解決“圖形折疊問題”的策略研究

陳志華+余莉

[摘 要] 圖形折疊問題的實質就是軸對稱變換，其注重使學生經歷觀察、操作、推理、想象等過程，倡導自主探索、合作交流與實踐創新的學習方式，以真正實現“空間與圖形”的教育價值. 本文根據新課標、新變化與中考命題趨勢的關聯性的要求，以“圖形的折疊問題”一堂專題復習課為載體，引導學生在經歷參與、反思、內化等數學活動的全過程中清晰地建構出這類問題的解決策略，從而達到積累必要的數學活動經驗的目的.

[關鍵詞] 折疊問題；作圖操作；計算體驗；活動經驗

新課程標準中關于“空間與圖形”部分的主要內容涉及現實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及其變換，它是人們更好地認識和描述生活空間并進行交流的重要工具. 圖形的折疊問題的實質就是軸對稱變換，其注重使學生經歷觀察、操作、推理、想象等過程，倡導自主探索、合作交流與實踐創新的學習方式，以真正實現“空間與圖形”的教育價值. 由此，在近年全國各地的中考試題中，圖形折疊問題漸漸成為考查的熱點問題. 其題型多樣、變化靈活，從考查學生的空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用折疊相關性質的說理計算題，發展到基于折疊操作的綜合題，甚至壓軸題，考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日趨明顯.

為解決此類問題，教學中要讓學生達成以下幾點目標：第一，能對圖形折疊有準確定位，抓住圖形之間最本質的位置關系，從點、線、面三個方面入手，發現其中變化的量和不變的量，發現圖形中的數量關系；第二，能把握折疊的變化規律，充分挖掘圖形的幾何性質，將其中的基本的數量關系用方程的形式表達出來；第三，能運用方程模型、分類討論等基本數學思想解決問題，感悟數學方法，積累數學活動經驗. 下面，筆者以中考專題復習課“圖形的折疊問題”為例，談談解決圖形折疊問題的幾點策略.

加強作圖操作，引導學生探究圖形折疊的本質規律

作圖是根據幾何或自然語言想象并畫出圖形，通過視覺或操作圖形構成的要素（線與角），感知圖形的結構、位置和數量關系、幾何特征，形成印象，進行分類，這樣可以使頭腦內的形象與外在可感覺到的物體建立有利的聯系. 教學中要讓學生感受、探究圖形折疊中的軸對稱變換，教師就理應為學生提供動手操作的平臺——作圖操作. 正如我國古代數學家趙爽采用構造弦圖的方法“看出”勾股定理一樣，作圖操作是學生探究圖形折疊的本質規律的一個有效策略.

環節一：“作圖探究折疊中的規律”教學片段

師：幾何圖形中的折疊問題是我市中考的“常客”，其中蘊藏著怎樣的規律和方法呢？今天我們就一起來探討這一主題，首先請大家完成下列題組：

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，請畫出折痕CD，將△ACD沿CD折疊，使點A落在BC邊的點E處，并連接DE.

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠A=90°，請畫出折痕MN，其中MN∥BC，將△ABC沿直線MN折疊后，點A恰好落在BC邊上的點P處，折痕分別交AB，AC于點M和點N，并連接MP，NP.

（3）如圖3，在矩形ABCD中，請畫出折痕EF，使點A與點C重合，折痕分別交AD，BC于點E和點F.

（學生獨立思考完成，教師巡視學生作圖）

師：好，請三位同學到黑板上板演.

（三位學生上臺各完成一題）

師：請這三位同學分別說明各自作圖的步驟.

生1：圖1中要把點A翻折到BC上，只需要畫∠C的角平分線即可.

生2：圖2中，我是先畫了BC邊上的高，再作這條高的中垂線就可以畫出折痕MN.

生3：圖3這題還是比較簡單的，對角線AC的中垂線就是所求的折痕.

師：剛才三位同學都把他們各自的想法解釋了一遍，講解得非常好. 那么，其他同學三道題目都能獨立完成的請舉手.

（教師觀察同學們的舉手情況，大部分同學都能獨立完成）

師：請問圖形中的折疊關鍵要抓住哪條重要的線段？

生齊：折痕這條線段.

師：很好，其實折痕就是我們熟悉的角平分線或中垂線，那么，圖形折疊前后有什么規律？

生4：折疊前后的圖形應該是全等圖形.

師：概括得不錯，其實它們也是軸對稱圖形.

（之后教師引導學生題后反思，總結圖形折疊問題中的規律，形成下面的知識框架圖式，并板書在黑板上）

掌握畫幾何圖形是正確認識圖形變換本質、順利進行推理的前提. 教學中，應首先使學生能夠根據要求畫出準確的圖形，然后找出圖形變換前后之間的聯系，并進一步用幾何語言說出幾何圖形的各種不同的特性，分析圖形中的動態因素，在此基礎上，由這些特性與因素做出推斷，得出結論，從而進行合情推理和演繹推理. 上述教學片段中的三道關于折疊的作圖題就是以題組形式出現，低起點、易操作，符合學生的最近發展區，讓學生自主學習以鞏固基礎，是“動手操作的活動過程”；題后反思、概括歸納圖形折疊問題中的規律，形成認知框架，是“對知識的主動建構過程”. 因為概括才能使學生對解決原題所必需的知識運用由粗淺理解轉為深化理解，進而為遷移做準備，才能真正體現“以小見大”的功效.

重視計算體驗，引導學生提煉圖形折疊的思想方法

波利亞說過，學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現，因為這種發現、理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系. 圖形折疊問題的一個重要目標是讓學生能運用方程模型、分類討論等基本數學思想解決問題，感悟數學方法，積累數學活動經驗. 而這一目標的達成，需要在教學中引導學生進行深入的挖掘、提煉、引申、加工改造，以克服消極的定式思維為方向，從中培養學生思考問題的靈活性、開拓性、多向性和創造性，從而收到以少勝多、事半功倍之效.

環節二：“計算、體驗折疊中的方法”教學片段

師：剛才同學們通過作圖環節已探究到圖形折疊中的規律，下面請完成如下題目：如圖4，在矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=4，現將該紙片折疊，使點A與點C重合，折痕分別交AD，BC于點E和點F，則EF=______.

生5：根據矩形的性質可以計算出

師：很好，利用相似三角形來解決. 同學們還有其他方法嗎？（板書：相似三角形法）

生6：可以利用勾股定理. 連接CE，因為圖形的折疊是軸對稱變換，所以設AE=CE=x，則ED=4-x. 于是得（4-x）2+22=x2，從而求出x，再求EF.

師：利用勾股定理構建方程模型也是重要的解題思路. 當然，這需要通過軸對稱（折疊）變換，把條件聚集到同一個直角三角形（△CDE）中. （板書：設元構建方程模型）

師：還有其他方法嗎？

師：很好，三角函數法十分巧妙. 還有其他不同的方法嗎？（板書：三角函數法）

生9：可以建立直角坐標系，利用兩點之間的距離公式解決.

師：剛才同學們用了5種不同的方法解決了這道折疊問題，其中利用相似三角形、勾股定理是解決折疊問題的兩種常用方法，同學們必須掌握. 請問圖4中隱藏著一個關于相似三角形的什么基本圖形？

生齊：斜截型相似圖形.

師：這個基本圖形十分重要，大家要善于發現它. 下面請同學們看第二題：

生10：連接AP，根據圖形的折疊可知AP⊥BC，再利用相似三角形的知識可以解決.

師：很好，現在我們來比較一下這兩道題，你能從方法上加以反思、總結嗎？

生11：這兩題都涉及圖形的折疊，所用的方法有相似三角形法、勾股定理等，其中這兩幅圖中都可以挖掘出基本圖形.

師：大家要經常比較、概括同類型或相似題目，從而發現其中的異同點，這樣就可以達到以一敵十的效果.

數學知識的教學從來都不是數學教學的唯一，而數學能力的培養卻是數學教學的核心價值. 我們的教學不能停留在知識的傳授層面，應重視發展學生的各種數學觀念，提高學生的數學素養. 學生在上述教學片段中，感悟數學解題策略，提煉基本數學方法，從而達到增長智慧的目的. 在“作圖探究折疊中的規律”環節的鋪墊下，學生提煉出的相似三角形法、設元構建方程法、三角函數法、等積法、解析法等五種方法，是解決此類問題的腳手架. 同時，在較復雜的問題中，有針對性地將其中某一個三角形、角或線段“拿”出來，單獨畫圖進行分析，更有助于發現問題. 這種把復雜圖形分解到基本圖形的方法也為學生認識圖形、把握問題本質創造了思維的載體.

加強綜合運用，積累解決圖形

折疊問題的活動經驗

圖形折疊問題的綜合題的特點是集知識點于一體，且經常與動點問題相聯系，所以，題型新穎且富于變化，學生往往感到難度大，不易下手. 然而，這種題型既能考查學生對基礎知識掌握的熟練程度，又能較好地考查學生的觀察、分析、概括能力，因此，教學中既要重視基礎知識，又要強化數學思想方法的訓練，讓學生在綜合運用過程中積累數學活動經驗.

環節三：“中考呈現折疊的題型”教學片段

師：通過剛才兩個環節的學習，下面我們一起嘗試解決關于圖形折疊的中考題：

師：大家對“動點P在線段BD上從點B向點D運動”有什么想法？

生12：是不是要分類討論？

師：如果要分類討論，那么點P運動到何處是分界點呢？也就是點P在某處的前后時，菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的圖形會有所區別？

生13：點P在BO上和在OD上時所形成的圖形是不同的，所以點O是點P的分界點.

師：題目的構圖也十分復雜，怎么把復雜圖形簡單化呢？

生14：可以分解圖形到一個基本圖形中去解決，比如分解到Rt△AOB中.

師：好，下面我們把這兩種情況分解到如下兩幅圖形中去（圖7和圖8）.

師：如圖7，如何計算△BPF的面積呢？

本題考查了以菱形為背景的軸對稱（折疊問題）的相關知識，考查了菱形的性質、特殊角的三角函數值等知識，還考查了分類討論思想. 日本著名數學家米山國藏認為把復雜問題簡單化是數學最基本的精神，所以，其中利用折疊（軸對稱）把復雜圖形轉化為簡單基本圖形是解決問題的關鍵. 同時，作圖題中對折痕的意義的理解、計算題中關于折痕問題所涉及的多種方法的展示、中考題解決中的綜合運用都為學生提供了一系列有層次、數學情境本質相同或相似、多樣化活動的“情境串”，讓學生在原有的直接經驗基礎上，在經歷“作圖操作、計算體驗、綜合運用”的數學活動中及時概括、抽象和運用，從而積累了必要的數學活動經驗.

筆者認為，中考的一個重要作用是指引教師的教學方向，促進教師對新課改理念的領悟，提高教師的教學水平，同時引導和改善學生學習數學的方式. 通過分析圖形折疊問題，我們發現，它很好地承載了對學生綜合能力的考查. 所以，在教學中，我們要引導學生在經歷參與、反思、內化等數學活動中，增進學生對所學知識的理解，重視數學思想方法的滲透，感知研究與解決數學問題的方式、方法，體現數學的功能，培養學生后續學習的能力，積累數學活動經驗，提升學生的數學素養.