基于剛體模型的鐵道車輛曲線運動輪軌力分析

金　剛，時　瑾

(1.周口師范學院 機械與電氣工程學院，河南 周口　466001；2.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京　100044)

鐵路線路曲線地段是線路的薄弱環節[1]。曲線的線型及參數設置不僅影響列車運行的乘坐舒適性和安全性，而且還與線路曲線地段的輪軌蠕滑力和法向力造成的軌道病害[2-3]密切相關。因此，線路曲線線型和參數始終是鐵路線路設計理論研究的重點[4]。

車輛通過曲線時的動力學作用機制較為復雜[5]，軌道彈性變形、軌道不平順及車輪損傷等都會影響曲線地段車輛與軌道的動力相互作用。國內外學者針對這一問題提出了諸多模型[6-7]。這些模型均將車輛視為多自由度系統或剛柔體彈性系統，并考慮軌道結構、路基及橋梁的振動特性。輪軌間相互作用力的分析常采用赫茲彈性接觸理論和Kalker蠕滑理論實現[8-9]。這類模型一般用于研究結構振動、部件可靠性等問題。車輛曲線運動造成的動力學行為的特征主要表現為低頻振動，這類動力學行為與線路參數密切相關。在鐵路設計規范中，線型及曲線參數的確定一般采用剛體受力分析，以未被平衡加速度作為控制指標，得到線路參數的取值和匹配條件。需要說明的是，由于車輛在線路曲線段同時具有點頭、搖頭和側滾運動，運動形態復雜，但在已有的車輛剛體模型中并未考慮曲線段輪軌作用力特性，因而也導致了線路參數選取中不能全面考慮線路設置對運營的影響。長期以來，曲線段的輪軌力大都需要借助車軌動力學計算得到，計算工作量大。到目前為止，尚未見表述車輛在曲線段整體運動的動力學方程。本文旨在完善發展剛體動力學模型，以期實現對輪軌力、舒適性的高效預測，為鐵路線路線型及參數分析提供一種新的簡便方法。

一般情況下，鐵路曲線由圓曲線和緩和曲線連接而成，其線型研究的核心是緩和曲線。1865年法國人夏克建立三次拋物線型緩和曲線[10]，至今我國的普通鐵路和高速鐵路仍采用這種線型[11]。但理論上該緩和曲線與直線和圓曲線的連接點立面上切線不連續，會對線路的平順性帶來不利影響。為了改進三次拋物線型緩和曲線的缺陷，國內外學者設計了幾十種各種形式的緩和曲線。現已問世的緩和曲線大致分為兩類：一類是以放射螺線(又稱回旋線)的各種近似曲線為平面曲線，以直線或改善的直線順坡超高為立面曲線的傳統緩和曲線；另一類是以三角函數或高次多項式為基礎的新型緩和曲線。新型緩和曲線能很好地改善曲線起終點的行車條件，但緩和曲線長度更長，增加了工程施工、線形檢測和維護的困難。傳統緩和曲線雖然可以采用更短的長度，卻不利于列車在緩和曲線起終點的平穩運行，降低旅客乘坐舒適度，惡化運營條件，增加運營維護費用。高速列車運行速度高，線路曲線線型對列車運行品質的影響尤為顯著，在實踐中新型緩和曲線正在逐步被采用[12]。我國未來高速鐵路可能會達到更高速度，采用動力學性能更為優越的緩和曲線十分必要。本文建立一種可以根據曲線線型簡便計算輪軌力的剛體動力學模型，從理論層面對車輛曲線運動的輪軌力學特性進行定量分析，具有重要理論意義和工程價值。

1　鐵道車輛剛體模型的建立

1.1　車輛整體運動假設

鐵道車輛系統主要由車體、轉向架、輪對及其懸掛系統組成，車輛設計的基本要求在于滿足對線路空間軌跡的跟隨。從宏觀上看，車輛整體跟隨線路空間軌跡是車輛最根本、最基礎的要求，軌道交通線型參數設計就是要保證車輛的圓順跟隨。因此，國內外規范中均采用剛體模型估算列車運行的乘坐舒適性，并以此作為線型參數選取的理論依據。因此本文將車輛系統整體視為剛體以滿足線型分析的需求。

1.2　車輛曲線運動分析

鐵路線路曲線一般由“緩和曲線—圓曲線—緩和曲線”組成。車輛在曲線上運動時會產生法向加速度，以車輛為參照系時，等效于車輛受到1個指向曲線外側的慣性離心力。為平衡這一側向力，通常將外側軌道抬高(稱超高)，或內側軌道降低，使得慣性離心力與重力的合力垂直于兩股鋼軌所決定的平面(稱軌頂面)。滿足這一條件時稱之為“平—立面動力學協調”。但是，超高的引入使得外側軌道與原直線軌道不在同一水平面內。同時，車輛在直線軌道上不受側向力，若直接進入圓曲線會突然受到一個側向慣性離心力，給行車安全和乘坐舒適性帶來極為不利的影響。為解決這一問題，在圓曲線兩端引入立面高度和平面曲率都逐漸變化的過渡曲線，這就是所謂的“緩和曲線”。由此可見，緩和曲線是一條空間曲線，車輛進入曲線軌道后的整體運動為三維空間運動。

車輛進入緩和曲線后，車輛呈現側滾、點頭、搖頭等多種運動姿態。在外側軌道超高時，若以車輛與內側軌道的接觸點作為隨動坐標系(只隨車輛平動而不隨其轉動)的原點，則車輛在該非慣性坐標系中的運動可簡化為繞原點的3自由度純轉動。

高速鐵路線路的緩和曲線長度約為500～1 000 m，圓曲線半徑約為7 000～10 000 m，最大超高限值約為150～200 mm[13]，據此計算，車輛在緩和曲線段的搖頭和側滾總角位移約為10-1rad量級，而點頭總角位移約為10-4rad量級，因而可忽略車輛的點頭運動。根據加速度限值，車輛在緩和曲線上運動時，超高加速度不得大于0.4 m·s-2，除以軌距1.5 m，得側滾角加速度約為0.27 rad·s-2。而搖頭角速度為

(1)

式中：Ψ為切線轉角，即搖頭角；l為弧長；k為鐵路線路平曲線的曲率；y為平曲線的切線支距；v為車輛運行速度。

車輛的搖頭角加速度為

(2)

以我國鐵路線路普遍采用的三次拋物線型緩和曲線為例，平面曲線為

y=l3/(6l0R)

(3)

式中：l0為緩和曲線長度；R為圓曲線曲率半徑。

最大搖頭角加速度出現在緩-圓點(緩和曲線與圓曲線的連接點)。取R=7 000 m，l0=700 m，v=100 m·s-1，代入式(2)，得最大搖頭角加速度約為2×10-3rad·s-2，比側滾角加速度小2個量級。車輛在其他類型緩和曲線上的搖頭角加速度也有相同的量級。此外，前后輪對及車輛前后連接點對車輛質心的搖頭力臂(約101m量級)比輪對的側滾力臂(約100m量級)大1個量級，而車輛對質心的側滾與搖頭轉動慣量具有同一量級[14]，故與車輛搖頭運動有關的輪軌力至少要比引起側滾運動的輪軌力小3個量級。再者，搖頭力矩不單純由前后輪對的側向力提供，車輛前后的連接裝置亦可提供，而側滾力矩只能由輪對的垂向和橫向輪軌力提供。由此可知，研究曲線段輪軌力時，可以忽略搖頭的影響，僅考慮側滾運動，將車輛簡化為繞前進方向縱軸的一維轉動剛體。

2　車輛剛體運動的動力學基本方程

2.1　任意超高設置下的動力學方程

任意超高時車輛的受力分析如圖1所示。圖中：F為輪對受到的軌道沿軌頂面的側向力；F1為內側(曲率中心一側)車輪受到的垂直于軌頂面的正壓力；F2為外側輪受到的正壓力；L為車輛質心C到內側輪軌接觸點A的距離；D為車輛質心C到軌頂面的距離；S為軌距；θ為軌頂面橫坡角，亦為車輛所受重力與車輛豎向對稱軸的夾角；φ為車輛質心到內側輪軌接觸點A的連線與車輛豎向對稱軸的夾角；h為外軌超高；m為整車質量，亦可視為半車或1/4車質量，分別對應單輪對、單轉向架或整車輪軌力；g為重力加速度。

圖1　任意超高時的車輛受力分析

以A為基點，質心的絕對加速度為

(4)

(5)

由質心運動定理可列出

(6)

mgcosθ-F1-F2=m(-kv2sinθ-

(7)

由對質心的動量矩定理可列出

(8)

式中：rc為車輛(亦可為整車、半車或1/4車)對質心的回轉半徑。

注意到：sinφ=S/(2L)，cosφ=D/L，故式(6)、式(7)和式(8)可改寫為

(9)

2mgcosθ-2F1-2F2=

(10)

(11)

(12)

由此可解出任意超高下的輪軌力表達式

(13)

根據這一結果，只要知道平面曲線的曲率k、外軌超高h的表達式，以及車輛結構參數rc和D，軌距S和車輛運行速度v，即可計算出輪軌力。若曲線的超高完全按平—立面動力學協調關系設置，車輛基本動力學方程的建立和輪軌力求解還可進一步簡化。

2.2　平衡超高下的動力學方程

平—立面動力學協調時，車輛的向心加速度完全由軌道正壓力的水平分量提供。從車輛隨動參照系看，慣性離心力與重力的合力垂直于軌頂面，作用于車輛質心C。以此作為平—立面動力學約束條件設置的曲線超高稱“平衡超高”。設內軌水平高度不變，外軌超高，建立以內軌接觸點為基點的隨動參照系，車輛在曲線上的受力分析圖如圖2所示。圖中，F0為車輛(或1/2、1/4車)所受的重力與平面曲線運動產生的慣性離心力的合力，作用于車輛質心C，在滿足平—立面動力學協調關系的條件下，此力垂直于軌頂面。

圖2　平衡超高時車輛在曲線上的受力分析

根據質心運動定理和對質心的動量矩定理可列出動力學基本方程

(14)

解得

(15)

(16)

(17)

式(15)為車輛曲線運動輪軌力的精確解，式(16)和式(17)為輪軌力不同條件下的近似解，在車輛參數和速度一定的情況下，都可以通過超高h的表達式很方便地得到輪軌力。

上述2種情況下輪軌力的計算式都含有超高的二階導數，因此超高的一階導數必須連續(切線連續)。某些連續階低的曲線(譬如3次拋物線型緩和曲線)理論上連接點立面上的切線不連續，不滿足應用條件。但實際上鋼軌的剛度總是有限值，在任何載荷和支撐下立面切線總是連續的，在計算時只需根據實際情況對連接點進行適當的圓順即可。

3　應用實例

一波正弦型是部分國家高速鐵路采用的緩和曲線線型，也是上海浦東磁懸浮線路采用的線型[15]。一波正弦緩和曲線平曲線的表達式為

(18)

曲率表達式為

(19)

式中：k0為圓曲線曲率。

一波正弦緩和曲線的超高表達式為

(20)

式中：H為圓曲線實設超高。

本例取車輛運行速度v=100 m·s-1，圓曲線半徑R=7 000 m，對應的平衡超高應為209 mm，圓曲線實設超高H=175 mm。取緩和曲線長度l0=630 m，軌距S=1.435 m，車輛參數D=1.77 m，rc=0.8 m，m=13.9 t(1/4車)。依據式(13)計算得到“一波正弦曲線630 m+圓曲線630 m+一波正弦曲線630 m”組合條件下的輪軌力如圖3所示。

由圖3可見：由于車輛處于欠超高狀態，輪軌垂向力呈現內側減載，外側增載的特點，在圓曲線上輪軌垂向力增載和減載達到最大；輪軸橫向力指向曲線內側，由緩和曲線始點開始逐漸增大到圓曲線的最大值，為車輛曲線運動提供部分向心力，但增大了輪軌的磨損。

圖3　剛體模型下計算的曲線輪軌力

車軌動力學考慮車輛部件振動、輪軌接觸關系等列車運行時的動力學行為[9]。車軌動力學模型中將車輛簡化為車體、前后構架和4個輪對組成的多剛體系統。車體、構架及輪對考慮浮沉、橫移、側滾、點頭及搖頭，輪軌幾何關系采用接觸跡線確定，采用經典的Kalker 滾動接觸理論計算蠕滑力。圖4為采用車軌動力學模型計算得到的輪軌垂向力和橫向力。

由圖4可見：由于車輛機構的約束關系和輪軌接觸的作用，輪軌垂向力出現了一定程度的波動，但內外側輪軌垂向力的變化趨勢和圖3(a)一致；由于轉向架與輪對的約束關系，曲線通過時1位輪對和2位輪對的橫向力差距較大，而兩者的平均值則與圖3(b)接近。

表1列出了2種模型計算得到的輪軌力結果。由表1可以看出，兩者具有較好的一致性。因此，在工程設計中，由剛體動力學得出的式(13)可用于快速計算輪軌作用力。在平—立面動力學協調時，利用式(15)計算更為簡單。式(16)和式(17)則可對輪軌力進行快捷估算。

圖4　車軌動力學模型計算的曲線輪軌力

表1　采用2種模型計算的輪軌力結果

4　結　論

根據鐵路線路和車輛特點，將車輛運動簡化為繞縱軸的一維轉動，建立考慮垂向、橫向，側滾運動的3自由度剛體模型。利用質心運動定理和對質心的動量矩定理，建立車輛動力學基本方程組，由此推導出任意超高、任意線型條件下輪軌力計算式及近似解，研究得到以下2點結論。

(1)鐵路線路曲線地段輪軌力可由平面曲線的曲率k、外軌超高h的表達式、車輛質心到軌頂面距離rc、車輛對質心的回轉半徑D、軌距S和車輛運行速度v計算得出。

(2)結合高速鐵路曲線線路條件，采用本文理論模型對曲線內外側輪軌力變化情況進行了計算分析，內外側輪軌垂向力和輪軸橫向力變化規律與車軌動力仿真結果具有較好一致性。

本文研究提出的理論模型可方便高效地對鐵道車輛曲線運動輪軌力實現預測，為鐵路線路設計提供了一種新的方法。

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