基于漏探概率的車軸探傷周期制定方法

丁　然，李　強

(北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京　100044)

在運營中周期性地對車軸進行探傷以便及時發現裂紋并更換，是保障車軸安全運營的重要手段。車軸探傷是車軸安全壽命設計的重要補充，兩者相輔相成[1]。由材料疲勞導致的斷軸事故大多伴隨著裂紋漏探。而目前常用的超聲波探傷技術在某些情況下，即使對于4 mm深的大裂紋探出概率仍不足0.4[2]。縮短探傷周期可以使裂紋在失穩擴展前得到更多探傷機會，對裂紋有較高的累積探出概率；但探傷周期過短又會增加人力、物力成本，甚至影響列車運營。因此合理制定探傷周期對實現列車連續安全運營有重要意義。

現行的探傷周期制定方法[1，3]多是首先基于斷裂力學公式計算出車軸的剩余壽命N；再規定剩余壽命內累積探傷次數不少于M-1次，以獲得較大的累積探出概率；最后取探傷周期為N/M，并驗算此探傷周期的可靠度是否滿足要求。但這種探傷周期的制定方法有以下3點不足。

(1)由于車軸在設計上有很大的強度冗余，使用NASGRO公式[4]或其他類似的斷裂力學模型[5]計算車軸裂紋時通常會得到不滿足裂紋擴展的判據，從而無法求出車軸的剩余壽命。應用中，Beretta[3]通過放大初始裂紋到5 mm或者提高載荷水平，Zerbst[1]則通過減小材料應力強度因子變程門檻值ΔKth，迫使裂紋擴展。這些手段雖可得到偏安全的剩余壽命，但與實際工況偏差較大。

(2)只能通過事先給定的M值驗算可靠度，無法在一定可靠度要求下制定盡量長的探傷周期以減小成本。

(3)由于受隨機因素的影響，車軸剩余壽命的分散性很大[6-7]，因此用非隨機算法計算車軸剩余壽命并不理想[8-9]，而由隨機裂紋擴展計算模型得到的車軸剩余壽命又是隨機的，無法計算其可靠度。

本文基于伽馬隨機過程模型分析試驗或運營中取得的裂紋擴展數據，從統計學的角度描述裂紋擴展過程，并在該模型下推導車軸的失效函數及可靠度函數，揭示車軸的剩余壽命、漏探概率和車軸可靠度三者的關系，克服現有方法的不足，為車軸剩余壽命分析和探傷周期的制定提供理論基礎。

1　基于伽馬隨機過程的裂紋擴展模型

為描述裂紋擴展的隨機性而使用隨機過程最為自然，伽馬(Gamma)隨機過程適合描述隨時間緩慢擴展且擴展速率逐漸變大的裂紋擴展過程。該模型有很強的數據擬合能力，近年來在疲勞數據分析和剩余壽命估計等領域已有了非常廣泛的應用[10-12]，但目前尚未見在車軸領域的應用。為簡單起見，本文將沿周向擴展的車軸表面裂紋的深度抽象為一維伽馬隨機過程。為使探傷周期的制定方法更加具有普遍性，本文不假設車軸的形式(如：空心軸、實心軸；客車軸、貨車軸)及裂紋的萌生位置(如萌生于軸頸過渡圓弧處或輪座壓裝區)。

1.1　模型定義及相關假設

設裂紋的初始深度為a0，t時刻裂紋的深度為at，則裂紋的擴展量為Δa(t)=at-a0。 假設Δa(t)為伽馬隨機過程，則它滿足如下條件。

(1)初始時刻裂紋的擴展量為0，即Δa(0)=0。

(2)獨立增量：對任意時刻，有t0

(3)伽馬增量：對于任意時刻t≥0和任意時間增量Δt>0，Δa(t+Δt)-Δa(t)服從參數為α(t)和λ(λ>0)的伽馬分布，即

Δa(t+Δt)-Δa(t)～

(1)

式中：Γ(·)為伽馬函數；α(t)為t的增函數。

設裂紋擴展臨界深度為au，即當at≥au時判定車軸失效。則車軸的剩余壽命N≤t等價于at≥au或Δa(t)≥au-a0。利用伽馬函數的性質可求得t時刻剩余壽命的累積分布函數FN(t)為

(2)

在已知tr時刻裂紋深度的條件下，ts(ts>tr)時刻剩余壽命的累積分布函數FN(ts|atr)為

(3)

1.2　參數估計

待估參數為式(1)中的α(t)和λ。α(t)常取為冪函數的形式[10]，則系數為k、 指數為b的α(t)為

α(t)=ktb

(4)

因此模型的待估參數為k，b，λ，可利用極大似然法求得。

觀察m條裂紋的獨立擴展過程。若對第i(i=1, 2, …,m)條裂紋觀察ni次，其對應的觀察時刻分別為ti,1,ti,2,…,ti,ni，對應時刻的裂紋深度分別為a(ti，1),a(ti，2), …,a(ti,ni)， 則可算得ni個裂紋深度的增量Δai,j=a(ti,j)-a(ti,j-1；j=1, 2, …,ni；且ti,0=0。

設各個裂紋樣本間相互獨立，由式(1)可得極大似然函數L(Δai,j|k,b,λ)為

L(Δi,j|k,b,λ)=

(5)

而在實際應用時，用于模型待估參數估計值的裂紋擴展數據可以從仿真、試驗或經驗數據中獲得；也可先通過仿真獲得待估參數的估計值，再由實際運營的探傷數據加以修正。為簡單起見，本文后面的數值算例使用仿真所得數據進行計算。

2　基于漏探概率的失效函數及可靠度函數

探傷系統的探傷能力通常用探出概率曲線描述[13-14]，它綜合反映裂紋深度與相應探出概率間的關系。設PD(a)為裂紋深度為a時的探出概率，則其對應的漏探概率為PN(a)=1-PD(a)。

在可靠性理論中，失效函數F(t)通常被定義為t時刻系統已失效的概率。因為車軸是關鍵安全部件，探得裂紋就會被更換，因此車軸的失效函數F(t)可具體解釋為： 在t時刻(用載荷循環數或運營里程表示)，裂紋始終未被探傷發現并已擴展至臨界尺寸au的概率。記車軸的失效時刻為tf，即atf=au。若取車軸的探傷周期為T，可將區間(0,t]按計劃探傷時刻tq=qT劃分為n+1個區間，即(tq-1,tq](q=1, …,n)和(tn,t]。則tf≤t等價于tf∈(tq-1,tq]和tf∈(tn,t]這n+1 個不交事件的和。圖1為tf∈(t3,t4] 和tf∈(t4,t]這2種裂紋擴展過程的示意圖。

為計算F(t)還需引入一些事件：記Ai為事件“至第i次探傷裂紋仍未被發現”，則

(6)

式中：P(Ai)為事件Ai發生的概率，規定P(A0)=1。

記Bi為事件“至時刻ti裂紋已擴展至臨界尺寸”，則P(Bi)=P(ai≥au)。 規定P(Bt)=P(at≥au)。應用全概率公式可得

Ai-1)+P(An)P(Bt|An)

(7)

圖1　tf∈(t3, t4]和tf∈(t4, t]的2種裂紋擴展過程

下面分別計算式(7)中諸項的概率。

式(7)中i=1對應項P(A0)P(B1|A0)，表示車軸在第1次探傷前車軸已失效的概率。由式(2)可得

P(A0)P(B1|A0)=FN(t1)

(8)

式(7)中i=2對應項P(A1)P(B2|A1)， 記pΓ(·)為伽馬分布的概率密度函數，則由全概率公式和式(3)可得

P(A1)P(B2|A1)=

(9)

對式(7)中i>2的諸項應用全概率公式，需要計算an

PN(a1)l-1PN(al)

(10)

利用條件概率的定義和全概率公式以及式(10)右側第1項，可得i=l對應項P(Al-1)P(Bl|Al-1)的上限為

(11)

式中：pB(·)為貝塔分布的概率密度函數。

同理，可得該項的下限為

(12)

將式(8)、式(9)、式(11)和式(12)代入式(7)即可計算F(t)的上、下限。

F(t)為t的函數，因此將其在t→∞的極限值F作為失效度指標更為方便、合理。進而可定義評價探傷周期的可靠度指標R=1-F。

3　數值算例

3.1　與斷裂力學模型的對比

圖2　本文模型與斷裂力學模型結果的對比

探傷周期取為1萬km，探出概率曲線取為文獻[2]中超聲遠端掃描曲線，將相關數據代入式(7)算得F(t)的上下限曲線如圖3所示。由圖3可見：隨t的增大F(t)趨于一個小于1的極限，這說明周期探傷可以在一定的范圍內維護車軸整體的運營可靠度。

圖3　失效函數F(t)的上下限

文獻[3]中按現行的斷裂力學方法取M=4，即車軸失效前累積探傷3次，求得探傷周期為0.82萬km并算得其可靠度為99.4%。取相同探傷周期，按本文模型算得可靠度上下限分別為99.8%和99.1%。與現行方法所得結果基本一致；另一方面，本文模型相當于在給定的探出概率曲線下，導出了探傷周期與可靠度間的函數關系。因此可以方便地利用插值函數等數值方法，反過來根據要求的可靠度制定探傷周期。而現行的斷裂力學方法無法反求。表1對比了2種模型的計算結果，并計算了按95.0%和99.9%可靠度制定的探傷周期。

表1　本文結果與文獻[3]結果的對比

3.2　計算給定探傷周期的可靠度

對于這種剩余壽命分散性較大的情況，以往研究中沒有合適的方法計算探傷周期的可靠度，而采用本文方法可以計算。表2為采用本文方法計算得到的可靠度與按50%可靠壽命進行可靠度校驗結果的對比。表中分別校驗了M=3, 4, 5時的結果，為說明問題又在其間插入了一些探傷周期的取值。結果表明：①按50%可靠壽命進行校驗給出的結果對較短的探傷周期偏激進，這是因為它忽略了剩余壽命偏小帶來的風險；而對較長的探傷周期偏保守，例如M=3，是因為現行方法認為此時只有2次探傷機會從而累積探出概率大幅下降。因此利用50%可靠壽命或其他可靠壽命進行校驗不能綜合反映剩余壽命與漏探概率的關系。②隨探傷周期變長，按50%可靠壽命校驗的結果并不是單調下降而是忽高忽低。因此現行方法只能對給定M值算出的探傷周期進行可靠度校驗，并不能計算任意探傷周期對應的可靠度。而本文可用于任意探傷周期的可靠度計算。

表2　本文結果與按50%可靠壽命校驗結果的對比

為方便工程應用，可由下式定義車軸失效前經歷探傷次數的期望值M(T)為

(13)

因為tq=qT，所以式(13)定義的M(T)為探傷周期T的函數。這樣與現行方法類似，可先計算，比如使M(T)=4的探傷周期T，再根據進一步求得的可靠度對制定的探傷周期進行優化，從而減少大量積分的計算。

4　結　論

(1)用伽馬隨機過程對車軸裂紋擴展建模是可行的。在反映裂紋隨機擴展特性的同時，基于試驗和運營中取得的裂紋擴展數據從統計學的角度描述裂紋擴展過程，可克服斷裂力學模型不滿足裂紋擴展判據的問題。

(2)本文模型可計算任意探傷周期的可靠度，也可在給定可靠度下制定探傷周期，應用更加靈活。

(3)給出了隨機裂紋擴展下探傷周期的制定方法，能綜合反映車軸的剩余壽命、漏探概率和可靠度三者的關系，所得結果更加合理。

(4)提出了車軸失效前經歷探傷次數的期望值M(T)的概念。 利用M(T)進行探傷周期的制定，在工程應用中更方便。

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