一種考慮密度補償的變過濾半徑敏度過濾方法

陳垂福 楊曉翔

福州大學機械工程及自動化學院,福州,350000

一種考慮密度補償的變過濾半徑敏度過濾方法

陳垂福 楊曉翔

福州大學機械工程及自動化學院,福州,350000

固定過濾半徑的敏度過濾方法可以有效解決棋盤格現象和網格依賴性，但處理后拓撲優化結果普遍存在邊界擴散現象，圖形邊緣存在大量的灰度單元。提出了一種考慮密度補償的變過濾半徑敏度過濾方法，即正向補償相對密度為0.5～1的單元，反向補償相對密度為0～0.5的單元，同時在拓撲優化計算的后期逐步縮小過濾半徑至1。結合固體各向同性懲罰微結構模型，利用經典結構柔度最小化算例驗證可行性。研究結果表明，考慮密度補償的變過濾半徑敏度過濾方法能夠消除棋盤格現象，體現了網格無關性，拓撲優化結果具有清晰的邊界，且優化效率和優化效果明顯提升。

拓撲優化；灰度單元；棋盤格現象；網格依賴性

0 引言

連續體結構拓撲優化中存在棋盤格現象和網格依賴性等數值不穩定問題，棋盤格現象和網格依賴性二者一般同時發生，能夠消除棋盤格現象的方法一般情況下能夠在一定程度上消除網格依賴性[1]。離散化采用高階等參元和非協調元可以有效抑制棋盤格現象，周長約束法和局部梯度約束法可以抑制網格依賴性，但在優化問題中加入了額外的約束，造成問題求解困難[2]。SIGMUND等[3]提出的敏度過濾方法，按照鄰域內單元與中心單元的距離進行加權平均以修改中心單元的目標函數敏度值，有效解決了棋盤格現象和網格依賴性問題，敏度過濾方法不附加額外的約束條件，在程序方面易于實現，該方法對拓撲優化結果進行處理后，拓撲圖形邊界存在大量的灰度單元。針對敏度過濾方法的缺陷，許多學者做了進一步的研究，在敏度過濾方法的基礎上提出改進方案，如龍凱等[4]提出考慮密度梯度的敏度過濾方法，增加密度梯度加權函數項，使密度梯度大于設定閥值時權函數取值較小，修正敏度過濾方法中的距離權函數，獲得了清晰的邊界；朱劍峰等[5]通過設置中心單元過濾權重對拓撲優化結果進行控制，避免了拓撲優化結果被過度磨平。除此之外，張志飛等[6]采用雙重固體各向同性懲罰微結構模型(solid isotropic microstructure with penalization，SIMP)方法，龍凱等[7]采用Heaviside函數改進優化準則法，均獲得了清晰的拓撲優化結果。

本文針對SIGMUND等[3]的敏度過濾方法存在的邊界擴散問題，在敏度過濾方法的基礎上提出變過濾半徑敏度過濾方法，該方法控制過濾半徑在一定的迭代步數后迅速減小，使得邊界的灰度單元逐漸減少，同時加入密度補償公式，解決該方法局部位置出現少量孔洞的問題。考慮密度補償的變過濾半徑敏度過濾方法不僅能有效消除棋盤格現象和網格依賴性，且有效抑制了邊界擴散現象，同時大幅度提高了優化速度，取得了更好的優化結果。通過經典的二維結構柔度最小化算例驗證了本文方法的可行性。

1 變密度法拓撲優化建模

1.1 剛度-密度插值模型

固體各向同性懲罰微結構(SIMP)模型是目前工程上應用最廣泛的材料插值模型，假設材料各向同性，泊松比υ為常量，SIMP模型假設材料彈性模量和密度滿足以下關系：

(1)

式中，Ei(ρi)為單元i插值后的彈性模量；Emin為空洞材料的彈性模量，一般設為E0/1000；E0為材料原始的彈性模量；ρi為單元i的相對密度，0≤ρi≤1；p為SIMP模型引入的懲罰因子。

采用SIMP模型獲得新單元的彈性模量，將結構整體剛度矩陣和整體剛度矩陣敏度信息表述為

(2)

(3)

式中，K為插值后結構的整體剛度矩陣；ki為單元i插值后的單元剛度矩陣；k0為單元相對密度為1時所對應的單元剛度矩陣。

1.2 經典算例結構拓撲優化數學模型及求解算法

基于SIMP模型建立柔度最小化問題的拓撲優化數學模型：

(4)

式中,C為整個結構的柔度值；U為結構位移列向量；N為單元數目；ui為單元i的位移列向量；V為優化后結構的體積；f為優化體積比分數；V0為優化前結構的體積；F為結構載荷列向量。

通常采用移動漸近線法(method of moving asymptotes,MMA)(或稱移動近似算法)和優化準則法(optimality criteria,OC)求解變密度法拓撲優化問題，MMA算法適用于單約束問題和復雜目標函數多約束問題；OC算法收斂速度快，計算規模與求解變量的數目無關，計算過程中不需要使用導數信息，適用于單目標函數、單約束條件下優化問題的求解[8]。對于一定體積比約束下的柔度最小化問題，宜采用OC算法。

2 敏度過濾方法

2.1 Sigmund敏度過濾方法

Sigmund敏度過濾方法[9](以下簡稱Sigmund方法)采用數字圖像過濾技術平滑優化結果，Sigmund方法的數學表達式為

(5)

其中Hi為卷積因子；rmin為最小過濾半徑，dist(k,i)為單元k中心到單元i中心的距離。單元相對密度的取值為0到1，取ρmin=0.001，以免造成計算上的奇異性。

中心單元和過濾半徑rmin確定的過濾區域內，卷積因子Hi的數值為非0，過濾區域外卷積因子的數值為0，在過濾區域內的單元才會對中心單元的目標函數敏度值產生影響。當過濾半徑過小時，過濾區域內單元數目較少，中心單元的權重過大，消除棋盤格和網格依賴性效果不明顯；過濾半徑過大時，對中心單元產生影響的單元過多，各單元的卷積因子數值接近，導致拓撲優化結果模糊，拓撲圖形被過度磨平。

為量化拓撲優化結果單元相對密度的離散度，引入離散度指標評價結果的清晰程度[10]，其數學表達式為

(6)

根據離散度的描述公式，當所有單元相對密度都為0或1時，離散度指標Sd數值為0；當所有單元的相對密度都為0.5時，離散度指標Sd數值為100%。

2.2 變過濾半徑敏度過濾方法

Sigmund方法存在邊界擴散現象的原因是，消除棋盤格現象和網格依賴性時，利用中心單元鄰域內的單元根據距離的不同采用不同的權系數進行加權平均，當棋盤格現象和網格依賴性基本消除即拓撲結構的主體框架形成時，過濾半徑仍然保持不變，導致中心單元繼續受鄰域內的單元影響，對于邊界上的單元，鄰域內的單元多數為相對密度為0的單元，因此在邊界上產生了大量的灰度單元，形成了邊界擴散現象。

變過濾半徑敏度過濾方法的思路是：在拓撲優化計算的初期，保持大過濾半徑，保證完全消除棋盤格現象和網格依賴性，拓撲結構的主體框架形成后控制過濾半徑逐步減小，逐步消除邊界上的灰度單元，最終使得過濾半徑為1，單元相對密度不再受周圍單元影響。

根據上述思路，假設過濾半徑rnew和迭代步數相關，建立如下函數關系：

(7)

過濾半徑rnew和迭代步數l的關系如圖1所示。

(a)衰減系數a=10

(b)衰減系數a=20

(c)衰減系數a=30

(d)衰減系數a=40圖1 過濾半徑rnew變化曲線Fig.1 Curve of filter radius rnew

拓撲優化數值模擬實驗結果表明，一般情況下大約在迭代步數l=12時形成了拓撲結構的主體框架，之后需要在一定的迭代步數內保持大的過濾半徑使得主體框架穩定，防止主體結構在計算后期發生變化。衰減系數a過小，容易在局部位置出現棋盤格現象或者細小分枝結構;衰減系數a過大會增加迭代步數，取衰減系數a=20可在大部分的算例中得到滿意的結果。

2.3 一種密度補償方法

變過濾半徑敏度過濾方法計算局部細節處存在較多灰度單元的算例時會出現少量的小孔結構，如圖2a所示，Sigmund方法計算產生的結構存在A、B和C三處灰度單元較多的位置，在變過濾半徑敏度過濾方法的計算結果(圖2b)中，相應地在圖2a所示的三個位置處出現少量孔洞。

(a)Sigmund方法灰度結構位置示意圖

(b)變過濾半徑敏度過濾方法拓撲優化結果圖2 變過濾半徑敏度過濾方法缺陷說明圖Fig.2 Disadvantage schematic of variable filter radius sensitivity filter method

微小孔洞是由于SIMP模型對單元相對密度的懲罰特性造成的，SIMP模型表示的剛度-密度關系如圖3所示。

圖3 不同懲罰因子下SIMP模型曲線Fig.3 Curve of SIMP model using different penalty factors

由圖3 可以看出，懲罰因子p的取值越大，相對密度ρ趨于兩極化的效果越明顯，無論懲罰因子p取多大值都會使得單元相對密度ρ<1的大部分中間密度單元趨于0，可以明顯地看出相對密度在0.8以下的單元會迅速地趨于0。相對密度在0.5～0.8之間的單元迅速趨于0是不合理的[11]，該密度區間的單元過快地趨于0，導致圖2所示灰度單元較多的位置由于過濾半徑減小至1，中心單元不再受周圍單元影響而出現孔洞結構。必須使得相對密度大于0.5的單元經過多次迭代逐步趨于兩極化，才能保證最優拓撲的搜索，防止微小孔洞出現。

為了補償單元相對密度處于0.5～0.8之間的單元，保證該密度區間的單元能夠經過多次迭代逐步趨于兩極化，并加快單元相對密度小于0.5的單元趨于0，進一步提高優化速度，提出一種單元相對密度的補償方法，其數學表達式為

(8)

表1 不同密度補償系數下MBB梁計算結果

由表1數據可發現，g1為固定值時，g2過大會使得拓撲結構逐步偏離最優結構，所得結構柔度值增大，g2的可行范圍為0～0.2；g2為固定值時，g1過大會使得結構逐步偏離最優拓撲結構或獲得不可行解，g1的可行范圍為0～0.2。通過大量算例實驗發現g1=0.2、g2=0.2時大部分算例均可獲得有效可行解。

3 二維算例分析與討論

采用經典拓撲優化算例驗證考慮密度補償的變過濾半徑敏度過濾方法(簡稱本文方法)的可行性，通過MATLAB R2012a編寫程序進行計算[12-13]，算例模型均采用平面四節點四邊形單元進行離散化，對模型的材料屬性和結構尺寸進行量綱一化處理，設彈性模量E=1，泊松比υ=0.3，SIMP模型懲罰因子p=3。

3.1 算例1模型優化及討論

算例1 模型如圖4所示，梁尺寸為240×40×1，頂部中點受垂直向下載荷F=1。考慮模型的對稱性，采用1/2模型進行拓撲優化計算，1/2模型網格密度為120×40；為比較不同約束條件下的優化結果，設目標函數為整體結構的柔度最小化，約束條件分別40%、50%和60%的體積比約束。

圖4 算例1模型示意圖Fig.4 Model of test problem 1

(a)Sigmund方法 (b)本文方法圖5 算例1不同敏度過濾方法最優拓撲結果對比Fig.5 Comparison of topology results using different sensitivity filter methods(test problem 1)

由圖5可以看出，不同過濾方法產生的拓撲優化結果相似，Sigmund方法由于過濾半徑保持不變，在圖形邊界存在大量的灰度單元，造成拓撲結果邊界模糊。本文方法由于在完成主體框架搜索后過濾半徑逐步減小至1，拓撲結果邊界清晰，不同體積比約束下的優化結果的離散度指標均小于0.2%，較相同約束的Sigmund方法大幅度降低；從Sigmund方法體積比約束為60%的結果來看，圖形開始出現發展其他分枝結構的趨勢，進一步增大過濾半徑能夠抑制這個趨勢，但勢必會導致灰度單元進一步增多，本文方法在60%的體積比約束下，仍然保持清晰的主體結構不變，并未出現其他分枝結構；從優化效果來看，不同的體積比約束下，本文方法所得到的結構的柔度值較Sigmund方法大幅度減小，優化效果明顯提升；從優化效率來看，本文方法的迭代步數與Sigmund方法相比，減小了至少50%，節省了大量的計算時間。

表2 算例1不同敏度過濾方法最優拓撲結果對比

為了驗證本文方法能否有效消除網格依賴性，將算例1的1/2模型離散為210×70網格(1.75倍網格密度)，體積比約束設為40%，優化迭代步數為43步，柔度收斂值為230.3730，離散度指標為 0.1983%，拓撲優化結果如圖6所示。

圖6 算例1本文方法拓撲優化結果(210×70網格)Fig.6 Result of test problem 1 using the paper method(210×70)

對比圖6和圖5b中40%體積比約束的優化結果，兩種網格密度的計算結果相似，210×70網格離散情況下，未出現細小的分枝結構，體現了網格無關性，迭代步數并未隨著網格密度的增加而增加，且仍然保持著清晰的拓撲圖形邊界。

3.2 算例2模型優化及討論

圖7 算例2模型示意圖Fig.7 Model of test problem 2

(a)Sigmund方法

(b)本文方法

(c)本文方法圖8 算例2不同敏度過濾方法最優拓撲結果對比Fig.8 Comparison of topology results using different sensitivity filter methods(test problem 2)

表3 算例2不同敏度過濾方法最優拓撲結果對比

由圖8和表3可以看出，本文方法過濾半徑取5和8的拓撲優化結果圖形與Sigmund方法相似，基本消除了邊界擴散現象，離散度均小于0.2%，有效地抑制了灰度單元的產生。計算得到的柔度值小于Sigmund方法的柔度值，迭代步數大幅度減少。

Sigmund方法對過濾半徑的取值沒有明確規定，僅認為過濾半徑包含制造最小尺寸的含義，一般取單元邊長尺寸的1～3倍，過濾半徑的取值存在較大的波動，所得的優化結果邊界模糊程度不同，難以準確地確定一個最小的過濾半徑來保證所得拓撲結果最優(邊界擴散程度最低)。而本文方法采用變過濾半徑的策略，不同的初始過濾半徑可以得到相似且邊界清晰的拓撲優化結果，因此取較大的初始過濾半徑也可保證得到的優化結果模糊程度最低。由圖9可以看出，本文方法的離散度曲線存在兩處明顯的下降。第一次下降的原因與Sigmund方法相同，是由于拓撲結構逐步形成所導致的；第二次下降是由于過濾半徑逐步減小，使得灰度單元的數量減少導致的，而離散度第二次下降的迭代步數在20步左右，對應著圖1b中過濾半徑在迭代步數為20時逐步減小至1的趨勢。本文方法的變過濾半徑策略能夠有效地減少灰度單元，得到清晰的拓撲圖形，拓撲結果的準確度和優化效率明顯優于Sigmund方法。

圖9 算例2離散度變化曲線Fig.9 Curve of element density dispersion(test problem 2)

4 結論

本文提出一種考慮密度補償的變過濾半徑敏度過濾新方法，考慮SIMP模型的缺陷，對不同密度區間的單元進行雙向補償，進一步加速單元相對密度的兩極化。采用變過濾半徑的策略改進Sigmund敏度過濾方法，一定網格密度范圍內的離散情況可采用相同的初始過濾半徑，均可以消除棋盤格現象和網格依賴性，得到相似且清晰的拓撲優化結果。同時本文方法的優化迭代步數較Sigmund敏度過濾方法大幅度減少，優化效果明顯提高。

[1]SIGMUNDO,PETERSSONJ.NumericalInstabilitiesinTopologyOptimization:aSurveyonProcedureDealingwithCheckerboards,Mesh-DependenciesandLocalMinima[J].StructuralOptimization, 1998, 16 (1):68-75.

[2] 左孔天. 連續體結構拓撲優化理論與應用研究 [D]. 武漢: 華中科技大學, 2004.ZUOKongtian.ResearchofTheoryandApplicationaboutTopologyOptimizationofContinuumStructure[D].Wuhan:HuazhongUniversityofScienceandTechnology, 2004.

[3]SIGMUNDO,MAUTEK.SensitivityFilteringfromaContinuumMechanicsPerspective[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization, 2012, 46(4): 471-475.

[4] 龍凱，傅曉錦.考慮密度梯度的敏度過濾方法[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2014,26(4):669-674.LONGKai,FUXiaojin.SensitivityFilteringMethodConsideringDensityGradient[J].JournalofComputer-AidedDesign&ComputerGraphics,2014,26(4):669-674.

[5] 朱劍峰, 林逸, 陳瀟凱, 等. 連續體結構拓撲優化改進的敏度修正方法研究[J]. 中國機械工程, 2014, 25(11): 1506-1510.ZHUJianfeng,LINYi,CHENXiaokai,etal.ResearchonImprovedSensitivityModificationMethodofContinuumTopologyOptimization[J].ChineseMechanicalEngineering,2014, 25(11): 1506-1510.

[6] 張志飛, 徐偉, 徐中明, 等. 抑制拓撲優化中灰度單元的雙重SIMP方法[J]. 農業機械學報, 2015, 46(11): 405-410.ZHANGZhifei,XUWei,XUZhongming,etal.Double-SIMPMethodforGray-scaleElementsSuppressioninTopologyOptimization[J].TransactionsoftheChineseSocietyforAgriculturalMachinery,2015, 46(11): 405-410.

[7] 龍凱, 趙紅偉. 抑制灰度單元的改進優化準則法[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2010,22(12): 2197-2201.LONGKai,ZHAOHongwei.AModifiedOptimalityCriterionMethodforGrayElementsSuppression[J].JournalofComputer-AidedDesign&ComputerGraphics, 2010,22(12): 2197-2201.

[8] 左孔天,王書亭,張云清,等.拓撲優化中兩類不同優化數值算法研究[J].華中科技大學學報,2004,32(9):63-65.ZUOKongtian,WANGShuting,ZHANGYunqing,etal.TwoTypesofAlgorithmsUsedinTopologyOptimization[J].JournalofHuazhongUniversityofScienceandTechnology(NaturalScienceEdition),2004,32(9):63-65.

[9]SIGMUNDO.DesignofMaterialsStructuresUsingTopologyOptimization[D].Copenhagen:TechnicalUniversityofDenmark, 1994.

[10]SIGMUNDO.Morphology-basedBlackandWhiteFiltersforTopologyOptimization[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization, 2007, 33(4/5): 401-424.

[11] 康昌俊, 段寶巖. 連續體結構拓撲優化的一種改進變密度法及其應用[J]. 計算力學學報, 2009, 26(2): 188-192.KANGChangjun,DUANBaoyan.AnImprovedVariableDensityMethodandApplicationforTopologyOptimizationofContinuumStructures[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2009, 26(2): 188-192.

[12]SIGMUNDO.A99LineTopologyOptimizationCodeWrittenMatlab[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization, 2001,21(2):120-127.

[13]ANDREASSENE,CLAUSENA,SCHEVENELSM,etal.EfficientTopologyOptimizationinMATLABUsing88LinesofCode[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization, 2011, 43(1): 1-16.

(編輯 蘇衛國)

Variable Filter Radius Sensitivity Filtering Method Considering Density Compensation

CHEN Chuifu YANG Xiaoxiang

College of Mechanical Engineering and Automation,Fuzhou University,Fuzhou,350000

Constant filter radius sensitivity filtering method could effectively eliminate checkerboard patter and mesh dependence, the optimized results had boundary diffusion, the edges of the graph existed many gray-scale elements.A considering density compensation variable filter radius sensitivity filtering method was proposed as an efficient approach,compensated the elements of relative density in 0.5-1, and reduced element density value in 0-0.5, and gradually reduced the filter radius to 1. Combining the solid isotropic microstructure with penalization model(SIMP), the classical topology optimization problems were used to prove the superiority of the new method.The experimental results show that the new sensitivity filtering method may eliminate checkerboard patter and mesh independence,then the optimized results have clear boundary, and the optimization efficiency and optimization performance are improved significantly.

topology optimization; gray-scale element; checkerboard patter; mesh dependence

2016-05-06

國家自然科學基金資助項目(11372074)

U463;O39

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.06.006

陳垂福，男，1991年生。福州大學機械工程及自動化學院碩士研究生。主要研究方向為連續體結構拓撲優化。E-mail:fdchenchuifu@163.com。楊曉翔，男，1963年生。福州大學機械工程及自動化學院教授、博士研究生導師。