例談HPM視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

張玉萍

[摘 要] HPM是基于歷史相似性原理和建構(gòu)主義理論對數(shù)學(xué)史進(jìn)行研究，以期提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量. 本文在研究相關(guān)理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合實例介紹了HPM視角下初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的具體操作.

[關(guān)鍵詞] HPM；數(shù)學(xué)史；理論基礎(chǔ)；教學(xué)設(shè)計

HPM是“History and Pedagogy of Mathematics”的簡稱，這是一個誕生于20世紀(jì)七十年代的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，其研究目標(biāo)是研究數(shù)學(xué)史，提升數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量. HPM所研究的問題包括：數(shù)學(xué)史的課程設(shè)立；數(shù)學(xué)史的內(nèi)容關(guān)聯(lián)；數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系；數(shù)學(xué)史對教師的影響；數(shù)學(xué)史在文化滲透中的作用和地位等. 由此可見，HPM的價值受到越來越多的關(guān)注，其在教學(xué)實踐中的運(yùn)用也日益受到重視.

HPM的理論基礎(chǔ)

（一）歷史相似性原理

英國學(xué)者斯賓塞指出，個體知識的形成與人類知識的演變歷程是統(tǒng)一的，歷史上知識的創(chuàng)生過程就是今天教育的方向. 這一段論述就是講個體的數(shù)學(xué)認(rèn)識要遵循數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展過程，該觀點獲得克萊因、龐加萊、卡托斯等數(shù)學(xué)家的支持. 他們主張學(xué)生的認(rèn)識過程與數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程有著嚴(yán)格的相似性，指出數(shù)學(xué)史能幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難題，這就是歷史相似性原理.

從初中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來講，歷史相似性原理給我們提出這樣的指導(dǎo)：一方面，幫我們預(yù)測并解釋學(xué)生可能出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難；另一方面是對教學(xué)設(shè)計給予建設(shè)性的意見. 當(dāng)依據(jù)歷史相似性來設(shè)計教學(xué)時，教師必須意識到學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知背景與以前的數(shù)學(xué)家大相徑庭，因此我們不能全盤照搬數(shù)學(xué)史中的知識建構(gòu)過程，而應(yīng)該結(jié)合教學(xué)需要對歷史資料進(jìn)行重構(gòu).

（二）建構(gòu)主義理論

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生在數(shù)學(xué)、邏輯或物理等方面的認(rèn)知過程都屬于持續(xù)建構(gòu)的產(chǎn)物，并且要在認(rèn)知過程中經(jīng)歷同化和順應(yīng)等一系列作用，進(jìn)而實現(xiàn)新的認(rèn)知平衡. 所有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都可以結(jié)合結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來實施，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論給傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念造成沖擊，也為HPM理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用提供了支撐.

建構(gòu)主義理論指導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不應(yīng)該是被動吸納接受學(xué)習(xí)的過程，而應(yīng)該是學(xué)生結(jié)合已有認(rèn)知和經(jīng)驗的積累主動進(jìn)行建構(gòu)的過程. 西方研究者在對HPM研究時發(fā)現(xiàn)，該理論對數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的推動作用. J·M·Keiser就在教學(xué)實驗中發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解“角度”的概念和前人發(fā)明相關(guān)概念的過程是一致的，因此歷史上前人探索“角度”概念的有關(guān)困難也將為現(xiàn)今的教材編寫和教學(xué)設(shè)計提供指導(dǎo). 學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是一個持續(xù)建構(gòu)的過程，數(shù)學(xué)史會將數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)規(guī)律、建立理論的過程呈現(xiàn)出來，因此，教師在教學(xué)中將相關(guān)史料滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠幫助學(xué)生認(rèn)清概念、定理、公式等知識的形成和演變過程，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，這有助于他們通過對比新、舊知識的聯(lián)系來獲取對新知識更加深刻的認(rèn)識.

HPM視角下的教學(xué)設(shè)計案例

結(jié)合對HPM理論的研究，筆者對初中數(shù)學(xué)課堂積極展開實踐，下面，筆者以“負(fù)數(shù)”的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)操作.

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)階段已經(jīng)接觸過的數(shù)的類型：類似于0，1，2，3，，這些我們現(xiàn)在生活中常見的數(shù)字，都是隨著人們認(rèn)識的進(jìn)步和需要才出現(xiàn)的. 在古代，人們依次經(jīng)歷實物計數(shù)、結(jié)繩計數(shù)、算籌計數(shù)等階段，但是因為使用不便，于是發(fā)明1，2，3…這樣的數(shù)字；為了表示“沒有”或“空的”，就發(fā)明了“0”；因為計算和測量中出現(xiàn)的數(shù)字并非整數(shù)，因此發(fā)明了分?jǐn)?shù). 由此可見，數(shù)字的產(chǎn)生和改進(jìn)都是源于人們生活、生產(chǎn)中的需要. 今天，我們一起再來認(rèn)識一下一種更加神奇的數(shù)字——負(fù)數(shù).

設(shè)計思路 教師圍繞學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)字，引導(dǎo)他們簡單回顧數(shù)字的發(fā)展歷程，有助于學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上建構(gòu)新認(rèn)識.

（二）探索研究，形成概念

1. 引出負(fù)數(shù)的產(chǎn)生緣由

教師提供問題引導(dǎo)學(xué)生探究負(fù)數(shù)的產(chǎn)生：3個小孩要平均分配4個蘋果，應(yīng)該怎么分配？

初中生完成上述問題沒有絲毫難度，教師關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生循著以下思路進(jìn)行思考：3個小孩平均分配4個蘋果，能不能讓每個人所得的蘋果數(shù)是整數(shù)？請列方程求解.

學(xué)生求解：設(shè)每個小孩可分得x個蘋果，則根據(jù)題意有3x=4，解得x=.

結(jié)合求解過程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個小孩最終所得的蘋果數(shù)目并非整數(shù)，因為從方程求解來看，它不存在整數(shù)解，因此為了讓方程由無解變?yōu)橛薪?，人們對?shù)系進(jìn)行了擴(kuò)充，引入了分?jǐn)?shù)的使用. 這樣的做法使得任何兩個非零整數(shù)的除法都存在解，除法運(yùn)算也因此更加暢通.

設(shè)計思路 引導(dǎo)學(xué)生重新體驗分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生緣由，以此為學(xué)生接受負(fù)數(shù)的概念奠定基礎(chǔ).

教師安排學(xué)生繼續(xù)處理下面兩個問題：

（1）張濤帶來10元錢，準(zhǔn)備去超市買一個足球，到那兒之后發(fā)現(xiàn)足球的標(biāo)價是18元/個，請問張濤還剩多少錢？

（2）小李今天掙了200元，各項支出一共230元，請問小李今天凈收入多少錢？

學(xué)生很快寫出兩個式子：（1）10-18；（2）200-230. 寫完之后，他們都無法繼續(xù)下去，教師便啟發(fā)他們交流彼此的困難. 學(xué)生指出：被減數(shù)比減數(shù)還要小，數(shù)字不夠減，如果還用小學(xué)的知識，這樣的問題是無解的，是錯誤的. 教師這時便鼓勵學(xué)生，人的視野不應(yīng)該被陳舊的知識所束縛，可以仿照分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，發(fā)明一種新的數(shù)字——負(fù)數(shù)，由此，學(xué)生便會認(rèn)識到負(fù)數(shù)的意義：引入負(fù)數(shù)之后，任意大小的數(shù)字都能隨意相減，數(shù)系再一次被擴(kuò)充.

設(shè)計意圖 結(jié)合具體的問題，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生感受到囿于原有認(rèn)知的困境，進(jìn)而產(chǎn)生擴(kuò)充數(shù)系的需要，負(fù)數(shù)的概念由此引入便水到渠成，學(xué)生的認(rèn)知上沒有任何違和感.

2. 負(fù)數(shù)的表示

教師提供問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的表示方法.

問題：今年初春，哈爾濱的平均氣溫為零下5℃，北京的平均氣溫是2℃，上海的平均氣溫為5℃. 請問上海的平均氣溫比北京的氣溫高多少？上海的氣溫比哈爾濱的氣溫高多少？

學(xué)生用減法來處理上述問題：上海氣溫-北京氣溫=5-2=3（℃）；上海氣溫-哈爾濱氣溫=5-5=0（℃）. 問題來了，哈爾濱和上海的氣溫相差為0，莫非兩地溫度一樣？這肯定是錯誤的，那問題出在哪里呢？教師讓學(xué)生進(jìn)行討論，他們在討論中很快發(fā)現(xiàn)問題的所在，兩個5℃的含義不同，必須進(jìn)行區(qū)分. 那怎么辦呢？此時學(xué)生對負(fù)數(shù)的表示產(chǎn)生了心理需求.

設(shè)計思路 教師以問題為引導(dǎo)，在問題處理中醞釀沖突，由此激起學(xué)生對負(fù)數(shù)表示方法的學(xué)習(xí)需求，強(qiáng)化了他們的學(xué)習(xí)動機(jī).

為滿足學(xué)生的需求，教師開始講解：數(shù)學(xué)上一般將大于0的數(shù)字定義為正數(shù)，而將小于0（零以下）的數(shù)字定義為負(fù)數(shù)，在其前方添加一個負(fù)號“-”以示區(qū)別，例如正數(shù)“1”變成負(fù)數(shù)就是“-1”，當(dāng)然有時候為了強(qiáng)調(diào)正數(shù)，也在正數(shù)前方加一個“+”號.

設(shè)計思路 教師對歷史上負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程進(jìn)行重構(gòu)，以不露痕跡的方式融入教學(xué)，讓學(xué)生在看似隨意的過程中體驗負(fù)數(shù)的建構(gòu).

教師進(jìn)一步補(bǔ)充：運(yùn)用“+”“-”來區(qū)分正負(fù)數(shù)是屬于近代數(shù)學(xué)的表示方法，據(jù)史料記載，早在1700多年前，我國魏晉時代的數(shù)學(xué)家劉徽就提出了正負(fù)數(shù)的表示方法：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之. ”這就是說，為了對計算出來相反意義的數(shù)字進(jìn)行區(qū)分，可以用正數(shù)與負(fù)數(shù)的方式進(jìn)行表述. 當(dāng)時，他是以算籌的顏色表征正負(fù)的：“正算赤，負(fù)算黑”，即正數(shù)用紅色算籌表征，負(fù)數(shù)則用黑色算籌進(jìn)行表征.

設(shè)計思路 介紹中國古代負(fù)數(shù)的表示方式，讓學(xué)生感受前人的智慧，由此激活學(xué)生的求知欲.

（三）例題講解，活化認(rèn)知

教師提供例題：某天的天氣預(yù)報顯示，與今天相比，上海明天的氣溫會增加2℃；北京明天的氣溫會下降1℃；天津今明兩天的溫度沒有變化. 請寫出上海、北京、天津三地明天的氣溫會上升多少.

學(xué)生結(jié)合本課所學(xué)進(jìn)行解答：上海、北京和天津三地氣溫分別上升2℃、-1℃、0℃.

設(shè)計思路 教師設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)解決問題，在知識遷移的過程中加深認(rèn)識.

（四）課堂小結(jié)，作業(yè)布置

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，本課所學(xué)內(nèi)容包括：（1）負(fù)數(shù)提出的緣由；（2）負(fù)數(shù)的概念及其表示，隨后布置課后鞏固練習(xí).