從“拓展性欄目”到數學文化

徐瑾

摘要：新課程基本理念指出：數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分。本文通過人教版高中數學必修1中所配置的“章引言”、“閱讀與思考”、“探究與發現”、“實習作業”等學習內容蘊涵的數學文化知識，例舉高中數學課堂教學中利用課本素材，挖掘蘊藏在其中的豐富的數學文化資源，滲透數學文化教育的幾點想法。

關鍵詞：挖掘；素材；數學；文化

G633.6

新課程基本理念指出：數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分。數學文化是人類傳播思想的一種基本方式。南開大學的顧沛教授認為其內涵有狹義和廣義之分。狹義內涵是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展。廣義內涵是指除上述內涵以外，還包括數學家、數學史、數學美及數學教育、數學發展中的人文成分、數學和文化的關系。

數學作為一種文化，是教學的重要內容.有著它自己的豐厚的文化淵源。然而多少年來，在學生的心目中，數學就是為了考試而學、枯燥乏味。以往我們的數學教學都是強化知識，過分注重知識的傳遞，數學技巧的訓練，過分強調數學的工具作用，而漠視數學本身所蘊含的鮮活的文化背景，很少將其教學內容當作一種文化來對待。

隨著新課標的頒布并實施，這種狀況已有很大的改變。新課標明確指出數學是人類文化的重要組成部分，并把“體現數學的文化價值”作為新課程設計的基本理念。數學教育不僅僅是知識的傳授、能力的培養，更是一種文化精神的傳播，已逐步成為人們的一種共識。數學教學中如何滲透數學文化，使學生在數學學習的過程中體驗數學文化，受到文化感染，產生文化共鳴，從而實現數學文化的教育功能，更是引了起大家廣泛的關注。

教材是學生學習數學的一種主要的學習資源。人教版高中數學教材內含豐富的數學文化內容。本文以人教版高中數學必修1為例，就高中數學課堂教學中利用課本素材，挖掘蘊藏在其中的豐富的數學文化資源，滲透數學文化教育談幾點想法。

一、從章引言，到數學建模

數學模型是一種模擬，是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模。數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段。

必修1第一章的章頭圖表現了運載“神舟”五號載人航天飛船的火箭升空，以及“神舟”五號載人航天飛船進入預定軌道后在太空飛行的場景。告訴學生其中包含了一些可以用函數描述的變化規律，如上升過程中飛船離地面的距離隨時間的變化而變化，飛船外的溫度和氣壓隨飛船與地面的距離的變化而變化，等等。引言中又介紹現實世界中的許多運動變化現象都表現出變量間的依賴關系。數學上，我們用函數模型描述這種依賴關系，并通過研究函數的性質了解它們的變化規律。我們在講課時要再作進一步的講解，初步滲透數學建模的思想。

第二章章頭圖的主圖是海底游弋的魚，配圖是一塊魚化石。章引言不僅指出了章頭圖所蘊涵的數學模型，并且還列舉了這些數學模型的其他背景實例，章頭圖與章引言還說明了數學模型與實際問題之間的關系--任何數學模型都是以大量的具體例子為現實原型的。這樣就給出了建模的基本方法，因此，教學時要充分注意從實際例子中觀察、抽象概括并建立數學模型，同時，又要注意把數學模型應用到實際問題中去，進一步滲透數學建模的思想。

第三章章頭圖是一群兔子，給出了一個種群的數量，如果在理想狀態下，那么它們將呈指數增長；但在自然狀態下，種群數量一般符合對數增長模型。這樣，面對不同情況時，如何選擇恰當的函數模型描述它們就很重要。我們要教會學生選擇模型、應用模型，讓學生學會數學建模。

二、從閱讀與思考，到數學發展的過程及數學家的魅力

必修1中共有四個閱讀與思考，我就它們具體一一說明。

1.集合中元素的個數：在這一部分主要介紹歷史上數學的三次危機。

第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘數學家畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯學派，邊長為1的正方形的對角線不可度量。第一次數學危機的產物—數域擴充為實數。

第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。第二次數學危機的產物--微積分更完善。

第三次數學危機經過第一、二次數學危機，人們把數學基礎理論的無矛盾性，歸結為集合論的無矛盾性，集合論已成為整個現代數學的邏輯基礎，數學這座富麗堂皇的大廈就算竣工了。看來集合論似乎是不會有矛盾的，數學的嚴格性的目標快要達到了，數學家們幾乎都為這一成就自鳴得意。英國著名數理邏輯學家和哲學家羅素（1872—1970）宣布了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，并不存在什么絕對的嚴密性！史稱“羅素悖論”。 第三次數學危機的產物——數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。 這一過程中還可以介紹說謊者悖論、理發師悖論、阿基里斯追龜、飛矢不動等引起學生的興趣，讓學生了解數學發展的過程。

2.函數概念的發展歷程：這段材料主要講述了函數概念從變量說到對應說的一個簡單發展過程，讓學生閱讀后再簡單介紹材料中涉及到的數學家及成果。

主要給學生介紹萊布尼茲與微積分；李善蘭與《幾何原本》對中西方數學融合做出的貢獻；約翰·伯努利及伯努利家族的三代八位數學家；狄利克雷的抽屜原理；歐拉從19歲開始發表論文直到76歲的孜孜不倦，失明后17年里寫1400余篇論文的堅毅不拔；高斯3歲能幫爸爸算賬、10歲能快速計算出1+2+3+…+100的結果的機智，19歲能給出正十七邊形的尺規作圖方法的才智，一生對數學的執著。通過這些讓學生感受數學和數學家的魅力。

3.對數的發明：這段材料主要介紹對數的發明，給學生再講述一些納皮爾的故事如：納皮爾鄰家養的鴿子吃了他的糧食，他感到煩惱。他恫嚇鄰居道：“如果你再不管好你的鴿子，讓它們亂飛，我就要把它們抓起來了。”鄰居根本不相信納皮爾能捉住鴿子，就對他說：“如果你能捉住它們，盡管捉好了。”第二天，鄰居看到他的鴿子正在納皮爾的草坪上搖搖晃晃地走著，而納皮爾把它們一只只裝進大口袋，感到十分驚訝。原來，納皮爾在草坪上撒上了用白蘭地酒泡過的豌豆，醉倒了鴿子。還有一個故事，納皮爾懷疑他的仆人暗地里偷他的東西，為了找出小偷，納皮爾宣稱自己的黑公雞有識別罪犯的特異功能。隨后，他要求仆人按順序進小黑屋輕拍黑公雞的背，當然他已私下將黑公雞涂了一層煙灰。等所有的仆人出門后攤開雙手的那一刻，小偷自然原形畢露，因為只有他的手是干凈的——不知情的小偷害怕自己的劣跡被發現而不敢觸摸那只神奇的“黑公雞”。 讓學生再一次感受數學家的幽默與魅力。

4.中外歷史上的方程求解：在這主要介紹我國古代數學家的成就。

約公元50年—100年編成的《九章算術》，就以算法形式給出了求一次方程、二次方程和正系數三次方程根的具體方法；公元7世紀，隋唐數學家王孝通找出了求三次方程正根的數值解法；公元11世紀，北宋數學家賈憲在《黃帝九章算法細草》中提出的“開方作法本源圖”，以“立成釋鎖法”來解三次或三次以上的高次方程式。同時，他還提出了一種更簡便的“增乘開方法”；公元13世紀，南宋數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“正負開方術”，提供了一種用算籌布列解任意數字方程的有效算法，此法可以求出任意次代數方程的正根。再介紹一些中國古代數學的成績，讓學生感受中國古代數學的魅力，并產生強烈的愛國主義情懷。

三、從探究與發現，到思維過程的展示

必修1的探究與發現是互為反函數的兩個函數圖象之間的關系，教材以問題串的形式由學生熟悉的兩個函數 和 出發，運用所學的數學知識發現這兩個函數圖象的對稱關系，然后推廣到同底的指數函數和對數函數的圖象的對稱關系。

問題1 在同一平面直角坐標系中，畫出指數函數 及其反函數 的圖象。你能發現這兩個函數圖象有什么對稱關系嗎？

問題2 取 圖象上的幾個點，如 ， ， ， 關于直線 的對稱點的坐標是什么？它們在 的圖象上嗎？為什么？

問題3 如果點 在函數 的圖象上，那么 關于直線 的對稱點在 的圖象上嗎？為什么？

問題4 由上述探究過程可以得到什么結論？

問題5 上述結論對于指數函數 且 及其反函數 且 也成立嗎？為什么？

這樣將思維過程展示出來，讓學生親自體驗發現奧秘的快樂。

四、從實習作業，到體驗數學的應用價值

必修1有兩個實習作業，一個是以了解函數形成、發展的歷史為目的的實習報告，這個作業可以作為十一長假的寫作業，讓學生自己查找資料，在前面介紹了函數發展的背景下再查一查函數在現實生活中的應用，可以在網上閱讀權平健一郎的《函數在你身邊》，這樣既讓學生看到了數學的應用價值又使得抽象的函數具體化、生動化。另一個是牛頓的冷卻模型，指導學生設計一個方案，對牛的的冷卻模型進行驗證。然后在探究以下問題：

1.一杯開水的溫度降到室溫大約需要多少時間？

2.應在炒菜之前多長時間將冰箱里的肉拿出來解凍？

3.在寒冷的冬季，是冷水管容易結冰，還是熱水管容易結冰？

讓學生進一步感知函數就在身邊，數學無處不在，體驗數學的應用價值。

數學的文化特征不僅僅在于它的歷史性和美學價值，凝聚在數學之中的數學思想方法及在應用方面的廣泛性，它還包括用數學思維和思考問題的方式和方法。隨著課程改革的深入，數學文化將會真正滲透到教材、進入課堂、溶入教學之中，成為數學教學中的重要組成部分。我們在平時的數學課堂教學中在承認和弘揚數學工具價值的同時，更應該看到它的文化價值。要充分挖掘教材中所蘊藏的數學文化的素材，讓學生接受它的熏陶。通過滲透數學文化的教育，使學生感受數學文化的魅力，使學生的人格品性的得到教育，使學生的數學素養真正得到提高。

參考文獻：

[1]《數學美拾趣》 科學出版社

[2]《情境課程的操作與案例》 教育科學出版社

[3]《數學文化》 人民教育出版社

[4]《數學思維方法》 人民教育出版社

[5]《中學數學名師教學藝術》 華東師范大學出版社