交通流分形特性研究

[摘要]Hurst指數(shù)作為分形理論中一個(gè)重要的參數(shù)，可以用來(lái)判別時(shí)間序列的基本規(guī)則（反持續(xù)性、隨機(jī)性和持續(xù)性）。針對(duì)目前交通流預(yù)測(cè)工作主要集中在模型的構(gòu)建上，而較少關(guān)注交通流時(shí)間序列是否為隨機(jī)的序列這一現(xiàn)狀，本文利用分形理論中的PJS分析方法進(jìn)行論證。驗(yàn)證結(jié)果這表明交通流的Hurst指數(shù)不具備通用性，會(huì)因地而異。

[關(guān)鍵詞]交通流；時(shí)間序列；分形；P/S分析；Hurst指數(shù)

1、分形簡(jiǎn)介

分形的三個(gè)主要特征為：自相似性、標(biāo)度不變性和分形維數(shù)。自相似性：從不同的時(shí)間或者空間尺度上觀(guān)察，特定的結(jié)構(gòu)或者過(guò)程的整體和局部在統(tǒng)計(jì)意義上具有相似的特性；標(biāo)度不變性；標(biāo)度不變性又可以叫做伸縮不變性，指的是分形上任意一個(gè)部分通過(guò)放大或者縮小，得到的觀(guān)察結(jié)果的復(fù)雜性和不規(guī)則性和縮放之前的一樣；分形維數(shù)：維數(shù)是幾何學(xué)的一個(gè)基本概念，如一維的線(xiàn)、二維的平面、三維的空間等。

2、R/S分析與Hurst指數(shù)

P/S分析又常常被稱(chēng)為重標(biāo)度分析，它是由歐洲學(xué)者Hurst在上世紀(jì)五十年代研究北非尼羅河水位變化時(shí)候提出的一種時(shí)間序列分析方法。此后，法國(guó)科學(xué)家Mandelbrot通過(guò)大量研究，又對(duì)它進(jìn)行了理論上的修改和完善。R/S分析法在研究時(shí)間序列的周期或者非周期特性具有很重要的意義，能夠很好的刻畫(huà)時(shí)間序列的有偏隨機(jī)游走。通過(guò)R/S分析結(jié)論可以求出Hurst指數(shù)，而Hurst指數(shù)又可以直觀(guān)的反映出時(shí)間序列的變化趨勢(shì)和分形維數(shù)。Hurst指數(shù)在（0，1）范圍內(nèi)也可以劃分為三種狀態(tài)：

①H=0.5：表示時(shí)間序列滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)完全隨機(jī)的過(guò)程，未來(lái)時(shí)間序列的值和過(guò)去的值之間不存在相關(guān)關(guān)系；

②H>0.5：表示時(shí)間序列為持久性的分形布朗運(yùn)動(dòng)，時(shí)間序列具有長(zhǎng)程相關(guān)性，假如時(shí)間序列在過(guò)去有一個(gè)增加的趨勢(shì)，那么未來(lái)時(shí)刻也具備統(tǒng)計(jì)意義上的增加可能性；

③H<0.5：表示時(shí)間序列為反持久性的分形布朗運(yùn)動(dòng)，假如時(shí)間序列在過(guò)去有一個(gè)增加的趨勢(shì)，那么未來(lái)時(shí)刻具備統(tǒng)計(jì)意義上的減小可能性，即返回歷史點(diǎn)。

3、時(shí)間序列趨勢(shì)項(xiàng)對(duì)Hurst指數(shù)的影響

Hurst指數(shù)是一種非參數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，它是在短期內(nèi)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)相互獨(dú)立（或者說(shuō)短期內(nèi)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)沒(méi)有相關(guān)性）這一假設(shè)的前提下成立。因而在實(shí)際應(yīng)用中，往往會(huì)先消除時(shí)間序列的短期相關(guān)性，然后對(duì)殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)[2，3]。

為了檢驗(yàn)時(shí)間序列短期相關(guān)性對(duì)Hurst指數(shù)的影響，選用一個(gè)線(xiàn)性時(shí)間序列和隨機(jī)時(shí)間序列進(jìn)行分析。假設(shè)線(xiàn)性時(shí)間序列為

隨機(jī)時(shí)間序列為

y（t）=αt（1）

y（t）=βrand（t）（2）

帶有隨機(jī)波動(dòng)的線(xiàn)性時(shí)間序列

y（t）=αt+βrand（3）

式中：t為時(shí)間；y（t）為時(shí)間序列值；rand為0和1之間的隨機(jī)數(shù)；α和β為比例參數(shù)，可取任意實(shí)數(shù)。

由于式（1）為一個(gè)完全確定的線(xiàn)性時(shí)間序列，因而其Hurst指數(shù)理論值應(yīng)為1，而實(shí)際計(jì)算值也為1；而式（2）為一個(gè)完全不確定的隨機(jī)時(shí)間序列，因而其Hurst指數(shù)理論值應(yīng)為0.5，而實(shí)際的計(jì)算值也約等于0.5。為了分析時(shí)間序列的趨勢(shì)項(xiàng)對(duì)Hurst指數(shù)的影響，將式（3）中的比例參數(shù)β從1到5000這一區(qū)間內(nèi)變化，而α的取值為0.1，并計(jì)算式（3）、式（2）和式（1）在時(shí)間區(qū)間0至500所對(duì)應(yīng)的Hurst指數(shù)。從圖形直接觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，隨著比例參數(shù)β逐漸增大，式（3）的線(xiàn)性趨勢(shì)變得越來(lái)越不明顯，當(dāng)β增加到一定程度后，線(xiàn)性趨勢(shì)完全被隨機(jī)趨勢(shì)所掩蓋。當(dāng)隨機(jī)項(xiàng)波動(dòng)幅度非常大的時(shí)候，隨機(jī)項(xiàng)和線(xiàn)性項(xiàng)相互疊加的實(shí)際序列表現(xiàn)出了很強(qiáng)的隨機(jī)性，Hurst指數(shù)也趨向于0.5，表示此時(shí)的時(shí)間序列服從隨機(jī)游走狀態(tài)；當(dāng)隨機(jī)波動(dòng)幅度較小的時(shí)候，隨機(jī)項(xiàng)和線(xiàn)性項(xiàng)相互疊加的實(shí)際序列的線(xiàn)性趨勢(shì)加強(qiáng)，而Hurst指數(shù)也會(huì)逐漸趨向于1，表示此時(shí)的時(shí)間序列具備很強(qiáng)的趨勢(shì)性，是可以預(yù)測(cè)的。

對(duì)于交通流時(shí)間序列，可以認(rèn)為它是由一個(gè)高頻的隨機(jī)項(xiàng)和低頻的趨勢(shì)項(xiàng)疊加而成，且低頻的趨勢(shì)項(xiàng)具備很好的延展和復(fù)制性。選取時(shí)間間隔為5min，持續(xù)天數(shù)為一個(gè)月的交通流時(shí)間序列，不對(duì)其做任何處理，并求出其相應(yīng)的Hurst指數(shù)。發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ln（T）小于6時(shí)，ln（T）ln（R/S）曲線(xiàn)具有非常好的線(xiàn)性關(guān)系，而此段曲線(xiàn)的斜率約為1，這表明交通流時(shí)間序列是完全可以預(yù)測(cè)的。實(shí)際中，交通流時(shí)間序列的復(fù)雜程度非常高，很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，而Hurst指數(shù)之所以很高是因?yàn)榻煌鞯亩唐谮厔?shì)項(xiàng)較為顯著。為了準(zhǔn)確分析交通流的分形特性，有必要先消除交通流時(shí)間序列的宏觀(guān)趨勢(shì)。

為了消除短期的自相關(guān)性，可以采用短期的自回歸模型（AR），但是這種方法效果并不明顯。因此，在實(shí)際應(yīng)用之中，應(yīng)先對(duì)原始序列數(shù)據(jù)的短期趨勢(shì)進(jìn)行消除，一般可以使用取對(duì)數(shù)比的方法，具體操作為

（4）

式中：ξ（i）為消除短期趨勢(shì)的時(shí)間序列；為原始的時(shí)間序列。對(duì)于交通流時(shí)間序列，當(dāng)數(shù)據(jù)的采集間隔足夠小的時(shí)候（小于1min），會(huì)出現(xiàn)流量數(shù)據(jù)為零的情況，因此式（4）計(jì)算出來(lái)的新序列值會(huì)出錯(cuò)。因此，本研究采用差值法消除短期趨勢(shì)，計(jì)算公式為

（5）

利用公式（5）對(duì)原始交通流時(shí)間序列進(jìn)行短期自相關(guān)趨勢(shì)消除，并對(duì)消除短期自相關(guān)趨勢(shì)后的時(shí)間序列求Hurst指數(shù)，發(fā)現(xiàn)ln（T）在小于6時(shí)Hurst指數(shù)約等于0.5，這表示交通流量時(shí)間序列是符合隨機(jī)游走的（如圖3所示）。

4、交通流置HMrst指數(shù)分析

交通流的高度復(fù)雜性不僅體現(xiàn)在其內(nèi)在規(guī)律的高度復(fù)雜性，還表現(xiàn)在交通流易受外界事物干擾，會(huì)因時(shí)因地而有所差異。因此，有必要對(duì)影響因素進(jìn)行分析。

4.1時(shí)間間隔對(duì)Hurst指數(shù)的影響

以美國(guó)PeMS系統(tǒng)中的交通流檢測(cè)數(shù)據(jù)為例，選用檢測(cè)點(diǎn)1111572的交通流數(shù)據(jù)（2012-1-6至2012-1-16日），最初的原始數(shù)據(jù)是以30秒為統(tǒng)計(jì)間隔。將原始數(shù)據(jù)以30秒為單位進(jìn)行融合，得到時(shí)間間隔依次增加的統(tǒng)計(jì)序列，并對(duì)新的統(tǒng)計(jì)序列求Hurst指數(shù)。

整體而言，Hurst指數(shù)會(huì)隨著時(shí)間間隔的增大而增大，且在以5min為統(tǒng)計(jì)時(shí)間間隔的時(shí)間序列的Hurst指數(shù)值接近0.5；當(dāng)統(tǒng)計(jì)間隔小于5min時(shí)，Hurst指數(shù)值要小于0.5；當(dāng)統(tǒng)計(jì)間隔大于5min時(shí)，Hurst指數(shù)值要大于0.5。計(jì)算數(shù)據(jù)表明，交通流時(shí)間序列是以5min為臨界值，統(tǒng)計(jì)間隔小于5min的數(shù)據(jù)具有反持久性，大于5min的數(shù)據(jù)具有持久性，而以5min為統(tǒng)計(jì)間隔的時(shí)間序列隨機(jī)性最強(qiáng)。此外，移動(dòng)Hurst指數(shù)也表現(xiàn)出了相同的特性，30s統(tǒng)計(jì)間隔時(shí)間序列數(shù)據(jù)的移動(dòng)Hurst指數(shù)要小于0.5，10min統(tǒng)計(jì)間隔時(shí)間序列數(shù)據(jù)的移動(dòng)Hurst指數(shù)要大于0.5。

4.2不同地段的Hurst指數(shù)比較

以北京二環(huán)快速路2min統(tǒng)計(jì)間隔數(shù)據(jù)和美國(guó)PeMS系統(tǒng)的2min統(tǒng)計(jì)間隔數(shù)據(jù)為例，做出各個(gè)時(shí)間序列的雙對(duì)數(shù)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖（圖5和圖6），其中數(shù)據(jù)散點(diǎn)的擬合斜率即為Hurst指數(shù)。通過(guò)擬合發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)地點(diǎn)的Hurst指數(shù)大致相等且約等于0.43。美國(guó)US101高速公路5min統(tǒng)計(jì)間隔流量時(shí)間序列的雙對(duì)數(shù)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖對(duì)應(yīng)的Hurst指數(shù)達(dá)到了約0.8，表現(xiàn)出非常強(qiáng)的正相關(guān)特性。而圖2中，2min統(tǒng)計(jì)間隔的Hurst指數(shù)約為0.35，5min統(tǒng)計(jì)間隔的Hurst指數(shù)約為0.5。這表明交通流的Hurst指數(shù)不具備通用性，會(huì)因地而異。

結(jié)論：

本文簡(jiǎn)單介紹了分形基本理論，并闡述了Hurst指數(shù)的計(jì)算過(guò)程，發(fā)現(xiàn)在交通流時(shí)間序列Hurst指數(shù)計(jì)算的過(guò)程中必須消除時(shí)間序列的短期自相關(guān)性。以不同的采樣間隔為基礎(chǔ)，分別計(jì)算相對(duì)應(yīng)的移動(dòng)Hurst指數(shù)，發(fā)現(xiàn)交通流具有相對(duì)復(fù)雜的分形特性：Hurst指數(shù)會(huì)隨著采樣間隔時(shí)間的增加而增加，且涵蓋了反持續(xù)、隨機(jī)和持續(xù)三個(gè)狀態(tài)；Hurst指數(shù)會(huì)因地而異，在不同的地點(diǎn)，相同采樣間隔下的Hurst指數(shù)值是有顯著差異的。這一發(fā)現(xiàn)為交通流預(yù)測(cè)提供了一種新的思路，在進(jìn)行預(yù)測(cè)前，有必要先了解交通流時(shí)間序列的分形特性，并通過(guò)Hurst指數(shù)值來(lái)判斷交通流時(shí)間序列是滿(mǎn)足反持續(xù)波動(dòng)、隨機(jī)波動(dòng)或者是持續(xù)波動(dòng)的。