敲定時間為隨機變量的情況下奇異期權定價問題研究

賈兆麗 楊舒荃 華鐸

摘 要 受保險精算中定價最小死亡保證金的啟發，當死亡發生時，會收到一定數額的財富作為補償，而這筆財富當作是一種支付，它不僅依賴于原生資產的當前價格，還依賴于之前的價格信息.可以把這個支付函數看做是一種特殊期權的收益函數.又由于隨機變量Tx（表示年齡為x的顧客從購買合約到死亡的時間段）的分布可以被近似地看做是幾個指數分布的線性組合.假設股票價格變化服從雙指數跳擴散過程.利用Lévy過程的指數停時的有關結果，給出敲定時間為隨機變量的情況下累計期權的價格公式的顯式解.這些定價方法可以用于與死亡相關的未定權益的定價，如各種養老金保險等.

關鍵詞 金融數學;奇異期權定價;數學分析;跳擴散過程;顯式解

中圖分類號 60J30文獻標識碼 A

Abstract At the time of death，a benefit payment is due，and the benefit payment is regarded as a payment function，which depends not only on the price of a stock at that time，but also on prior prices.The payment turns out to be the payoff of an option，because the distribution of the time of death Tx（that is the time-until-death random variable for a life age x from buying the contracts） can be approximated by a linear combination of exponential distributions.For simplicity，the analysis is made for the case where the time until death is exponentially distributed，which is independent with the stock price process.In this paper，stock price was assumed to follow a double exponential jump diffusion process.The results for exponential stopping of a Lévy process were used to derive a closed-form formula for a Knock Out Discount Accumulator，under the strike time is the random variable.The pricing method of this paper can be used for value equity-linked death benefits such as various annuities and so on.

Key words Financial mathematics;price of exotic options;process of jump diffusion model;Mathematical analysis;closed-form solution

1 引 言

在各種養老金保險及股指年金合約中，定價最小死亡保證金[1，2]支付（Guaranteed Minimum Death Benefits，簡稱GMDB）是保險精算的重要內容之一.受這種定價思想的啟發，定價與“死亡”相依的未定權益的收益.當死亡發生時，會收到相應的財富作為支付函數，而這種支付不僅依賴于當前的原生資產的價格，還依賴于之前標的資產的價格.可以把這個支付看作是一種特殊的期權收益.

在金融學中，將跳擴散過程用于描述原生資產的價格過程，這方面的文獻很多.Merton（1973）[3]首次在Black-Scholes[4]模型中引入復合Poisson跳，將跳擴散模型應用于股票價格模型中，并假設股票的跳躍幅度仍為正態分布，給出了標準歐式期權價格的顯示解.這是一個很重要的進步，它克服了幾何布朗運動不能解釋諸如厚尾分布等不足.

文章是按如下內容組織的：在第2部分預備知識中給出了一些有關隨機變量的分布.在第3部分中分別研究了與死亡相依的回望期權、障礙期權和累計期權的定價問題.這部分的創新之處在于敲定時間不是常量，而是隨機變量（指的是年齡為x的顧客從購買合約到死亡的時間段），處理方法在于用指數分布的組合去逼近該隨機變量.第4部分總結了主要結果，方法及貢獻.

2 預備知識

3 主要結果及其證明

3.1 回望期權的定價問題

3.2 障礙期權的定價問題

3.3 累計期權的定價問題

累計期權簡寫為KODA，累計期權包含兩個障礙一個向上敲出型障礙和一個向下確定執行價格的障礙上障礙由合約簽訂時依據當時股票價格加成一定百分比確定，在整個合約存續期間保持不變;下障礙由合約簽訂時依據當時股票價格一定的折扣率確定（即執行價格），在整個合約存續期間保持不變.它給投資者這樣的權利：在一年中的每個交易日里，只要標的股票的當日收市價高于下障礙，投資者可以按照事先約定好的折扣率購買一定數量（例如100股）的股票，這時投資者是盈利的;如果標的股票的當日收市價低于這個下障礙，投資者必須仍然按照約定的執行價格（高于結算日的即時價格）購買雙倍數量的股票（200股），這時投資者是虧損的;合約存續期間一旦標的股票價格超過上障礙，則合約自動終止.由合約的條款可以看出，投資這種衍生產品，收益是有限的（因為存在敲出價格），風險卻是無限的.