“包裝的學問”之數(shù)學模型

胡英武

【摘 要】文章給出了“包裝的學問”中包裝方案的數(shù)學化與包裝方案數(shù)的確定方法，建立了表面積最小的非線性整數(shù)規(guī)劃模型并給出了模型的求解方法。

【關(guān)鍵詞】包裝的學問 包裝方案 數(shù)學模型

“包裝的學問”是北師大版小學數(shù)學五年級下冊第82-83頁的“綜合與實踐”領(lǐng)域的教學內(nèi)容。限于小學生的思維，教材中的包裝問題只涉及一個面、兩個面拼接的情況，不涉及三個面的拼接。作為教師，應該思考一般的包裝問題。

一、問題提出

包裝問題：將n個長、寬、高分別為a，b，c（）的長方體包裝成大長方體，包裝時要求包內(nèi)相鄰兩物體必須以全等的兩個面對接，怎樣包裝使表面積最小？

二、問題分析

要求包裝后長方體的表面積，只要求出棱長；要求出棱長，只要求出包裝方案。要解決包裝問題，必須先將包裝方案數(shù)學化，再確定包裝方案數(shù)，算出各包裝方案的表面積，確定最優(yōu)方案。

三、模型建立

（一）包裝方案的數(shù)學化

為敘述方便，建立如下圖所示的空間直角坐標系。任一包裝方案都是由x，y，z方向?qū)有纬傻模虼丝捎萌S數(shù)對表示包裝方案。

x方向?qū)右痖L的改變，y方向?qū)右饘挼母淖儯瑉方向?qū)右鸶叩母淖儭?/p>

例如：某包裝方案是x，y，z方向分別對接n1，n2，n3個形成的，那么該包裝方案可用表示，其中n1是方向接的個數(shù)，n2是方向接的排數(shù)，n3是z方向接的層數(shù)。

該包裝過程如下：方向?qū)觧1個形成一行，包裝后長方體的長擴大到原長方體長的n1倍；y方向再拼接這樣的行形成1層，包裝后長方體的寬擴大到原長方體寬的n2倍；方向再拼接這樣的n3層，包裝后長方體的高擴大到原長方體高的n3倍。

由于包裝前后小長方體的總個數(shù)不變，所以包裝方案的數(shù)學化可用n=n1·n2·n3來表示。

（二）包裝方案數(shù)的確定

根據(jù)包裝方案的數(shù)學化表示，要確定所有的包裝方案，只要求出n的三因數(shù)分解的排列數(shù)。

例如：12個長方體的包裝問題，有如下18種不同的包裝方案：

12=12×1×1 12=1×12×1 12=6×12×1

12=6×2×1 12=6×1×2 12=2×6×1

12=2×1×6 12=1×6×2 12=1×2×6

12=4×3×1 12=4×1×3 12=3×4×1

12=3×1×4 12=1×4×3 12=1×3×4

12=3×2×2 12=2×3×2 12=2×2×3

（三）最優(yōu)方案的確定

包裝方案下，長方體的長、寬、高分別為n1a、n2b、n3c，表面積為。

問題轉(zhuǎn)化為在，下，求的最小值問題，是非線性整數(shù)規(guī)劃模型。

包裝問題的數(shù)學模型：

四、模型求解

設(shè) （），由n1、n2、n3確定的所有包方案（最多6種）中，最優(yōu)包裝方案為：（），最小表面積為S0。

其中（）

證明：設(shè)（n1，n2，n3）是n1，n2，n3（）的任意一個排列，該包裝方案下的表面積為。

下面證明，即證。

我們以（ni，nj，nk）=（n2，n3，n1）為例給出證明，其他情況不再贅述。

因為，

所以，，，，

從而，即。

這樣，我們得到了解決這類包裝問題的一般方法：先求出n的三因數(shù)分解有幾類，每一類按上述方法確定最優(yōu)方案，再從這些方案中確定最優(yōu)方案。

五、模型評價

本文利用初等數(shù)學的方法給出了包裝方案的數(shù)學化，包裝方案數(shù)的確定方法，建立了包裝問題的非線性整數(shù)規(guī)劃模型，給出了求解方法，后續(xù)進一步可思考n的三因數(shù)分解的排列數(shù)計算問題。

【參考文獻】

[1]義務(wù)教育數(shù)學課程標準研制組編.小學數(shù)學五年級下冊（實驗版）[M].北京：北京師范大學出版社，2004：82-83.

[2]張思明.中學數(shù)學建模教學的實踐與探索[M].北京：北京教育出版社，1998：46.

[3]黃忠裕.關(guān)于長方體規(guī)則打包的一些討論[J].數(shù)學通報， 2004（10）：32.

[4]張思明，白永瀟.數(shù)學課題學習的實踐與探索[M].北京：高等教育出版社，2003：48-62.