孿生素數及素數分布的思考

李科

摘 要 本文通過一種全新的思路，利用不能用“素數和”與“素數因子乘積”表示的整數即為素數的兩種思路，將整數以雙素數和與素數因子乘積的形式分別列入一個分布陣列表中，并通過觀察發現素數及孿生素數的某些規律，并結合這些規律將孿生素數猜想的形式轉變為“除了第一個整數所在的行，其他行必須有第2列，且有無窮多個整數在第2列換行”與“已知小素數乘積不能表示的整數即為素數”兩種新形式。再結合素數性質分步證明孿生素數猜想。最后結合該表提出了兩種新的尋找已知素數后下一個素數的方法。

關鍵詞 素數 孿生素數 哥德巴赫猜想 數論 數學

中圖分類號：O413 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）07-0001-03

素數是指除了1和它本身以外不會被其他任何整數整除（正因數只有1和其本身）的自然數。很明顯，除了2都是奇數。“孿生素數”則是指兩個相差為2的素數，例如3和5，5和7，2003663613195000-1和2003663613195000+1等。古希臘數學家歐幾里得認為存在無窮多對相差2的素數，這就是孿生素數猜想（及存在無窮多素數P，使得P+2為素數）。與哥德巴赫猜想一樣，未被公開證明。其弱形式是“對任何一個正數，有無窮多對素數之差小于這個給定的正數”，這個弱形式就如同哥德巴赫猜想中的“9+9”到“1+1”一樣重要。但證明過程一波三折，至今未能將這個正數證明到2。本文主要介紹了一種證明思路，或許不盡正確，但也不失為另辟蹊徑的一道良方。

一、孿生素數的產生與進展

對于孿生素數的弱形式（波利尼亞克猜想），1966年陳景潤利用篩法證明了存在無窮多個素數p，使得p+2要么是素數，要么是兩個素數的乘積。雖然開了一個頭，但后來很長一段時間沒人超越，這與證明方法有關。直到2013年張益唐取得的突破性進展，他在不依賴未經證明推論的前提下證明存在無窮多個之差小于7000萬的素數對，這雖然與2相差甚遠，但相比與正無窮的距離來說已經是微不足道的了。這是人類在證明孿生素數猜想上打開的第一扇窗戶，隨后在1個月內這個距離被不斷刷新為6000萬，4200萬，1300萬，500萬，40萬……到2014年2月該距離被縮短到了246。雖說距離2已是近在咫尺，可似乎卻愈發覺得遙不可及。難道該方法如同篩法，也是雙刃劍，在取得可喜進展的同時也埋下了不可跨越的鴻溝？為此作者通過研究孿生素數的規律，另辟蹊徑，希望對該猜想的最終證明有所啟示。

二、繞開陷阱，另辟蹊徑

1.偶素的素數加和性質

為尋找良方證明孿生素數猜想，必須發現素數的一些未被發現或被人忽視的規律。為便于研究，繪制表1的素數表，每一行為一組質數，每列為連續偶數的素數加和式。為便于理解，該表引入了半數偏差概念（小的為負偏差，大的為正偏差），其偏差值N在數值上等于兩個質數距離的一半。

仔細觀察，不難發現：（1）孿生素數出現的頻率（即行距）逐漸變大；（2）半數偏差為1的即為孿生素數；（3）孿生素數都分布在第2列；（4）孿生素數出現后必換行（因為素數乘以2為偶數，這是分組的條件，所以自然必須換行）；（5）每一行的列數可以有很多但不是無窮的（因為素數的個數是無限的，就是說表中有無限行，也就是說每一行的列數可以很多很多，但不能是無窮多，如果存在一行有無窮多就無法換行了，及行數有限，這與素數無窮多矛盾）；（6）除了第一個素數2所在的列，其它所有行都至少有第2列（如果某一行沒有第2列，則下一行首位素數與本行首位素數間的整數不能用兩個素數之和表示，這與哥德巴赫定理矛盾-由于除了2任意兩個素數加和是不等的，且都是偶數。所以當第x個素數N前的素數可以表示N內所有偶數時，第x+1個素數到第x個素數間的偶數必能被全部素數兩兩加和表示，不然第x個素數之前存在不能被全部表示的區間，一直往下推，可推出31以內、5以內素數不能全部表示其內部的偶數，這與事實矛盾。所以任何素數區間內的偶數可由區間內的素數兩兩加和表示，及哥德巴赫猜想得證）；由此可證明孿生素數猜想可以依據表而轉化為證明“除了第一個整數所在的行，其它行必須有第2列，且有無窮多個整數在第2列換行”。

前一半很容易證明，因為只有2和3兩個素數的距離為1，所以其它任一整數必須存在第二列；但無窮多如何證明呢？這需要借用素數的無規性。

素數的無窮多已被歐幾里得證明，但素數的無規性如何證明呢？因為素數出現的條件只隨素數自身改變，所以其天生具有不確定性，即無規性。因為素數的無規性，所以對于任一>4的整數X，必存在N（N

2.合數的素數因子性質

眾所周知，整數可以由素數及素數因子乘積表示。參見表2：

由表2可見，從第一個素數2和最小的因子乘積開始，易得合數2=4，且這是唯一表述方法（因為2已經大于2），不難發現2到4之間還存在3，且3不能被唯一的素數2整除，所以此時必須要求3為素數（不然將出現不能被素數因子乘積表示的合數），這就是素數出現的規律。2和3最小的乘積為2=6，4到6之間還存在5，5也不能被所有素數因子乘積表示，由此可判定5為素數；再試試2=10，6到10之間存在7、8、9，7不能被所有素數因子乘積表示，由此可判定7為素數，而8=2，9=3，故為合數；注意，此時最小的素數因子乘積為2=12，10到12之間存在11，所以11為新素數；接下來最小的乘積（整數）自然輪到2=14，12到14之間存在13，所以13為素數；如此可以找出所有的素數，且可以輕易發現一個錯誤和一個規律，即在計算2時漏掉了更小的2和3；由此可知漏掉的8和9是必能被已知所有素數乘積表示的合數，即一個規律為“素數為不能用從最小素數因子逐級乘積表示的非連續整數”。（順便提一下由于用的是因子的乘積，所以無論已知素數有多少，總不能使整數連續，非連續項即為新素數，即素數有無窮多得證），也正是因為合數的“因子逐級乘積性質”，必有無窮多個素數S，使得S+2也為素數。因為如果在第x個素數Sx后任一Sx+n+2都不是素數，Sx+n+2到2 （Sx+n+2）間將會出現無法被Sx+n前素數以因子乘積形式表示的情況，所以必須有無窮多個連續的奇素數出現，及孿生素數有無窮多個。

三、素數規律

上述證明的素數無規性是素數基本的規律之一，但其最基本的規律應該是定義，即“正因數只有1和其本身的自然數”。不過這不是我們所要的素數出現規律。關于素數的尋找，最著名的莫過于篩選法，即通過對整數Y逐級開根號和去除根號內素數的倍數來確定Y內的素數。但此法必須是能開根號的數，那么對于不是太大的數能否有一個可以找出任意整數前素數的方法呢？答案當然是有。

1.素數的對稱性

整數可表示為“兩個素數和的加和”的性質也可以看做是素數的一種對稱性質，仔細觀察表1即可發現：“從3到任何素數A范圍內的素數中必存在至少一個素數與A到2A間的素數關于點A對稱。”即通過2A逐一減去A以內的素數即可得到包含A到2A間所有剩余素數的集合，再逐一排除因子為3到A內的素數的數，剩下的即為A到2A內的全部剩余素數。如此從小到大即可找出所有素數。

2.整數的連續性

由此自然可以想到是否可以利用合數的素數因子性質發現分布規律呢？當然可以，這就是整數的連續性。從最小的唯一素數2開始，它作為因子最小可表示4，不連續，那么這個不連續的數必為素數，即有了3；2和3可表示的僅大于4的數為6，也是不連續的，這個缺失項5必為素數；這3個素數因子可表示大于6的最小數為8，缺失的7為素數；至此4個素數因子可表示大于8的最小數為9；連續，所以接下來是這4個素數因子表示大于9的最小數為10；連續，下一個最小數為12，缺失的11必為素數…再用這5個素數乘積逐級表示，凡是遇到不連續的整數就必為素數，如此也可找出所有素數。

以上兩種方法均可逐一找出所有素數，若加之超級計算機將如虎添翼。另外如何驗證所找出素數的完整性呢？可以將所有素數乘積再加1，如果該數為合數則表示素數間有缺失項。

全文通過一種全新的思路，利用非素數和與非素數因子乘積表示的整數即為素數的兩種思路，將整數以雙素數和與素數因子乘積的形式分別列入一個分布陣列表中，通過觀察發現素數及孿生素數的某些規律，并結合這些規律將孿生素數猜想的形式轉變為“除了第一個整數所在的行，其他行必須有第2列，且有無窮多個整數在第2列換行”與“已知小素數乘積不能表示的整數即為素數”兩種新形式。再結合素數性質分步證明孿生素數猜想，最后結合該表提出了兩種新的尋找已知素數后下一個素數的方法。

參考文獻：

[1] Zhang， Yitang.Bounded gaps between primes：Annals of Mathematics （Princeton University and the Institute for Advanced Study），May 21，2013.

（責任編輯 曾 卉）