數形結合在導數與函數中的應用

周玲玲

【摘要】 “數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微。”在這首詩中華羅庚先生指出了數與形相互之間的關系，揭示了數形結合思想方法的本質和重要性。數形結合思想是中學數學中七個常用基本思想方法之一。

【關鍵詞】 數形結合 導數 函數

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）03-066-01

把圖象作為工具、載體，不僅可以直觀，而且易于尋找解題的途徑和突破口，以此尋求解題思路或制定解題方案.從近年高考課標卷來看，對數形結合等思想方法的考查，是對數學知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學生思維品質和數學技能的考查，是課標課程高考明確的一個命題方向。本文從以下幾個方面結合相關高考試題談談數形結合在函數與導數中的應用。

應用1：由恒成立問題求參數取值范圍問題

例1（2013課標全國Ⅰ，理11）已知函數f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0.若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1]D.[-2，0]

解析：由y=|f（x）|的圖象知：

①當x>0時，y=ax只有a≤0時，才能滿足|f（x）|≥ax，可排除B，C.

②當x≤0時，y=|f（x）|=|-x2+2x|=x2-2x.

故由|f（x）|≥ax得x2-2x≥ax.

當x=0時，不等式為0≥0成立.

當x<0時，不等式等價于x-2≤a.

∵x-2<-2，∴a≥-2.

綜上可知：a∈[-2，0].

點評：本題通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法.數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。

應用2：確定方程根的個數或圖象的交點個數

設a為實數，函數f（x）=x3-x2-x+a.

（Ⅰ）求f（x）的極值.

（Ⅱ）當a在什么范圍內取值時，曲線軸僅有一個交點.

【升華】利用導數可以畫出函數圖象的大體形狀，無論圖象向內彎曲、向外彎曲還是直線，都不影響函數的單調性和極值或最值的顯示.利用函數圖象我們可以解決方程解的個數問題、圖象的交點問題。

應用3證明不等式

數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，《考綱》指出“數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想思想方法的考查，注重對數學能力的考查”，數形結合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，靈活運用數形結合的思想方法，可以有效提升思維品質和數學技能。從目前高考“重視思想方法，注重通法，淡化技巧”的命題原則來看，我們在教學上要更加重視學生在數形結合的思想方法上的訓練。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]李金興.函數與導數復習專題.中學教研.2017（2）33-36.

[2]唐閃閃.淺析數形結合在解題中的應用.新課程教學.2012.