高等數(shù)學教學過程的博弈分析

楊鑫波

(重慶第二師范學院 數(shù)學與信息工程系，重慶 400065)

高等數(shù)學教學過程的博弈分析

楊鑫波

(重慶第二師范學院 數(shù)學與信息工程系，重慶 400065)

針對高等數(shù)學課堂教學過程中存在的一些問題，利用博弈論方法建立模型并求解，結(jié)合模型結(jié)果提出解決策略。

高等數(shù)學教學；博弈論

博弈論是研究決策主體的行為發(fā)生直接相互作用時的決策，以及這種決策的均衡問題的理論，它既是現(xiàn)代數(shù)學的一個新的分支，也是運籌學的一個重要學科。1944年，馮·諾依曼和摩根斯坦在其《博弈論與經(jīng)濟行為》中首次對博弈理論進行了系統(tǒng)化和形式化的描述，標志著博弈論作為一門學科的建立。1951年，納什博士論文《非合作博弈》的發(fā)表，為博弈論的發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。根據(jù)博弈論參與人之間是否合作，博弈可以分為合作博弈和非合作博弈?！昂献鞑┺暮头呛献鞑┺牡膮^(qū)別在于相互發(fā)生作用的當事人之間有沒有一個具有約束力的協(xié)議，如果有，就是合作博弈，如果沒有，就是非合作博弈。非合作博弈是策略導向的，它研究的是參與博弈的決策主體如何產(chǎn)生所期望的行為，是對博弈所發(fā)生事情的精確描述，因此非合作博弈是研究微觀層面的理論。而合作博弈是成果導向的，它研究的是參與博弈的決策主體在哪些方面能達成一致，如何能達成一致以及在形成聯(lián)盟時如何分配他們的共同收益。合作博弈關(guān)心的是參與人可行的結(jié)果，而不是關(guān)心這些結(jié)果是如何產(chǎn)生的，因此合作博弈是研究宏觀層面的理論?！盵1]非合作博弈在研究不對稱信息情況下市場機制的效率問題上發(fā)揮了重要作用，從而使非合作博弈相對于合作博弈在經(jīng)濟學中占據(jù)了主流地位。經(jīng)過半個多世紀的研究和拓展，博弈論已經(jīng)成為整個社會科學特別是經(jīng)濟學的核心，是一種重要的研究方法和工具。新建本科院校主要是由高職院校升本，成人本科院校改制，院校合并或新建獨立學院等形式所建立的新的本科院校。與其他辦學歷史比較悠久、學科專業(yè)發(fā)展比較成熟、服務對象比較穩(wěn)定、人才培養(yǎng)模式大致定型的院校相比，新建本科院校必須錯位發(fā)展，找準自己的“市場”定位。盡管這類高校的學科及專業(yè)建設(shè)抓住了一些戰(zhàn)略機遇，得到長足發(fā)展，但隨著發(fā)展的深入，存在的問題也比較明顯，有些問題嚴重影響教學質(zhì)量。教學質(zhì)量是學校的生命線，關(guān)系學校能否在普通本科院校里站住腳，關(guān)系學校的興衰成敗。筆者作為一名基層教師，在高等數(shù)學教學過程中發(fā)現(xiàn)諸多影響教學質(zhì)量的問題，并試圖解決。本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，試圖利用博弈論工具，從教學過程視角對師生博弈進行分析，提出提高教學質(zhì)量的建議。

一、課堂教學存在的問題

提高教學質(zhì)量，課堂教學過程尤為重要。一些新建本科院校部分專業(yè)的高等數(shù)學教學存在許多問題，對教學效果有著嚴重影響。

(1)生源質(zhì)量有所下降，教學難度加大。高校擴招后，生源質(zhì)量下降，學生學習基礎(chǔ)和習慣差。大多數(shù)學生沒有課前預習的習慣，上課時直接帶著教材就來，有的甚至連教材都不帶。上課時不少學生精力難以集中，不認真聽講，也不怎么做筆記，對黑板上教師反復強調(diào)的重要內(nèi)容，也只是心不在焉地拿出手機拍張照片。可以想見，學生在課堂上對有詳細推導過程的結(jié)論都漠不關(guān)心，課后更不會去草稿本上對所學內(nèi)容進行推演。有的學生上課躲在最后幾排玩手機，有的課后或者晚上玩手機，沒有休息好，上課來補覺，有的直接曠課，這種“混世魔王”的比例有逐年遞增的趨勢。筆者也反思過是不是因為所講的數(shù)學知識太過乏味，導致學生學習積極性不高，嘗試在教學過程中多講一些名人軼事或知識點的應用。當講趣事時大多數(shù)學生的表現(xiàn)是，講故事可以，講數(shù)學就沒興趣，仍有個別學生依舊不以為然。由于生源質(zhì)量下降，對教學效果帶來嚴重沖擊。

(2)高等數(shù)學教學課時被削減，教學過程倉促。有的院校為更好地培養(yǎng)學生的應用實踐能力，在培養(yǎng)方案中削減理論教學課時。在保證知識夠用的前提下，對教材中理論性強的內(nèi)容做了刪減，剩下的內(nèi)容都是淺顯的基礎(chǔ)知識。另外，學校時常動員高年級學生考研，而考研對數(shù)學基礎(chǔ)的要求比較高，學生的數(shù)學基礎(chǔ)太差也不會貿(mào)然考研。作為任課教師希望學生以后能更好地發(fā)展，盡量多講些知識以培養(yǎng)考研的苗子。由于課時量非常緊張，教師在把教材內(nèi)容全部覆蓋的前提下，很多教學章節(jié)的內(nèi)容只能把開始幾節(jié)的入門內(nèi)容講完，后面的只能略講，根本沒時間展開，導致所講內(nèi)容偏簡單，對教學質(zhì)量有一定影響。如果學生上課時不積極配合，或者曠課，教學效果會更糟，有考研想法的學生人數(shù)就會減少。

(3)教學資源不足。由于應用型本科院校主要重視培養(yǎng)學生實踐應用能力，數(shù)學師資的配備相對不足，普遍采用合班教學，大班上課(許多重點大學數(shù)學課也是上大課)。這種教學方式本身沒有問題，但由于新建普通本科院校學生學習的自覺性相對較差，學生會利用大班上課這種方式逃課，或者上課玩手機，看其他書籍等。上課考勤是很有必要的，如果教師總是不考勤，會助長學生曠課的不良風氣。由于人數(shù)眾多，多個班級學生混坐，考勤至少10分鐘。本來教學課時量減少后，對教學任務的完成帶來挑戰(zhàn)，所以教師只有在能保證完成教學任務的前提下，有多余時間再抽查學生的出勤情況，對缺席的學生進行監(jiān)控和警告。目前來看，學生出勤情況不理想，有的學生常以考駕照或參加學校社團活動名義請假，還有的學生多次曠課，屢教不改，家長也無能為力。數(shù)學本身是邏輯性非常強的學科，知識點聯(lián)系緊密。個別同學因為一次缺席，課后又不去補習，導致后續(xù)數(shù)學知識不能理解，從此一蹶不振。

二、課堂教學中的師生博弈模型

學生在學習過程中出現(xiàn)的問題，需要社會、學校、家庭、班主任、任課教師以及學生來共同解決。接下來將任課教師與學生的教學關(guān)系用博弈論中的嚴格監(jiān)督博弈來描述。

為了建模和分析問題方便，假設(shè)模型中的字母均大于零，含義解釋如下：

a：表示學生努力學習帶給教師的效用大小，相反如果學生不努力，教師的效用為-a；

c：表示教師對學生進行嚴格監(jiān)督時所需付出的成本；

R：表示教師嚴格監(jiān)督的條件下，學生努力學習的收益；

S表示教師不嚴格監(jiān)督的條件下，學生努力學習的收益(S

F：表示由于教師的嚴格監(jiān)督激勵學生，教師獲得的教學效果的增加(F>c)；

T：教師在嚴格監(jiān)督過程中，對不努力學習的學生采取的處罰，造成學生效用損失；

W：表示教師課堂監(jiān)督不嚴，學生可用時間增多而獲得的其他成就。

圖1是課堂上師生雙方教學的博弈支付矩陣。

圖1 博弈支付矩陣

由假設(shè)條件和支付矩陣可知，此博弈不存在純策略均衡，即決策者的最優(yōu)決策都要依賴于對方的行動，任何一個純策略組合都有一個參與者會單獨改變策略，故模型是不穩(wěn)定的。教師采取嚴格監(jiān)督方式時，學生就會努力學習，當學生努力學習時，教師會放松監(jiān)督，這將節(jié)省教師的成本，教師監(jiān)督不嚴，學生容易偷懶，所以教師的最優(yōu)選擇是實行嚴格監(jiān)督。根據(jù)納什均衡存在定理：每一個有限博弈至少存在一個納什均衡，因此該博弈存在混合策略納什均衡。用λ表示教師嚴格監(jiān)督的概率，1-λ為不嚴格監(jiān)督的概率，θ表示學生努力學習的概率，1-θ為不努力的概率?？傻媒處熀蛯W生的期望收益函數(shù)

π(1，θ)=θ(a-c)+(1-θ)(-a-c+F)

π(0，θ)=θa+(1-θ)(-a)

這里，這個混合策略是教師的最優(yōu)選擇，則教師選擇嚴格監(jiān)督和不嚴格監(jiān)督是無差異的，即

π(1，θ)=π(0，θ)

同理，若教師的混合策略為(λ，1-λ)，學生選擇努力學習(θ=1)和不努力學習(θ=0)的期望收益如下：

π(λ，1)=λR+(1-λ)S

π(λ，0)=λ(-S-T)+(1-λ)(-S+W)

由π(λ，1)=π(λ，0)

三、提高課堂教學質(zhì)量的幾點建議

通過上面的博弈分析，可以發(fā)現(xiàn)，教師為了讓學生努力學習，提高教學效果，可采用以下措施。

(1)降低教師的監(jiān)督成本。比如學校加大投入，增加師資配備，小班教學，或配備助教協(xié)助教學等。這樣可以使教師不必顧慮出勤率，或?qū)W生上課是否認真聽講。在監(jiān)督成本不高的情況下，還可以設(shè)計階段性小測驗，掌握學生的學習情況，促使學生加強課余學習。比如借助互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，建立與課程配套的網(wǎng)站資源，讓學生在線提前預習教師所講內(nèi)容或完成課后練習，系統(tǒng)自動評閱，并把結(jié)果反饋給學生和任課教師，讓教師時刻掌握全班同學的學習動態(tài)，根據(jù)學生的總體情況因材施教，提高教學質(zhì)量。這樣教師可以用更多的精力去備課，組織研討，提升自我素養(yǎng)，進一步提高教學質(zhì)量。

(2)加強對學生的監(jiān)督，加大對不努力學習的學生懲罰力度。教師在課堂上加強對學生的嚴格監(jiān)督，讓所有學生都認真聽課，積極思考，努力學習。這項措施的順利實施不僅需要教師的努力，還需要學生家長的配合和學校制度的支持。由于目前很多學生是獨生子女，當教師對學生嚴格要求時，個別家長不能理解教師的做法。有個別同學上課睡覺，教師對其批評教育，希望他好好學習，學生卻認為這樣做傷害了他的自尊心，甚至提出讓教師道歉的奇葩要求。為什么會出現(xiàn)搞教育的不敢教育學生的 “窘境”？無非是教師在某種程度存在弱勢，這就需要學校和社會賦予教師更多教育的權(quán)利。另外，由于現(xiàn)在很多學校對學生考試不合格，退學的處理比較謹慎，導致很多學生覺得無論學習有多糟糕，學校一定不會讓其退學。一旦高年級的學生把這一秘密告訴給低年級的學生后，更多的學生會選擇不學習，更多“問題”學生會對教師的嚴格監(jiān)督置之不理，并要求教師降低要求。這樣任課教師的嚴格監(jiān)督管理，都會付諸東流，教學效果就無從談起。

(3)教師應努力提高教學質(zhì)量，改革教學方式，引導學生努力學習。從模型求解結(jié)果可知，教師提高教學質(zhì)量可以讓學生獲得更多知識，使學生感到努力學習的收益遠高于不努力學習的情形。教師在上課之前首先要吃透教材知識點內(nèi)容，再根據(jù)不同專業(yè)要求，不同學生基礎(chǔ)，選擇恰當?shù)慕虒W方式講解相應教學內(nèi)容。在教學過程中不僅要完成教書的任務，還要實現(xiàn)育人的目標。由于應用型本科專業(yè)對高等數(shù)學學習的側(cè)重點不同，因此在教學過程中應根據(jù)不同專業(yè)，選擇高等數(shù)學教學內(nèi)容和教學方式。例如，對于應用性較強的知識點，教師僅選講教材部分內(nèi)容，然后布置相關(guān)作業(yè)或任務，讓學生分小組完成，然后上臺答辯，其他小組學生進行提問。讓學生在做任務的同時，完成對相關(guān)知識點的學習，既培養(yǎng)了學生自學能力和團隊合作能力，又讓整個教學過程變得更加立體生動，形成積極互動的良好氛圍。除此之外，還可以改變傳統(tǒng)考核方式。高等數(shù)學一般通過期末閉卷考試來考查學生學習情況，這種方式有其合理性，也有一些弊端，比如部分同學平時學習不認真，期末突擊一下，甚至考試時作弊，考完就全忘掉。我們可以嘗試減少期末考試的權(quán)重，注重平時學習成績，或完成小組任務的質(zhì)量進行綜合考評，引導學生努力學習。

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[責任編輯 劉江南]

2016-06-08

重慶市教育委員會項目“合作博弈解及其應用研究”(KJ1501407)；重慶第二師范學院教改項目“基于應用型人才培養(yǎng)的‘高等數(shù)學’教改探索”(JG2014212)

楊鑫波(1982— )，男，重慶永川人，講師，研究方向：最優(yōu)化理論及應用。

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1008-6390(2017)02-0113-04