緊扣實質 優化細節
——以《烙餅問題》教學為例

王相春

近期，筆者參加了一次同課異構活動，課題是《烙餅問題》（人教版四年級上冊第105頁）。在聽課過程及交流評課中，引發了筆者對這節課教學的一些思考，寫下來與各位同行交流學習。

一、本節課的教學實質是什么？

眾所周知，“數學廣角”中的教學內容題材豐富、生動有趣，富有思考與探究空間。其實質是通過這樣的學習素材，比較系統而有步驟地滲透數學思想方法，重視解決問題的探究過程，呈現或突出學生的思考過程，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，積累數學活動經驗。

那么，《烙餅問題》這節課的數學思想方法是什么？需要經歷哪些探究過程呢？又會積累哪些數學活動經驗呢？

在《烙餅問題》的前一課時《沏茶問題》中，學生知道了一些優化的方法，即合理安排做事的環節，可以節省時間。教材通過日常生活中的烙餅事例，“怎樣才能盡快吃上餅”這樣一個數學問題，引發了本節課對“最優烙餅方案”的數學探究與思考。解決一個問題，需要思考有哪些方案或途徑，在這些方案或途徑中，哪個又是最優、最節省時間的？需要進行比較和探究。這樣一種思維、發現、體驗與感悟，是非常有價值的。這就是教材的編寫意圖，也是人教版教材編寫“數學廣角”的價值所在，魅力所在。“烙餅”這樣一個或一類于現實生活中常見卻沒有被關注的事例，通過我們的教學，讓學生發現，這其中有數學問題，也有思維策略，從而積累一些活動經驗。

二、教學過程中幾個細節的再優化

1.烙餅方法的多種表征手段的融合與優化。

烙餅方法，對學生來說應該是比較抽象、不易理解的，雖然學生在生活中接觸過烙餅的情境，但缺乏烙餅的實際經驗。

因而，我們要讓學生經歷烙餅的過程，體驗不同的烙餅方法及結果，這樣的環節必不可少。比如，烙三張餅時，就需要充分的展開，安排學生動手操作（以桌面代替鍋，以圓片代替餅）。在動手操作時，還要讓學生用語言表達烙餅的過程，邊操作邊講，并把過程記錄下來，邊說邊記。從操作到語言，語言到圖示，各種表征方法融合在一起，從具體到抽象，從抽象到形象，讓學生充分經歷烙餅的過程。然而，語言層次的表述比較困難，學生往往詞不達意，但這樣的環節卻必不可少，因為思維必然要經歷一個從混沌到清晰的過程。因此，可以引導學生學會用符號、圖示、數字等表達操作過程或思維過程，使過程表述變得清晰明了。

怎樣記錄烙餅的過程呢？教師一般會這樣板書（如上圖），這似乎沒有什么問題。然而，學生在概括時往往答非所問或者比較困難。如果在板書上再加一個圈，即是否滿鍋顯而易見，容易比較得出結論也省時。即前者空著位置，后者是滿鍋的。空著位置，烙的次數多，時間也多。在討論時，大家比較認同這樣一個細節的優化。

2.多個餅的烙法要適時進行優化。

烙三個餅的最優方案，讓學生動手操作探究是非常有必要的。那么，當餅數增加時，是否還需要依次讓學生動手操作呢？筆者認為，要適可而止。因三個餅“交替烙”的負遷移，烙四個餅時，學生也會出現“交替烙”的情況，我們不妨讓學生再次動手操作，通過“兩個兩個地烙”與“交替烙”的比較，感悟不同條件應選用不同的烙餅方法。

在討論五個餅的烙法時，應該讓學生脫離操作，對操作方法進行抽象，然后討論，有意識地讓學生對餅數分組，運用已有的結論去解決問題。這樣做有幾個好處：其一，能提高課堂的效率。如果三個也操作，五個也操作，讓學生繼續停留在操作的層面，而謂之為讓學生體驗，筆者認為沒有意義。教學應該適時進行提升，讓學生掌握運用已有的知識去解決未知的東西，這種思想應該是必備的。其二，讓學生體會到分組解決問題的便捷性。最后，讓學生體會遷移的思想。為后面多個餅的烙法提供一個策略，或者說是一個模型。

3.經歷規律的發現過程，優化觀察的結論。

幾位教師通過多個餅的探討，形成了一張表格（見上圖），然后引導學生進行觀察，提問發現了什么？當學生說餅數與次數相同時，教師馬上進行“餅數×每面烙的時間=總時間”這個數量關系的引導與概括（且不說這個數量關系的正確與否），然后就安排練習的環節。

筆者認為，這樣安排有“走過場”的形式之嫌。經過多個餅的探討而有意識形成的表格，是一個非常好的教學資源，應該放手、留足時間讓學生經歷多個規律的發現過程。培養學生的數學素養，就要讓學生學會用數學的眼光去發現問題、解決問題，所以讓學生經歷從一堆數據中發現規律，并進行探因，是有必要的。

如果說餅數與次數之間存在相等關系（一個餅除外），這個發現是容易的，也是比較直觀的。那么“餅數都是分成兩個兩個或兩個兩個與三個”，這個發現卻是有價值的。為什么有這種分組？是因為前面的探究形成了一種思維上的策略，分組也就意味著利用已掌握的方法或規律去解決問題。

餅數與次數相等時（一個餅除外），多數教師急于引出“餅數×每面烙餅時間＝總時間”這個數量關系，并計算多個餅的總時間。那這個數量關系正確嗎？在這道題目里看是正確的，因為餅數與次數相等。然而，當條件發生變化時，顯然不正確。那么，這個數量關系的提出是否有必要？筆者認為，可以有這個過程，但需要引導學生探究一下數量關系的背后是什么原因。因為這個數量關系的背后實則是有一種“轉化”的思想。一個鍋每次烙好兩個面，相當于一個餅的兩面，即一次能烙好一個餅，幾個餅就要烙幾次。把每次烙好餅的面數，轉化為一次烙好幾個餅。這個轉化或轉換的思想非常具有推廣價值。所以表面上的規律總結，還需要再挖掘一次才顯得更加科學。

三、時間不夠用——一個不能回避的問題

“烙餅”所蘊含的優化思想得以滲透或感悟，需要讓學生充分經歷知識的形成過程。這個過程包括觀察、操作、思考、交流和概括。

通過動手操作去“烙一烙”，直接感知“同時烙”和“交替烙”的烙餅方案，這樣學生的數學活動經驗才會積累，理解才會深刻。操作也許是表面的體驗，知識的內化還需要讓學生經歷思考與交流。為什么“交替烙”能節省時間？為什么每次烙兩個餅時，餅數（一個餅除外）會與烙的次數相等？通過觀察、思考、交流，所產生的智慧的碰撞，還需要教師能夠抓住時機，適時地引導學生去概括和提升，這樣才會加深對知識的理解，才會積累思考的經驗，才會感悟思考問題的方式，才會體會本節課所蘊含的數學思想方法。

讓學生充分經歷知識的形成過程，往往需要時間的保證。筆者比較認同“磨刀不誤砍柴工”的觀點，過程的充分經歷，是非常有價值的。因此不必陷于時間不夠用而產生“取舍或壓縮”環節的痛苦之中。當然，讓學生經歷知識的應用過程也是必要的。學生對新知的牢固掌握需要教師提供內容豐富、形式多樣的練習，使學生在情境的變換中依然能夠用所學知識解決實際問題。在應用中，積累應用的經驗，進一步感受數學思想方法的價值。如果時間不夠用，不妨增加一些課時，舍得花時間去落實“數學廣角”編排的實際意圖，才能達到效果的最大化。