電氣化鐵路鋼軌感抗的精確計(jì)算公式

朱　峰，李　鑫，李朋真，李嘉成，邢學(xué)彬

(1.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院；四川 成都　610031；2.長(zhǎng)春軌道客車股份有限公司；吉林 長(zhǎng)春　130062)

鋼軌是電氣化鐵路牽引供電網(wǎng)系統(tǒng)中的重要組成部分[1-2]，除了作為高速動(dòng)車組的走行軌外，還兼做牽引供電網(wǎng)的回流導(dǎo)體[3]。高速動(dòng)車組與普速列車相比，動(dòng)車組的牽引回流大。且高速動(dòng)車組中有大量的電子設(shè)備，如速度傳感器、溫度傳感器、列車自動(dòng)保護(hù)系統(tǒng)(Automatic Trian Protection，ATP)、綜合專用數(shù)字移動(dòng)通信系統(tǒng)(Global System for Mobile Communications-Railway，GSM-R)等。這些電子設(shè)備的保護(hù)接地都是通過車體連接到鋼軌上，當(dāng)車體的接地布局不合理時(shí)，易引起大電流上車，造成不同程度的地電位不平衡問題，使車體與鋼軌之間產(chǎn)生較大的電勢(shì)差[4-7]。不同系列的CRH型動(dòng)車組其接地方式也不同[8-9]，這也將出現(xiàn)各種電磁兼容問題，如CRH380BL型動(dòng)車組降弓時(shí)因TCU型速度傳感器受到電磁干擾，導(dǎo)致車門不能正常閉合[10]；CRH380CL型動(dòng)車組?？吭谲囌緝?nèi)時(shí)由于BCU型速度傳感器受到電磁干擾，導(dǎo)致車門無(wú)法打開。此外，鋼軌作為軌道電路的載體，在研究軌道電路傳輸特性[11]時(shí)，需要得知鋼軌感抗在不同電流頻率和電流幅值下的數(shù)值。綜上所述，精確計(jì)算鋼軌感抗的數(shù)值對(duì)于高速動(dòng)車組的安全運(yùn)行具有重要意義。

總結(jié)前人的研究成果[8]可發(fā)現(xiàn)，由于分析車體接地電位不平衡時(shí)忽略了鋼軌感抗的影響而只考慮鋼軌的電阻，因此不能精確分析車體接地的電位不平衡問題。目前，國(guó)外一般是通過試驗(yàn)測(cè)量的方法得到鋼軌感抗參數(shù)[12-16]；我國(guó)學(xué)者曹建猷院士給出了鋼軌阻抗的經(jīng)驗(yàn)公式[17]，文獻(xiàn)[18—19]給出了鋼軌阻抗的測(cè)量參數(shù)。但是這些研究都沒有給出具體的理論分析，缺少?gòu)奈锢韺用鎸?duì)鋼軌阻抗進(jìn)行分析。鋼軌感抗作為鋼軌阻抗的一部分，只有在精確確定鋼軌感抗的基礎(chǔ)上才能確定鋼軌阻抗。

本文從集膚效應(yīng)和電流與鋼軌內(nèi)磁通的交鏈機(jī)理出發(fā)，通過建立鋼軌等效模型，推導(dǎo)鋼軌感抗的精確計(jì)算公式。該研究不僅從理論上闡明了鋼軌感抗的機(jī)理，同時(shí)對(duì)于電氣化鐵路的工程實(shí)踐具有指導(dǎo)意義。

1　鋼軌等效模型

在物理電磁學(xué)中，電流與磁通的交鏈稱為磁通鏈，又稱磁鏈。其中磁通分為內(nèi)磁通和外磁通，穿過導(dǎo)體橫截面的磁通稱為內(nèi)磁通，穿過導(dǎo)體外部的磁通稱為外磁通。

長(zhǎng)直通載流導(dǎo)體中電流與內(nèi)磁通的交鏈如圖1所示。圖中：I為通過載流導(dǎo)體的電流；l為載流導(dǎo)體的長(zhǎng)度；R為載流導(dǎo)體的半徑；r為磁場(chǎng)路徑包圍的圓的半徑；I′為半徑r處磁場(chǎng)路徑所包圍的電流；Bi為半徑r處的磁通密度；dr為半徑r上的微元寬度。

圖1　長(zhǎng)直通載流體內(nèi)電流與內(nèi)磁通的交鏈?zhǔn)疽鈭D

利用安培環(huán)路定理得出半徑r處的磁通密度Bi為

(1)

其中，

式中：μ為導(dǎo)體磁導(dǎo)率；π為圓周率。

圖1中電流I形成的回路構(gòu)成電流環(huán)，而在長(zhǎng)度為l、寬度為dr的矩形面上內(nèi)磁通微元也為環(huán)形，兩環(huán)相交構(gòu)成交鏈，則內(nèi)磁通與電流的交鏈為

(2)

則載流導(dǎo)體的感抗Xi為

(3)

式中：f為電流頻率。

得出式(3)的前提為電流密度在載流導(dǎo)體中是均勻分布的，并沒有考慮集膚效應(yīng)的影響；但實(shí)際情況是，由于集膚效應(yīng)的存在，通過鋼軌的電流密度并不均勻分布，而是從鋼軌表面到鋼軌內(nèi)部成指數(shù)形式衰減。故不能直接使用式(3)計(jì)算鋼軌的感抗。

通過有限元法仿真分析不同電流幅值和頻率下鋼軌內(nèi)部的電流密度分布，如圖2—圖5所示。

圖2頻率均為1 Hz的不同幅值電流通過鋼軌時(shí)的電流密度分布

圖3頻率均為10 Hz的不同幅值電流通過鋼軌時(shí)的電流密度分布

圖4頻率均為50 Hz的不同幅值電流通過鋼軌時(shí)的電流密度分布

圖5頻率均為100 Hz的不同幅值電流通過鋼軌時(shí)的電流密度分布

由圖2—圖5可見：由于集膚效應(yīng)的存在，鋼軌內(nèi)大部分工頻及工頻以上的電流都分布在鋼軌表面，即鋼軌中的電流只分布在其截面邊緣，且在同一頻率下，鋼軌內(nèi)電流幅值為1 000 A的集膚效應(yīng)比電流幅值為100 A更明顯，這將導(dǎo)致鋼軌內(nèi)通過1 000 A的電流時(shí)其感抗數(shù)值將大于通有100 A電流的鋼軌感抗。因此計(jì)算分析工頻以上電流的鋼軌感抗時(shí)需要采用圓柱載流導(dǎo)體等效模型，并且必須考慮集膚效應(yīng)對(duì)電流密度的影響。

鋼軌集膚深度d為

(4)

式中：μr為鋼軌的相對(duì)磁導(dǎo)率；μ0為真空磁導(dǎo)率；γ為鋼軌的電導(dǎo)率。

按照上述有限元仿真分析知，鋼軌內(nèi)部工頻及工頻以上的電流會(huì)由于集膚效應(yīng)而集中分布在鋼軌表面。因此可以將鋼軌等效為電流密度成指數(shù)衰減的圓柱形載流導(dǎo)體，研究鋼軌感抗，其等效模型如圖6所示。圖中：J0為鋼軌表面電流密度；J(r)為等效鋼軌半徑r處電流密度。

等效模型的等效半徑Re為

(5)

式中：L為鋼軌橫截面的周長(zhǎng)。

2　鋼軌感抗精確計(jì)算公式

如圖6(b)所示，鋼軌在通過交流電的情況下，由于集膚效應(yīng)，電流主要在鋼軌表面及其集膚深度不超過d的范圍內(nèi)流動(dòng)，在集膚深度d以外的鋼軌其他處的電流按指數(shù)衰減得只剩30%?？紤]集膚效應(yīng)的影響，鋼軌內(nèi)半徑r處的電流密度J(r)為

(6)

式中：J0為鋼軌表面電流密度。

圖6　鋼軌等效模型圖

式(6)可以很好地反映出集膚因子對(duì)鋼軌感抗特性的影響。

通過鋼軌內(nèi)的總電流為

(7)

半徑r處磁力線所包圍的電流為

(8)

電流I所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與電流本身的交鏈為

(9)

鋼軌的內(nèi)自感為

(10)

鋼軌的感抗為

(11)

3　計(jì)算結(jié)果與仿真分析

3.1　鋼軌感抗與電流幅值的關(guān)系

以60 kg·m-1鋼軌為計(jì)算對(duì)象，取鋼軌的長(zhǎng)度l=1 m，橫截面的周長(zhǎng)L=685 mm，等效半徑R=109 mm，電導(dǎo)率γ=4.762 MS·m-1。

因?yàn)椴煌娏飨落撔圆牧系拇艑?dǎo)率也在變化，所以鋼軌的感抗在不同電流下呈現(xiàn)不一樣的大小。根據(jù)文獻(xiàn)[20]給出的鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率μr與磁場(chǎng)強(qiáng)度H(H=I/L)間的函數(shù)曲線關(guān)系，可以得出不同電流I下的參數(shù)μr，在此基礎(chǔ)上由式(11)計(jì)算出工頻情況(50 Hz)下通過不同幅值電流時(shí)的鋼軌感抗，并通過感抗與內(nèi)自感的關(guān)系(Xi=2πfLi)將文獻(xiàn)[21]給出的內(nèi)自感實(shí)測(cè)值換算成工頻下的感抗值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表1。

從表1可以看出：由式(11)計(jì)算得到的鋼軌感抗與文獻(xiàn)[21]中實(shí)測(cè)值的誤差不超過10%。

工頻情況下通過不同電流幅值時(shí)鋼軌感抗的變化曲線如圖7所示。從圖7可以看出：鋼軌感抗將隨著電流幅值的增加先快速增大，而后緩慢減小，即不同幅值的工頻電流通過鋼軌時(shí)其感抗也不同。如長(zhǎng)編組的高速動(dòng)車組滿負(fù)荷運(yùn)行時(shí)通過鋼軌的電流可達(dá)800 A，此時(shí)μr為480，鋼軌感抗約為0.204 mΩ·m-1；若動(dòng)車組?？吭谡緝?nèi)時(shí)，通過鋼軌的電流不足30 A，此時(shí)μr為100，鋼軌感抗約為0.092 mΩ·m-1。

表1　工頻情況下不同電流幅值對(duì)應(yīng)的鋼軌感抗

圖7工頻情況下通過不同電流幅值時(shí)鋼軌感抗的變化曲線

精確計(jì)算動(dòng)車組不同工作狀態(tài)下的鋼軌感抗可為脈沖瞬態(tài)干擾對(duì)地電位的影響提供分析。

3.2　鋼軌感抗與電流頻率的關(guān)系

43，50和60 kg·m-1這3種型號(hào)鋼軌橫截面的幾何參數(shù)見表2。

表2　不同型號(hào)鋼軌橫截面的幾何參數(shù)

幅值為100 A的電流通過長(zhǎng)度均為1 m的不同型號(hào)鋼軌時(shí)，鋼軌內(nèi)自感與電流頻率的關(guān)系如圖8所示。

從圖8可以看出：在電流頻率約為200 Hz以上時(shí)，鋼軌內(nèi)自感趨于常數(shù)，表明此時(shí)集膚深度很小，電流基本在鋼軌表面流動(dòng)，鋼軌內(nèi)磁通接近最?。欢娏黝l率在200 Hz以下時(shí)，由于集膚效應(yīng)減弱，鋼軌內(nèi)自感快速增大；不同型號(hào)鋼軌的內(nèi)自感雖有不同，但區(qū)別不是很大，說明鋼軌的橫截面尺寸對(duì)其內(nèi)自感影響不大。

圖8　不同型號(hào)鋼軌內(nèi)自感與電流頻率的關(guān)系曲線

鋼軌感抗與電流頻率的關(guān)系如圖9所示。

圖9　不同型號(hào)鋼軌感抗與電流頻率的關(guān)系曲線

從圖9可以看出：鋼軌感抗隨著電流頻率的增大而增大，并且小尺寸的鋼軌在高頻電流通過時(shí)其感抗會(huì)更大。

4　結(jié)　論

(1)本文鋼軌感抗計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值的誤差不超過10%。

(2)鋼軌內(nèi)部工頻及工頻以上的電流會(huì)由于集膚效應(yīng)而集中分布在鋼軌表面。因此可以將鋼軌等效為電流密度成指數(shù)衰減的圓柱形載流導(dǎo)體，研究鋼軌感抗。

(3)鋼軌感抗隨著電流幅值的增加先快速增大，而后緩慢減小。對(duì)于60 kg·m-1鋼軌的軌道系統(tǒng)，長(zhǎng)編組高速動(dòng)車組滿負(fù)荷運(yùn)行時(shí)，通過鋼軌的電流幅值可達(dá)800 A，若動(dòng)車組?？空緝?nèi)，通過鋼軌電流幅值不足30 A，鋼軌感抗的變化范圍為0.092～0.204 mΩ·m-1。可為動(dòng)車組不同工作狀態(tài)下脈沖瞬態(tài)干擾對(duì)地電位的影響提供分析。

(4)隨著電流頻率的升高，鋼軌內(nèi)自感逐漸減小而鋼軌感抗則增大，且鋼軌的橫截面尺寸越小其內(nèi)自感和感抗就越大。

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