影響，在未考慮重力和考慮重力兩種情況下各分支約束力的差值占對應分支重力的百分比超過了20%，其中，重力對分支7產生的影響最大，在該結構上平臺受到的外載荷一定的情況下，未考慮重力時求得沿分支7軸線方向的約束力為正，表示該分支受拉;而當考慮重力時求得該分支受壓，這是因為當考慮重力時，軸線方向與重力方向不一致的分支1～6產生了垂直自身軸線方向的約束力fp1～fp6，根據前述理論分析,這些約束力相當于施加到結構上平臺的廣義外力，再加上原有的外載荷，使得在這種情況下分支7受壓。

5 結論

本文提出了一種考慮分支重力時求解超靜定結構受力問題的方法，分析結果表明分支桿重力對超靜定結構分支約束力的影響分為兩部分：①對沿垂直分支軸線方向約束力的影響僅與垂直于分支軸線的重力分量有關;②對沿軸線方向約束力的影響與重力在垂直分支軸線和沿著其軸線的兩個分量均有關，并滿足一定的解析表達式。

本文提出的考慮分支重力情況下對超靜定結構的受力分析方法進一步完善了超靜定結構的力學分析，對實際工程中超靜定結構的受力分析提供了理論指導依據，對分析一般過約束機構的靜不定力學問題具有一定的借鑒意義。

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(編輯 王艷麗)

Influences of Limbs’ Gravity on Force Analyses of Statically Indeterminate Structures

LIU Wenlan1XU Yundou1,2YAN Wennan1YAO Jiantao1,2ZHAO Yongsheng1,2

1.Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of National Education,Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004

In view of the facts that the literatures about force analyses of the statically indeterminate structures almost had not considered limb’s gravity at present, a method was proposed, which took it into account. Firstly, the constraint force components perpendicular to the axis of each limb which were caused by the corresponding limbs’ gravity were solved based on single limb’s torque equilibrium equations, and it was regarded as the generalized force imposed on the whole structure. Then, according to the force equilibrium equations and deformation compatibility conditions of the whole structure, the analytical expressions were derived including the limbs’ axial constraint force components and the assembly internal forces brought by manufacturing errors. Finally, the influences of limbs’ gravity on the force analysis of the statically indeterminate structures were discussed. Taking the planar mechanism 3-RR and the spatial mechanism 7-SS as examples, the constraint forces were analyzed and the rigid-flexible mixed models of the two mechanisms were established. Based on the models the theoretical results were verified.

gravity; statically indeterminate structure; 3-RR structure; 7-SS parallel mechanism; force analysis; assembly force

2016-06-16

國家自然科學基金資助項目(51275439)；國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)資助項目(2013CB733000)

TH112DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2017.06.003

劉文蘭，女，1990年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為過約束并聯機構的受力分析。發表論文3篇。許允斗，男，1985年生。燕山大學機械工程學院副教授。閆文楠，男，1992年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。姚建濤，男，1980年生。燕山大學機械工程學院副教授。趙永生(通信作者)，男，1962年生。燕山大學副校長，機械工程學院教授、博士研究生導師。E-mail：yszhao@ysu.edu.cn。