多維關聯函數建模及其低碳實例檢索應用

2017-04-07 09:07:43洪歡歡趙燕偉陳尉剛

中國機械工程 2017年6期

關鍵詞：關聯

洪歡歡趙燕偉陳尉剛

1.浙江工業大學特種設備制造與先進加工技術教育部/浙江省重點實驗室，杭州，3100142.寧波大學高等技術研究院，寧波，315211

多維關聯函數建模及其低碳實例檢索應用

洪歡歡1,2趙燕偉1陳尉剛1

1.浙江工業大學特種設備制造與先進加工技術教育部/浙江省重點實驗室，杭州，3100142.寧波大學高等技術研究院，寧波，315211

針對低碳設計多維度實例檢索建模及其降維計算問題，提出了一種多維關聯函數建模及其檢索應用方法。首先，通過變斜率原理改進側距，構建了基于改進側距的多維側距模型。然后，針對側距難以準確描述設計參數與最優值之間距離的問題，建立了多維關聯函數及其三層次的低碳實例檢索方法。最后以螺桿空壓機為例進行了驗證，結果表明了改進側距的正確性和有效性、多維關聯函數降維計算的快速性與有效性，以及低碳實例檢索的合理性與實例間的差異性。

多維關聯函數；低碳實例；相似檢索；空間降維；螺桿空氣壓縮機

0 引言

低碳實例檢索是產品低碳設計的關鍵步驟，且在產品設計活動中，大約75%的設計是基于實例的產品設計[1]。因此相似產品實例的相似性計算方法決定了檢索的質量和可靠性[2]，從而影響基于實例的產品低碳設計效果。目前，相似度檢索的研究主要集中在相似度建模與相似算法上。相似度建模的研究方法眾多[3]，最常用的是基于K臨近算法[4-6]、歸納索引法[7]和知識導引法。這些方法比較適合定性問題的檢索，對模糊或定量問題的實例檢索就無能為力。基于可拓理論[8-9]、基于圖論[10]、子空間法[11]和神經網絡[12]等的檢索方法，主要計算單一屬性相似度并集成求解全屬性的相似度，而多維不同量綱低碳需求的相似度計算結果，可能并不是通過各個單維屬性相似度取大、取小或加權求和等方法獲得的。

多維空間檢索技術分為空間索引技術和降維技術，前者包含2類索引方法[13]，其共同點是對空間進行分割來縮小空間求解維度；后者有主成分分析法[14]和語義索引等，這些方法的特點是對空間進行有效降維，將高維數據降至低維以簡化計算，但縮減的空間或低維空間并不一定是在熟知的三維空間內，導致降維的有效性不能保證。

本文研究面向低碳實例單屬性檢索的側距改進、多屬性檢索的多維關聯函數建模及其在實例庫中的具體應用。

1 面向低碳實例單屬性檢索的側距改進

側距[15]描述區間內的點到該區間的距離關系，其值不全為0，而且文獻[15]中構建的側距模型曲線是等斜率變化的。這不同于經典距描述的區間內的點到該點所在區間的距離都為0。側距可分為左右側距，區分的方式是判斷區間最優值點是在該區間中點的左側或右側。機械設計應用中，設計參數的選取往往不在參數區間的中點，所以，側距存在一定的局限性。文獻[16]針對區間最優值為區間中點的特殊情況做了改進研究，使得側距在檢索中具有較好的應用效果。

低碳實例是指包含全生命周期各個階段的碳足跡、成本、性能、結構等全面信息的產品實例。低碳需求最優值并非在需求區間的中點，并且現有的側距計算結果無法有效區分設定相同最優值位置條件下區間內各點的實際設計意義[17]。以普通左側距(圖1中的雙點劃線)計算為例，在最優值x0下，區間內點x3、x2(x2-x0=x0-x3)的側距有ρ(x2)>ρ(x3)，這就與機械設計實際意義產生了沖突。因此，對等斜率的側距進行變斜率改進，并基于二次曲線進行變斜率數學建模，構建改進的左側距模型。圖1表示了4種狀態的左側距：普通左側距(雙點劃線)、特殊側距(單點劃線)、改進左側距(加粗虛線)、特例改進距(細虛線)。

圖1 改進左側距對比效果Fig.1 Contrast effect of improved left side distance

當c≤x0≤(c+d)/2時，改進后的左側距公式為

(1)

2 面向低碳實例空間檢索的多維關聯函數構建

2.1 基于改進側距的多維側距構建

如圖2所示，由側距本質[18]與圖1中的側距平面化轉換表示方式可知，一維側距可視為求解點x到區間兩端點的位置距離，二維側距可視為點P到過最優點O的直線與一維線段交點(P1、P2)的距離，三維側距可視為點P到過最優點O的直線與二維平面交點(P1、P2)的距離，以此類推，n維空間側距可視為最優點到過最優點的直線與n-1維空間體的交點的距離。n維側距的交點公式為

式中，ai為由平面方程求解而得的常數；xi表示實例庫中實例P的第i個屬性。

過n維空間點P(x11，x12，…，x1n)、最優x0(x01，x02，…，x0n)的直線的方程為

現以三維側距(圖2c)建模為例，設屬性點P落于錐體OA′B′C′D′中，過最優點O和點P的直線lop與邊框交點為P1和P2。三維右側距模型距離函數：

(6)

其中，e為空間點(1,1,…,1)；S1為一個實際產品需求的多維空間；F3(S1)表示1個三維點中的每個需求維度區間向其他二維需求空間垂直映射所構成的封閉多維空間的邊界，當點P中的每個維度數值相等時，所構成的邊界是一樣的，反之亦然；O≠F3(S1)表示空間最優點不在邊界面上；P1為三維空間中的點O與P所在直線和F3(S1)的交點；d(P,P1)為點P與點P1的線性距離；[O，P2]為直線lx0P上點O與點P2所構成的點區間；P∈[O,P2]表示點P在直線lx0P上，極限位置是O與P2。

由式(5)、式(6)可知，一維側距、二維側距、三維側距都可由空間屬性點之間的距離公式表示，可見n維側距也是計算空間屬性點的距離問題。多維側距可以解決單維側距集成加權運算過程中的主觀化權重賦值問題，實現多維側距的客觀化求解。顯然，多維側距推導過程涉及較多的計算步驟，且公式選取的判斷條件相對繁瑣，當維數較高時，無法直接計算距離。

2.2 基于多維側距的多維關聯函數

多維關聯函數是多個多維側距的集成運算公式，具有簡化空間距離計算等優勢。假設低碳需求區間Hi=[xi,j1,xi,j2]且xi,j1≤xi,j2，則經典域空間S1=((Δx1,1, Δx1,2, … , Δx1,m), 0)，Δxi,j=xi,j2-xi,j1。低碳多維屬性作為可拓域空間S2=((Δx1′,1,Δx1′,2, … ,Δx1′,m), 0)，可知S2是基于S1的擴大空間，滿足S2?S1。對于趨大型產品，Si,2=[xi,j1, 2xi,j0-xi,j1]，Si,2為第i個維度的需求可拓域空間，xi,j0為該維度屬性的需求最優值。對于趨小型產品，2xi,j0-xi,j2≥0時，Si,2=[2xi,j0-xi,j2,xi,j2]； 2xi,j0-xi,j2<0時，取xi,i0=d/2，Si,2=[0,xi,j2]。結合文獻[18]中的一維關聯函數可得多維關聯函數公式：

(7)

其中，R是指實域集。

3 基于多維關聯函數的低碳實例相似檢索

針對低碳實例的多屬性需求相似檢索問題，構建多級檢索機制，原理如圖3所示。將低碳與成本需求作為一級檢索對象，輸出至少有一種需求滿足的低碳實例(以此作為二級檢索的實例源)。這樣做是為了減少不必要的數據計算、無效結果的輸出，凸顯低碳設計的重要性。之后，輸入產品性能需求，做多維數據的二級檢索。計算基于多維關聯函數的相似度(式(7))，把實例源劃分為產品性能需求全滿足和產品性能需求不全滿足這兩個實例域。最后，輸入多維產品零部件需求，再次劃分上層的低碳實例域，輸出產品零部件需求匹配的產品實例集。

第一、二層級的相似度函數是基于多維關聯函數構建的：

(8)

其中，Hi表示第i次需求；j表示第j層級，j=1，2；t表示實例庫中第t個實例P,t=1,2,…,N；N為實例總數。

第三級檢索相似度：

(9)

其中，m1、m2分別為第一級與第二級檢索的總屬性維度。

基于多維關聯函數的相似度檢索算法構建步驟如下：

(1)判定產品需求類型，確定產品需求參數(可以是一個值，也可以是一個區間)；

(2)依據產品需求區間值構建多維經典域空間S1和多維可拓域空間S2；

(3)結合產品實例屬性點Pt和最優點x0，構建直線lOP和n維空間；

(4)依據點Pt求解方程，給出Pt所屬區域；

(5)計算Kn(Pt)；

(6)依據式(7)，判斷Kn(Pt)與0的大小，依據式(8)、式(9)，計算各級相似度；

(8)結束。

低碳需求與低碳實例總的相似度包含了3個級別檢索的相似度，不同檢索級別權重設定為w1=0.5，w2=0.3，w3=0.2。所以低碳產品需求與低碳實例相似度公式：

(10)

4 實例應用

4.1 基于螺桿空氣壓縮機實例的改進側距驗證

選取不同品牌、不同系列的37 kW大型螺桿空氣壓縮機的17個低碳實例(表1)進行驗證分析——以第i次低碳需求輸入求解為例。

4.2 基于螺桿空氣壓縮機實例庫的多維關聯函數降維效果驗證

選取排氣壓力、排氣量、噪聲、購買成本、產品上市碳足跡與使用碳足跡這6個指標需求，檢索表1的螺桿空氣壓縮機實例庫，以KHE37螺桿空氣壓縮機相似檢索為例。

(1)依據改進側距計算6個需求，判定Hi,4、Hi,ni-1和Hi,ni這三個需求不滿足，即該型號螺桿空氣壓縮機特征有效維度為3，因此，可構成一個三維空間(每個特征為一個維度)。

表1 第i次低碳需求及部分螺桿空氣壓縮機實例的部分參數

(3)計算多維關聯函數及確定點P的位置，得K3(P)=-|P1P|=-0.042，且空間點P所在區域位置對應的產品特征軸是Hi,ni-1。

(4)計算空間點P所在位置對應的一維關聯函數。Hi,ni-1對應的經典域為S1,i,ni-1、可拓域為S2,i,ni-1、最優值為x0,i,ni-1時，計算得到K1(P) =-0.042。

(5)判斷K3(P)、K1(P)的大小，得到K3(P)=K1(P)。

在該需求下，KHE37螺桿機實例檢索的六維空間計算可等價降維到一維關聯函數的計算，即多維屬性計算可以等價為某一維度參數計算，說明降維效果明顯。其他實例的計算過程不再贅述。

4.3 基于多維關聯函數的低碳產品實例相似檢索應用

現以表1所示的所有型號螺桿空氣壓縮機實例庫多級檢索為例，確定低碳需求中Hi,4、Hi,n-1和Hi,n這三個特征為一級檢索特征。依據這3個需求特征區間及特征參數期望，確定其所對應的最優值，結合正態分布計算得到最優值x0,i,4=45 800，x0,i,n-1=148 361.5，x0,i,n=18 895.7；構成可拓域空間的各個特征參數子空間S1,i,4=[28 600，63 000]，S1,i,n-1=[136 723，160 000]，S1,i,n=[13 791.4，24 000]。

Hi,1、Hi,2和Hi,3為二級檢索特征，對應的最優值x0,i,1=1.1，x0,i,2=5.2，x0,i,4=69；構成可拓域空間的各個特征參數子空間S1,i,1=[0.9，1.3]，S1,i,2=[3.8，6.4]，S1,i,n=[51，70]。

在三級檢索過程中，由于Hi沒有第三類檢索的需求特征，因此，該階段各個螺桿空氣壓縮機實例特征的有效維度、多維關聯函數值分別默認為0和1。

應用螺桿機低碳需求及與螺桿空氣壓縮機實例相似度計算公式，綜合計算各個階段的相似度與總的需求和實例相似度。以螺桿空氣壓縮機KHE37為例說明相似度計算：①產品屬性點Pt

表2 基于部分螺桿空氣壓縮機實例的相似檢索結果

中的t=17；②一級檢索的螺桿空氣壓縮機需求與實例相似度s1(Hi,P17)=1；③二級檢索的螺桿空氣壓縮機需求與實例相似度s2(Hi,P17)=1；④三級檢索的螺桿空氣壓縮機需求與實例相似度s3,i,17(Hi,P17)=1；⑤總的相似度si,17(Hi,P17)=1。

5 結語

本文針對區間內側距計算公式無法有效區分設計參數相對于設計參數最優值的變化問題，通過變斜率方式改進等斜率的側距，建立了改進側距公式。針對螺桿空氣壓縮機低碳需求的多維性，并為消除單一維度加權計算時權重賦值主觀化的影響，構建了基于多維側距的多維關聯函數。當n維空間的中心與螺桿空氣壓縮機特征參數最優值相同時，多維關聯函數具有良好的降維性。當n維設計需求空間的中心與螺桿空氣壓縮機實例特征參數最優值相同時，多維關聯函數具有良好的降維性。

為克服基于一維關聯函數的相似度方法具有較強主觀性的問題，建立了基于三級檢索機制的模型，給出了基于多維關聯函數的相似度檢索算法步驟，并對由螺桿空氣壓縮機實例組成的產品實例庫進行低碳屬性檢索，驗證了該方法的可行性，討論了不同相似度下各個螺桿空氣壓縮機實例滿足低碳需求的難易程度。

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(編輯張洋)

Modeling of Multi-dimensional Correlation Function and Its Applications for Low Carbon Case Retrieval

HONG Huanhuan1,2ZHAO Yanwei1CHEN Weigang1

1.Key Lab of E&M，Ministry of Education & Zhejiang Province，Zhejiang University of Technology，Hangzhou，310014 2.The Research Institute of Advanced Technologies,Ningbo University Nigbo,Zhejiang,315211

To solve problems of multidimensional case retrieval modeling and its dimensionality reduction calculation for low carbon design, a modeling and application method of multi-dimensional correlation function was proposed. Firstly, an improved side distance method was developed through the principles of variable slope, which provided the basis for developing a multi-dimensional side distance model. Secondly, because side distance formula could not give out the accurate distance values between design parameters and its optimal, a multi-dimensional correlation function which had good dimension reduction effect was established. Then a retrieval method was given based on the multi-dimensional correlation function. Finally, the proposed method and algorithms were verified in the design of a screw air compressor. The evaluation results show that the improved side distance is correct and effective, the dimension reduction method for the multi-dimensional correlation function is fast and viable, and the otherness among these cases is very obvious.

multi-dimensional correlation function; low-carbon case; similarity retrieval; dimension reduction; screw air compressor

2015-01-09

國家自然科學基金資助項目(51605231，51275477)

TP18DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2017.06.009

洪歡歡，男，1984年生。浙江工業大學機械工程學院博士研究生，寧波大學高等技術研究院講師。主要研究方向為低碳設計、創新設計、技術成果轉化。發表論文10余篇。趙燕偉(通信作者)，女，1959年生。浙江工業大學機械工程學院教授、博士研究生導師。E-mail:zyw@zjut.edu.cn。陳尉剛，男，1989年生。浙江工業大學機械工程學院碩士研究生。