經歷過程——數學教學的應然狀態

曹志園

【摘要】學生是學習的主體，教學要基于學生認知的邏輯起點和現實起點，讓“教”始終圍繞“學”來開展。注重問題引領、挖掘數學因子、探尋知識內核，突出實踐運用，充分經歷“探索化”“自主化”“本質化”“結構化”的過程應成為數學教學的應然狀態，讓學生真正經歷知識的形成過程，促進認知結構的發展。

【關鍵詞】數學教學經歷過程 探索化 自主化 本質化 結構化

建構主義認為，兒童是在與周圍環境互相作用的過程中，逐步建構起關于外部世界的知識，從而使自身認知結構得到發展。美國心理學家羅杰斯指出：教學不是用于從外部控制人的行為，而應該用于創造各種能促進人的獨立自主和自由學習的條件。由此可見，學生應該是學習的主體，教師、教材、環境等都是客體，也就是為學生的學而服務，是學生主動學習的外部支撐條件。教學要基于學生認知的邏輯起點和現實起點，讓學生充分經歷數學的學習過程，真正經歷知識的形成過程，促進認知結構的發展。

一、注重問題引領——充分經歷“探索化”過程

問題是數學的心臟。任務驅動下的問題解決，是培養學生數學思維品質、提升數學素養的基本途徑。課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生的體驗與理解、思考與探索。教學中，問題的提出要處于學生的最近發展區內，有效引領學生的學習活動，引發學生的思考與探索，使其充分經歷數學的學習過程。

如，“加法交換律”是數學計算的法則之一，是小學階段系統學習運算律的起始。然而，學生的現實認知起點告訴我們，因為自身的生活經驗和低年級“數的分成”的學習，學生對加法交換律已有了較為直觀和零散的認識，如，“5可以分成2和3，5也可以分成3和2”。課堂教學主要是通過抽象概括，逐步建立a+b=b+a的數學模型，使學生對運算律的認識由感性逐步發展到理性。蘇霍姆林斯基曾說過：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己成為一個發現者、研究者、探索者。在進行“加法交換律”教學之后，學生在內心深入會自然發問“有無減法交換律”“乘法交換律”“除法交換律”呢？此時，可以引出“除加法外，減法、乘法和除法這幾種運算是否也具有交換律”的問題。課堂上留給學生充分的時間與空間，在合作交流的過程中進行大膽猜想、舉例驗證、歸納概括……學生體驗發現知識的過程比記住知識的結論更有意義，它能喚起學生探索與創造的愿望，教會學生怎樣學習。上述問題的提出，有效地調動了學生學習的主觀能動性，讓學生親身經歷數學的探索過程，體驗著“再發現”“再創造”的樂趣。

二、挖掘數學因子——充分經歷“自主化”過程

在數學學習的過程中，學生一般要經歷動作性表征、映像性表征、符號性表征三個階段。對同一數學知識進行多元表征，能促進學生對數學知識的理解。數學故事形象生動有趣，運用得當，是良好的教學素材。教學中適當地穿插適切的數學故事，能有效地激發學生學習數學的興趣，有助于通過故事中的事例形象地理解數學學習內容，讓學生自主經歷學習過程，優化學習效果。

如“搭配的規律”教學，課堂結束之時，教師們會經常講述“田忌賽馬”的故事，讓學生感受到不同的搭配方法帶來的不同結果。但故事往往只停留在教師“講”，學生“聽”的層面，雖具“文化味”但欠“數學味”，未能充分挖掘其中的“數學因子”。可以嘗試把故事進行數學化處理，使學生自主尋找解決問題的途徑與辦法。教師出示：齊威王和田忌分別有上、中、下三種馬，田忌的上等馬不如齊威王的上等馬，但比齊威王的中等馬跑得快一些，田忌的中等馬也不如齊威王的中等馬，但比齊威王的下等馬跑得快一些，田忌的下等馬不如齊威王的下等馬。你能用數學的語言簡潔地表示出這六匹馬之間的速度關系嗎？在比賽時，一共有多少種搭配的方法？比賽采取三局兩勝制，你能選擇合適的搭配方法，讓處于劣勢的田忌戰勝齊威王嗎？引導學生用A1、A2.A3、B1、B2.B3等符號分別表示齊威王和田忌的不同馬匹，用A1>B1>A2、A2>B2>A3、A3>B3等數學式子表示馬匹之間的速度關系，接著進行多種搭配組合，分析推理出田忌取勝的方法。歷史故事呈現方式的改變，充分挖掘了田忌賽馬故事中的數學因子，引導學生用數學符號有效地表征了故事中的關鍵條件，實現了從映像性表征到符號性表征的轉化，讓學生自主學習而非被動接受，體驗到故事中蘊含的數學意蘊。

三、探尋知識內核——充分經歷“本質化”過程

著名數學教育家弗賴登塔爾有過這樣的論述：沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來。一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成了冰冷的美麗。教學中，除對數學結論的關注外，還應挖掘其背后蘊藏的數學實質，讓學生進行“火熱地思考”，充分經歷數學學習“本質化”過程。

如“3的倍數的特征”教學通常止步于對自然數或計數器上表示的數進行觀察，得出“一個數各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數”這一結論。而特級教師周衛東的教學或能給我們帶來啟示。“用一大捆100根、2捆10根的小棒和3根小棒表示123。先用100根小棒除以3，余1根小棒；再用一捆10根小棒除以3也余1根小棒，2捆就是2個十，除以3余2根小棒；再加剩下的3根小棒，一共是1+2+3=6根小棒。這里的1指的是100除以3后余下的1，2指的是20除以3后余下的2，3指的是個位的3。”這樣的教學引導，直抵數學內核——如果各個數位上的數除以3之后的余數相加之和是3的倍數，那么原來的數也就是3的倍數。

四、突出實踐運用——充分經歷“結構化”過程

結構是關系的組合，結構具有整體性。而認知結構是個體在感知和理解客觀現實的基礎上，在頭腦里形成的一種心理結構。現代認知心理學派認為，學習是認知結構的組織與重新組織。他們既強調已有認知結構和經驗的作用，也強調學習材料本身內在的邏輯結構。為更好地促進學生科學認知結構的形成，需要對數學知識進行適時地統整，并突出實踐運用的價值。

如教學“找規律——間隔問題”對幾種不同情況的整理辨析時，通常將一一間隔排列的兩種物體個數關系讓學生進行語言表征。這種方式能凸顯出學生對某一種情況的理解，但對不同情況之間的關系未能做出較為深入的比較，也未能凸顯出數學的應用價值。更有甚者，學生將幾種不同情況進行機械記憶，使認知結構的科學建構受到阻礙。可以嘗試進行知識統整形式的改變，突出實踐運用，讓學生充分經歷“結構化”過程。出示：在一個盒子里放入了一一間隔排列的紅、黃兩種棋子，已知紅棋子有5枚，黃棋子有多少枚？在這樣開放的練習中，學生會自覺地將兩種物體一一間隔排列的幾種不同的情況加以聯系辨析。當紅、黃兩種棋子圍成一圈時，兩種棋子的個數相等；當兩種棋子排成一排，兩端都是紅棋子時，黃棋子就有4枚；兩端都是黃棋子時，黃棋子就有6枚；一端是黃棋子另一端是紅棋子時，黃棋子也是5枚。這樣的知識梳理，發散了學生的思維，不但起到了練習鞏固的作用，還讓學生經歷了數學知識結構化的過程，形成科學的認知結構。

數學學習是一個動態的過程，“教”應始終圍繞“學”來開展，使學生充分經歷學習過程，由被動接受的客體變成積極主動的主體，當為數學教學的應然狀態，以最大限度地激發學生的內在潛力與學習動力，使教學過程真正成為學生自主活動和自我建構的過程。