基于學生經驗促進自主建構和自覺生成

徐曉蓉+施俊進

[摘 要] 數學教學中，在學生已有的知識經驗和教材原有知識結構的基礎上，應盡力讓學生充分經歷實踐、體驗、內化、表達的過程. 在這樣的過程中，師生互動，生生互動，深度交流，引導學生自主建構，自我完善“用方程表示實際問題中的數量關系”的方法和能力，甚至直達數學本質的自覺生成，從而優化學生的思維品質.

[關鍵詞] 生生互動；自主建構；自我完善；自覺生成；思維品質

《義務教育數學課程標準》（2011版）指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上. 有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式. 2016年10月14日，在首屆全國基礎教育國家級成果一等獎《初中數學“自學·議論·引導”教學法》研修與推廣中心成立暨第一期推廣活動中，筆者聆聽了施俊進老師執教的“從算式到方程（一）”（人教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊）一課. 施老師在認真分析了學生已有的知識經驗和教材原有知識結構的基礎上，以發展的觀點，以學定教，引導學生直達數學本質的自主建構、自我完善、自覺生成，力圖體現“自學·議論·引導”教學法的基本理念和價值追求. 現將教學設計、課堂生成，以及反思啟示整理成文，與各位同行交流.

教學過程簡錄

（一）通過引例研究，初步認識從算式到方程是數學的進步

1. 引例研究

引例 快、慢兩車同時從A地出發沿同一公路同方向行駛，快車的行駛速度是70 km/h，慢車的行駛速度是60 km/h，快車比慢車早1 h到B地. A，B兩地間的路程是多少？

（1）引導學生認真讀題，分析題意，說出問題中已知什么，求什么，它們之間有怎樣的關系.

（2）引導學生列出算式進行求解.

（3）引導學生用方程來求解.

師：還有什么方法可用于求解？

（部分）生：用方程.

師：什么叫方程？

生1：含有未知數的等式叫方程.

師：方程含有未知數，那么本題怎么設未知數？方程還是一個等式，等式表示一個相等的關系，那么本題中的相等關系是什么？

生2：我設慢車走完全程所花的時間為x小時，則快車走完全程所花的時間為（x-1）小時. 相等關系是“慢車走的路程=快車走的路程”，由此得到方程60x=70（x-1）.

師：如果求得x的值，問題能得以解決了嗎？

生（齊）：不能，還要進一步求A，B兩地之間的路程.

師：還有什么方法？

生3：我設A，B兩地之間的路程為x km，由相等關系“慢車走完全程所花的時間-快車走完全程所花的時間=1”，

師：剛才我們用兩種方法列出了方程，那么用方程表示實際問題中的數量關系的一般步驟（或方法）是什么？列方程的關鍵是什么？

生4：列方程的步驟是設未知數、找相等關系、列方程. 最關鍵的是找相等關系.

師：根據問題中的數量關系，我們分別列出算式和方程來求解，請大家比較一下，算式和方程各有什么特點？

生5：方程是一個等式，等號兩邊分別是一個整式，而算式是一個整式.

生6：列算式時只能用已知數，是逆向思考；而列方程時是順著思考，既含有已知數，又含有未知數. 我覺得列方程比較簡便，也容易想到.

師：思路清晰，表達清楚！大家既能從思維上比較它們的不同點，還能從形式上比較它們的不同點. 列方程和列算式都是依據問題中的數量關系，算式表示用算術方法進行計算的程序（或者是運算順序），它只含有已知數；而方程中既含有已知數，又含有未知數，打破了列算式時只能用已知數的限制，這為我們解決許多問題帶來了方便. 一般來說，列方程比列算式有更多的優越性. 通過以后的學習，我們將會逐步認識到方程是刻畫現實世界的一種有效數學模型，從算式到方程是數學的進步，這就是我們今天要研究的課題——從算式到方程.

點評 引導學生分別用算式、方程表示問題中的數量關系并作比較，突出了方程的根本特征，使學生認識到從算式到方程使我們有了更加有力、更加方便的數學工具，進而認識到從算術方法到代數方法是一個進步，從而調動了學生學習“用方程表示問題中的數量關系”的積極性.

2. “方程”史話

中國人對方程的研究有著悠久的歷史. 兩千年前，《九章算術》中有專門研究“方程”的一章，記載了用一組方程解決實際問題的方法. 這不但是我國古代數學的偉大成就，而且是世界數學史上一份非常寶貴的遺產. 法國數學家笛卡爾最早用x，y，z等字母表示未知數，方程才逐漸演變成現在的表達形式.

點評 了解方程的發展文化，能直接感受到中華民族的文化成就，產生民族自豪感，更重要的是，激發了學生學習方程、學好方程的情感.

（二）通過例題研究，初步掌握用方程表示實際問題中的數量關系的方法

例1 根據下列問題，設未知數并列出方程.

（1）一臺計算機已使用1700 h，預計每月再使用150 h，經過多少月這臺計算機的使用時間達到規定的檢修時間2450 h？

方式：學生代表讀題，同時學生審題、思考，并說出問題中的“已知”“求”“相等關系”分別是什么，接著獨立思考設未知數列方程，然后展示交流. 最后，教師投影解題過程.

（2）某校女生占全體學生人數的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？

師：請大家自己讀題、審題，思考并說出問題中的“已知”“求”和“相等關系”分別是什么.

生1：已知女生占全體學生人數的百分比，女生比男生多的人數；求學校總人數；相等關系是“女生人數-男生人數=80”.

師：還有什么要補充的嗎？

生2：相等關系還有“女生人數=學校總人數×52%”.

師：下面請同學們先獨立設未知數、列方程，然后小組交流（交流的內容為你是怎么思考的？還有什么方法），比一比哪個小組思路最清晰、方法最多.

（獨立思考2分鐘、小組交流3分鐘）

生3：我們小組有三種方法，分別為設這個學校的學生共有x人，則女生有52%x人，男生有（1-52%）x人，根據相等關系“女生人數比男生人數多80人”得52%x-（1-52%）x=80或（1-52%）x+80=52%x；第三種方法是設男生有x人，但方程還沒列好.

師：設這個學校的學生共有x人，列出的方程怎么會有兩個？

生4：一樣的.

師：兩個方程形式不同，但是依據的相等關系一樣，它們之間可以相互轉化. 若設男生有x人，則根據哪個相等關系可列出怎樣的方程？

生5：如果設男生有x人，那么女生有（x+80）人，根據相等關系“女生人數=學校總人數×52%”得x+80=52%（x+x+80）.

師：還有不同的方法或思路嗎？

生6：我也設這個學校的學生共有x人，根據“男生人數=男生人數”來列方程. （眾生笑）

生6：因為這個學校的學生共有x人，由“女生人數=學校總人數×52%”可以知道女生有52%x和男生人數=學校總人數×48%，那么男生人數有48%x人，又根據相等關系“女生人數比男生人數多80人”知道男生人數為（52%x-80）. 這樣，48%x和（52%x-80）都表示男生人數，從而可得方程48%x=52%x-80.

師：非常好！生6同時根據兩個相等關系，分別用不同的式子表示相同的量，即男生的人數，從而列出方程，為我們列方程提供了一個新的思路.

在這個問題的解決中，我們可以發現：如果求什么設什么，那是直接設元，可以直接求出問題的結果；但是間接設元則不能直接求出問題的結果，需要進一步計算.

（3）甲種鉛筆每支0.3 元，乙種鉛筆每支0.6 元，用9元錢買了兩種鉛筆共20支，兩種鉛筆各買了多少支？

方式：師生共同分析，學生形成兩種思路.

思路一：設甲種鉛筆買了x支，則乙種鉛筆買了（20-x）支，根據相等關系“甲種鉛筆用的錢數+乙種鉛筆用的錢數=9”可列出方程0.3x+0.6（20-x）=9.

思路二：設甲種鉛筆用的錢數為x元，則乙種鉛筆用的錢數為（9-x）元，根據相等關系“甲種鉛筆的支數+乙種鉛筆的支數=20”

追問：問題（2）和問題（3）都有兩個相等關系，應如何處理？

教師強調：當問題中出現兩個相等關系時，可以用其中一個相等關系表示兩個未知數，再根據另外一個相等關系列方程；列方程的關鍵是找相等關系.

點評 設置這樣三個由淺入深的例題，讓學生自主找相等關系、設未知數、列方程，這樣符合學生的認知規律，分散了列方程這一教學難點，化整為零地培養學生的建模能力. 同時為學生自主建構一元一次方程及其相關概念作準備. 整個過程中，交替靈活地使用“個人學習、小組學習、全班學習”三結合的形式，讓學生充分經歷實踐（思維或操作）、體驗（發現、歸納、論證、概括）、內化（掌握了什么？為什么？）、表達（說出來，用起來）的過程. 在這個過程中，師生互動，生生互動，深度交流，達到知識、技能、方法、經驗、能力、情感、態度以及價值觀的自主建構、自覺生成. 注重了學生讀題審題能力及分析問題、解決問題能力的培養；鼓勵學生用不同方法體驗解決問題策略的多樣性，優化了學生的發散性思維品質. 引導學生自覺地先找相等關系，再列方程，讓學生明確找相等關系是列方程的關鍵，滲透數學建模思想，讓學生從現實表述到符號表述的情境中深刻理解方程的意義，培養學生的創造性和發散性思維.

（三）在列方程的基礎上，自主建立一元一次方程及其相關概念

師：觀察以上列出的方程，它們有什么共同的特征？

生1：只含有一個未知數；未知數的次數都是1.

生2：等號兩邊都是整式.

師：我國古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知數，因此我們把同時具備以上三個特征的方程叫做一元一次方程. 你能用自己的語言說說什么叫一元一次方程嗎？

生3：只含有一個未知數，未知數的次數是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程.

生6：使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解.

師：求出方程的解的過程叫解方程. 一般地，要檢驗某個值是不是方程的解，怎么辦？

生7：用這個值代替方程中的未知數，看方程左右兩邊的值是否相等. 如果相等，那么這個值是方程的解；如果不相等，那么這個值不是方程的解.

師：那么如何把方程 有根有據地化為x=420的形式呢？這是我們下一節課要研究的內容——方程的解法.

點評 通過具體問題，引導學生自主建構相關概念，是學生原有基礎上的自然提高，符合學生從特殊到一般、具體到抽象的認識過程；同時有利于歸納、概括能力的提高.

（四）師生共同總結

引導學生圍繞以下問題進行思考、交流：

（1）怎么認識“從算式到方程”是數學的進步？

（2）如何用方程表示實際問題中的數量關系？

（3）通過今天的學習，你覺得最大的收獲是什么？還有什么疑問或想法？

師：用方程表示實際問題中的數量關系，為我們解決問題提供了更多的方法和途徑；從算式到方程使我們有了更有力、更加方便的數學工具，從算術方法到代數方法是數學的進步，如果學會了正確地解方程，那么解決問題的能力就更強了.

點評 “問題化”引領學生自主總結，有利于發揮學生的主體作用，有利于學生歸納、整理和表達能力的提高，有利于增強學生自主反思學習過程的意識和能力. 通過學生的自主反思，使得學生自主建構自己的經驗世界和認知結構，自覺地達到知識、方法、技能、情感、態度和價值觀的生成.

（五）課后作業

必做題：書P83～84的5～9；選做題：書P84的10、11.

附板書設計： 如圖1.

點評 根據學生已有“列算式和方程”解決實際問題的經驗構建本課的知識框圖，有利于整體把握有關知識和方法，有利于能力的提高和素質的發展. 同時，以知識結構框圖的形式展現給學生，新穎、系統、醒目，且突出了知識的生成過程和包含關系，學生看了一目了然，便于整體理解和記憶.

反思和啟示

1. 鼓勵解法多樣化，強化“數學建模思想”

學生在小學階段已學習了用簡易方程解決實際問題，學生已經對方程有了初步的認識，積累了一些用方程表示簡單情境中的數量關系的經驗（但根據相等關系列方程的意識不夠強烈）. 即學生在學習之前，習慣于算術方法解決實際問題以及模糊的方程意識. 為強化“數學建模思想”，在教學過程中，對每個實際問題，都提出相同的問題：“本題的相等關系是什么或它們之間有什么關系？”看似“牽著學生走”，實質是突出教學重點、分散教學難點. “用方程表示實際問題中的數量關系，體會建立數學模型思想”，對后繼內容的學習具有重要的基礎作用. 為強化“先找問題中的相等關系，再設未知數，利用相等關系列出方程”的意識和能力，應鼓勵學生用不同的方法解決各個問題. 在這樣的過程中，通過對話、追問、啟發、思辨等，能自主思考、表達、操作、發現并修正自身的不足乃至錯誤. 民主、開放的課堂氛圍讓學生身心愉悅，能帶給學生深入細致的思考、無拘無束的交流，使得人人都能積極參與、積極思考. 學生自主探究多種方法后的展示、交流、評價、互糾，教師綜合評價，不僅能讓學生積累相互協作、相互啟發、用方程表示數量關系的方法和經驗，還能提高其數學表達和分享交流的能力，這無疑有利于學生思維品質的提升.

2. 基于經驗，自主構建、自覺生成

所謂“生成”，是指學生知識、能力的自主生長，逐漸生成（即“產生、生長、成型”等意思；絕不止于教師預設之外、出乎意料的課堂學習情態）. 生成的過程，是智慧，是一段獨特的學習經歷，是學生“生產知識”（郭思樂語）的一種形態. 教學中，從學生已有經驗出發展開學習，方程模型的建立及相關方法、概念的得出都是在教師的引導下，自主構建、自我完善、自覺生成. 通過“算式和方程各有什么特點”，幫助所有學生自主生成“一般地，列方程比列算式更方便，從算式到方程是數學的進步”. 通過“如何用方程表示實際問題中的數量關系”“觀察列出的方程，它們有什么共同的特征”“問題中含有兩個相等關系，如何來處理”等，引領學生自主建構、自覺生成認知結構和經驗世界. 尤其在例題教學中，通過先獨立、再交流的方式，引導學生自主建構“用方程表示問題中數量關系”的經驗，使得學生獲得自覺利用方程模型解決問題（模型思想）的意識和能力，從而使學生的邏輯思維從經驗型逐步走向理論型. 通過不斷追問“你還有其他方法或思路嗎”，引導學生自覺地探究不同的設元方法，拓展了例題的教學功能，讓學生通過做一題，學會如何處理含有“兩個相等關系”的一類實際問題.

3. 關注教學的“后半段”，主動建構

心理學家波斯納認為，沒有反思的經驗是狹隘的經驗，至多只能形成膚淺的認識. 有效引導學生進行自我反思，有利于學生學習力的自主提升. 為此，“后半段”的教學應該是“生長”在學生“最近發展區”上進行的，使得學生在教師的有效引導下不斷地在“原有認知基礎上主動建構”，不斷完善知識結構體系，提升思維品質，發展學習力. 本課中，教師就任何一個相對獨立的教學階段，通過“問題”引領，有效引導學生進行自我反思，盡力發揮“后半段”教學的有效性. 通過“算式和方程各有什么特點”，引導所有學生感知“一般地，列方程比列算式更方便”. 通過問題（含課堂總結等），引領學生自主建構、自覺生成認知結構和經驗世界，反思、鞏固知識與技能，體會數學思想與方法，形成基本的活動經驗；通過“自評、互評”，引導學生積極參與，增進師生、生生之間的多向交流，取長補短，有利于激勵學生不斷認識掌握，完善學習；同時又關注了個體差異，真正保護不同層次學生學習數學的信心，使得不同的學生都可以在數學學習上獲得不同程度的成功感.