初中應用題教學之探討

林發輝

[摘 要] 一道應用題，首先要認真閱讀，認真理解題意，將問題中的每一句話（主要是關系型陳述句）轉譯成文字型關系，再將文字型關系轉譯為文字型等式或不等式，最后將文字型等式或不等式轉譯為方程、函數、不等式等數學模型.

[關鍵詞] 初中數學；應用題；教學；探討

從教十余年，筆者深感應用題教學之難：教之重點，學之難點，考試之重要內容. 為了解決這個重要內容，初上講壇時，筆者翻閱資料，向同仁們學習了畫圖分析法、列表分析法，但總覺得有些缺陷，因為這些方法只能解決一類問題或一些問題. 后來，筆者學習、探究、借鑒，形成了自己的教學模式. 現在，筆者總結出來，與方家討論.

掌握必備的基礎知識

如果廚房內沒有各種食物原料，那么再高明的廚娘也做不出飯來，充其量只能燒水；反之，廚房內食物原料豐盛，那么再蹩腳的廚師也能把飯做出來，可能只是不可口而已. 各類基礎的數學知識就是食物原料，掌握它們是解題的基礎和依據.

解決應用題需要哪些必備的基礎知識呢？數與式的化簡和計算、方程的解法，一元一次不等式的解法，一次函數、反比例函數、二次函數的有關知識等. 下面重點說一些關系（包括相等關系和不等關系）.

1. 關系型基礎知識

（1）總量=各個部分量之和.

（2）表示同一個量的兩個不同的式子相等.

（3）甲比乙大丙：甲=乙+丙；甲比乙小丙：甲=乙-丙；甲是乙的k倍：甲=k乙.

（4）甲比乙多x% ： 甲=乙+x%乙=（1+x%）乙； 甲比乙少x%：甲=乙-x%乙=（1-x%）乙；甲是乙的x%：甲=x%乙.

（5）甲大于乙：甲>乙；甲小于乙：甲<乙；甲不大于乙：甲≤乙；甲不小于乙：甲≥乙.

2. 公式型基礎知識

（2）行程問題中的公式：路程=速度×時間（S=vt）；平均速度=；順風速度=靜風速度+風速；逆風速度=靜風速度-風速等.

（3）工程問題中的公式：工作量=工作效率×工作時間.

（4）經濟問題中的公式：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×時間；利潤=售價-進價；利潤率=.

（5）濃度問題中的公式：溶液=溶質+溶劑；濃度=×100%.

3. 事實性基礎知識

線段的和差倍分、各種圖形的性質（如正方形的四條邊相等，長方形的對邊相等）、等式的有關性質（如對稱性、傳遞性）、等量加（減）等量還得等量等.

問題的轉譯

一道應用題，首先要認真閱讀，認真理解題意，將問題中的每一句話（主要是關系型陳述句）轉譯成文字型關系，再將文字型關系轉譯為文字型等式或不等式，最后將文字型等式或不等式轉譯為方程、函數、不等式等數學模型. 筆者將這個過程叫問題的轉譯.

因此，問題的轉譯包括如下程序：將問題中的每一句話（主要是關系型陳述句）轉譯成文字型關系，再將文字型關系轉譯為文字型等式或不等式，最后將文字型等式或不等式轉譯為方程、函數、不等式等數學模型.

1. 將問題中的每一句話（主要是關系型陳述句）轉譯成文字型關系，再將文字型關系轉譯為文字型等式或不等式

研究表明，成功的問題解決者比不成功者更清楚如何理解應用題中的句子，尤其是如何理解包含兩個變量之間關系的陳述句. 不成功的問題解決者缺乏問題轉譯的技能.

那么，如何轉譯呢？

筆者以為，應該認真閱讀題目，認真考慮每一個數據所表示的量的意義以及它們之間的關系，進而參照已經掌握的必備基礎知識，選擇適用于本題的關系式. 當確定了適用于本題的關系式后，再對照、模仿、考慮哪一個量相當于甲，哪一個量相當于乙……從而得出文字等式或不等式. 為了更好地說明筆者的思想，以下通過幾個例子補充說明轉譯的方法.

例1 為了拉動內需，廣東啟動“家電下鄉”活動. 某家電公司銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動活動前一個月共售出960臺，啟動活動后的第一個月銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱的銷量分別比啟動活動前一個月增長30%，25%，這兩種型號的冰箱共售出1228臺.

（1）在啟動活動后的第一個月，銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分別為多少臺？

（2）若Ⅰ型冰箱的價格是2298元/臺，Ⅱ型冰箱的價格是1999元/臺，根據“家電下鄉”的有關政策，政府按每臺冰箱價格的13%給購買冰箱的農戶補貼，問：啟動活動后的第一個月銷售給農戶的1228臺Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共補貼了多少元（結果保留兩個有效數字）？

分析 第一句話是本題的背景. 由“某家電公司銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動活動前一個月共售出960臺”得到“Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動活動前一個月共售出960臺”，即啟動活動前一個月，Ⅰ型冰箱+Ⅱ型冰箱=960①. 由“啟動活動后的第一個月銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱的銷量分別比啟動活動前一個月增長30%，25%”得到“Ⅰ型冰箱的銷量比啟動活動前一個月增長30%，Ⅱ型冰箱的銷量比啟動活動前一個月增長25%”，即啟動活動后的第一個月，Ⅰ型冰箱的銷量=（1+30%）×啟動活動前一個月Ⅰ型冰箱的銷量②；啟動活動后第一個月Ⅱ型冰箱的銷量=（1+25%）×啟動活動前一個月Ⅱ型冰箱的銷量③. 由“啟動活動后的第一個月，兩種型號的冰箱共售出1228臺”得“啟動活動后的第一個月，Ⅰ型冰箱的銷量+Ⅱ型冰箱的銷量=1228” ④. 由“政府按每臺冰箱價格的13%給購買冰箱的農戶補貼”得“政府每臺冰箱的補貼=13%×每臺冰箱的價格”⑤.

例2 某家電商場計劃用32400元購進“家電下鄉”指定產品中的電視機、冰箱、洗衣機共15臺. 三種家電的進價和售價如下表所示：

（1）在不超出現有資金的前提下，若購進電視機的數量和冰箱的數量相同，洗衣機數量不大于電視機數量的一半，商場有哪幾種進貨方案？

（2）國家規定：農民購買家電后，可根據商場售價的13%領取補貼. 在（1）的條件下，如果這15臺家電全部銷售給農民，國家財政最多需補貼農民多少元？

分析 由“某家電商場計劃用32400元購進‘家電下鄉指定產品中的電視機、冰箱、洗衣機共15臺”得到“電視機、冰箱、洗衣機共15臺”，即電視機的數量+冰箱的數量+洗衣機的數量=15①；“不超出現有資金”，即購電視機的費用+購冰箱的費用+購洗衣機的費用≤32400②. 由“購進電視機的數量和冰箱的數量相同”得“電視機的數量=冰箱的數量” ③；由“洗衣機數量不大于電視機數量的一半”得“洗衣機數量≤×電視機數量” ④；由“商場售價的13%領取補貼”得“補貼=13%×商場售價”④.

許多學生在解決應用題時，或者缺乏必要的閱讀理解能力（語言性知識），或者不肯認真、仔細、耐心地分析，或者沒有熟練掌握上述必備的基礎知識，因此出現轉譯障礙，從而影響問題的解決. 長此以往，學生便會產生對應用題的畏難情緒. 調查研究發現，很多學生覺得應用題很難，很大的原因就是基于此.

為了克服這種障礙，教師至少應該培養學生做好三件事情：第一，培養學生的閱讀習慣；第二，讓學生熟練掌握必備的基礎知識，對各種關系爛熟于心；第三，培養學生耐心分析問題的能力. 教師可以先分析幾道題作為示范，然后學生嘗試分析. 長此以往，學生便會自己分析問題. “磨刀不誤砍柴工”，教師和學生千萬不要覺得分析會浪費時間和精力.

2. 將文字型等式或不等式轉譯為方程、函數、不等式等數學模型

在這個轉譯過程中，首先需要確定未知數（變量），然后將文字等式（或不等式）轉譯成方程、函數、不等式.

（1）未知數的確定

未知數主要有兩種設法：直接設元、間接設元. 所謂直接設元，就是問什么量設什么量；所謂間接設元，就是問這個量，設與之關聯的另一個量. 無論哪種設法，都應該根據相等關系進行. 選擇哪種設法，一般無定法，原則上哪一種設法利于解題（所謂利于解題指設未知數后，其余的量可以由它直接或簡單變形得到），就選擇哪種設法.

比如例1中就應該間接設元. 設在啟動活動前的一個月，銷售給農戶Ⅰ型冰箱x臺，則銷售給農戶的Ⅱ型冰箱有（960-x）臺（由①得），啟動活動后的第一個月Ⅰ型冰箱的銷量為（1+30%）x臺（由②得）， Ⅱ型冰箱的銷量為（1+25%）·（960-x）臺（由③得）. 若直接設啟動活動后第一個月Ⅰ型冰箱的銷量，則其余的量用它表示起來就復雜了，且方程也很復雜，不利于求解. 例2直接設元即可. 設購買電視機x臺，則購買冰箱x臺（由③得），購買洗衣機（15-2x）臺（由①得）.

（2）方程、函數、不等式的確定

相等關系在設未知數時已經用掉一些，剩下的關系用于列方程（組）、不等式（組）、函數. 只需要把文字等式左右兩邊分別轉譯成相應的代數式即可.

如例1的第（1）問可以通過方程（1+30%）x+（1+25%）（960-x）=1228（由④得）解決；第（2）問可以通過算式13%×2298×（1+30%）x +13%×1999×（1+25%）·（960-x）解決. 例2的第（1）問可以通過不等式組 ，2000x+2400x+1600（15-2x）≤32400解決；第（2）問可以通過函數y（財政補貼）=13%×2100x+13%×2500x+13%×1700（15-2x）解決.

方案的執行

當方程、不等式、函數解析式得到以后，利用它們求解是比較容易的. 當求出未知數后，需要檢驗解的合理性，同時寫出答案. 最后，筆者再通過一例說明筆者的應用題教學思路.

例3 某校團委為了教育學生，開展了以感恩為主題的有獎征文活動，并為獲獎的同學頒發獎品. 小紅與小明去文化商店購買甲、乙兩種筆記本作為獎品，若買甲種筆記本20個，乙種筆記本10個，共用110元；且買甲種筆記本30個比買乙種筆記本20個少花10元.

（1）求甲、乙兩種筆記本的單價各是多少元；

（2）若本次購進甲種筆記本的數量比乙種筆記本的數量的2倍還少10個，且購進兩種筆記本的總數量不少于80個，總金額不超過320元，請你設計出本次購進甲、乙兩種筆記本的所有方案.

分析1 （1）由“買甲種筆記本20個，乙種筆記本10個，共用110元”得“20本甲種筆記本的錢+10本乙種筆記本的錢=110元”；由“買甲種筆記本30個比買乙種筆記本20個少花10元”得“30本甲種筆記本的錢=20本乙種筆記本的錢-10”.

解答 （1）設甲種筆記本的單價是x元，乙種筆記本的單價是y元，根據題意可得20x+10y=110，

所以甲種筆記本的單價是3元，乙種筆記本的單價是5元.

分析2 （2）由“本次購進甲種筆記本的數量比乙種筆記本的數量的2倍還少10個”得“甲種筆記本的數量=2×乙種筆記本的數量-10”；由“購進兩種筆記本的總數量不少于80本”得“甲種筆記本的數量+乙種筆記本的數量≥80”；由“總金額不超過320元”得“買甲種筆記本的錢+買乙種筆記本的錢≤320”.

總之，筆者在應用題教學時，以基礎知識和基本關系為依據，以練習和訓練為橋梁，通過分析、設元、建模、解模、檢驗、答案等步驟，將應用題這一重點和難點化解于無形.