“圓的標準方程”教學設計與思考

金仁監

[摘 要] 在“圓的標準方程”的教學中，基于對教學內容、教學方法的分析，從教學情境創設、標準方程構建、變式訓練與實際問題的解決等角度，進行了詳細的教學設計與實施. 基于本內容的教學進行反思，發現對教學內容的定位，在學生實際與評價要求之間尋找平衡點，以及培養學生的數學意識，都是高中數學教學中需要重點關注的事項.

[關鍵詞] 高中數學；圓的標準方程；教學設計；教學反思

“圓的標準方程”是人教版高中數學（必修）教材第二冊的內容. 作為數學中的經典內容，學生在此前的數學學習中積累了大量的關于圓的經驗與知識. 到了高中階段，從方程的角度來描述圓，對學生的思維方式提出了新的挑戰，從而本內容的教學也就成為高中數學教學中具有一定標桿意義的事件. 在日常教學中，筆者對本課的教學進行了深入的思考，現結合本課的教學設計，談談筆者對本課教學的研究與感受.

[?] 教學內容分析

圓的標準方程在解析幾何內容中具有重要的基礎作用，同時具有承上啟下的地位. 從知識構建的角度來看，圓的標準方程是其他圖形方程學習的基礎，也是二次曲線學習的起始知識，直線與圓的關系、圓錐曲線等知識，均需在此基礎上進行構建. 從學生學習的角度來看，由于圓是學生研究最多的基本圖形之一，因此學生對圓有著豐富的感性認識，也有著豐富的數學知識作為支撐，也因此對其標準方程的學習，可以打開學生學習其他曲線方程的思路，可以為后面知識的學習形成一種較高思維水平的定式作用（思維定式并不總是消極的，很多時候學生的學習之所以沒有障礙，正是一定水平上的思維定式作用的結果）. 從這個角度講，圓的標準方程這一節課的教學，需要花大氣力進行基礎作用的奠基. 但是需要看到的是，解析幾何中對圓的研究，畢竟不同于學生此前的學習方式，尤其是通過方程來描述像圓這樣的曲線，學生在思維方式上就有困難，這種困難往往會影響學生構建對圓的標準方程認識時的學習心理，因此在教學設計中需要重視這一因素. 從問題解決（數學知識應用）的角度來看，本課需要結合高考要求，在讓學生運用圓的標準方程解決數學問題及實際問題的過程中，形成一種良好的直覺，即對于一些基本的與之相關的問題，要能夠在第一時間反映出其與圓的標準方程有關，需以之為工具實現問題的求解. 如上面所分析的一樣，這種基礎性的知識，只有成為良好的直覺，才能成為有效的解題工具.

結合基本的教學經驗，在教學目標的確定上，筆者以為本課的內容可以在協調好三維目標的基礎上具體制定這樣的教學目標：①掌握圓的標準方程，并能夠根據圓的標準方程反映出圓心坐標與半徑；②在圓的標準方程建立的過程中形成數形結合思想，深刻體驗用代數方法解決幾何問題的過程；③在用圓的標準方程描述圓的過程中體驗數學的簡潔美與對應美. 關于這樣的目標界定，筆者重點解釋一下第三個目標：從傳統的角度看，情感態度價值觀這一目標往往容易虛化，在實際教學中不容易得到真正的關注. 在筆者看來，就圓的標準方程這一教學而言，更實在的是讓學生在對圓的圖形的認識中發現其是最簡潔的基本圖形之一，而描述其的標準方程亦具有對稱、簡潔的特征，認識到這兩點即可，不需要追求過多、過空的所謂情感態度.

[?] 教學方法分析

教學有法，教無定法，貴在得法！對于圓的標準方程這一內容而言，采用什么樣的教學方法，是教學中需要高度重視的問題. 結合筆者此前的教學經驗，同時注意學生主體作用的發揮，筆者在此內容的教學中確定這樣的兩個教學方法：一是問題驅動（其中包括數學探究等環節），促進學生的數學建模；二是通過任務驅動的方法，促進學生應用圓的標準方程的知識解決問題.

對于這兩個教學方法的確定，筆者的思考是這樣的：一方面，本知識的基礎性作用，決定了其在學生的考試評價中需要發揮重要作用，因此首先必須考慮到考試的需要，因而用問題驅動可以讓學生不斷地突破最近發展區，從而形成一種較好的數學思維方式與學習習慣. 教學經驗表明，很多學生在數學學習中之所以感覺困難，就是因為沒有一種良好的數學意識與思維習慣，而像圓的標準方程這樣的基礎性知識，必須成為培養學生數學意識與思維習慣的良好載體. 另一方面，任務驅動可以在問題驅動的基礎上更好地發揮學生的內驅力，從而讓圓的標準方程的運用能夠真正成為學生的良好直覺，而這一思路其實也呼應了第一點對教學目標的闡述.

需要注意的是，教學方法的確定原則上只是宏觀角度對學生學習過程預設基礎上的，對教學行為判斷的產物. 在具體的教學過程中還需要根據細節進行適當地調整，如果將教學方法（包括教學過程）模式化，那這樣的教學方法確定是沒有意義的.

[?] 教學過程闡述

在圓的標準方法的教學設計中，筆者確定了這樣的三個步驟，現結合教學過程具體說明：

第一步，創設情境，激活思維. 圓的標準方程在生活中的應用看起來并不那么直接，因此情境的創設需要一定程度的思考. 筆者所選擇的是汽車過隧道的例子，將隧道的截面抽象成一個半圓，給出其半徑，然后提出問題：已知某車的寬度與高度，其能否進入這個隧道？這是一個被多人選用過的情境，其好就好在能夠將圓的標準方程巧妙地蘊含其中，同時學生又可以在原有數學知識的基礎上解決這個問題.

第二步，問題驅動，展開探究. 在上述問題的驅動之下，引導學生的思維對情境進行加工，并尋找問題解決的思路. 在教學過程中，筆者發現學生起初的思路是原有知識體系的產物，比如說有學生試圖通過勾股定理，去算出汽車對角線的距離并與圓的半徑進行對比. 這是一種思路，也能夠體現學生的已有能力水平，從最近發展區的觀點來看，教學中教師要做的就是從這個水平出發，讓學生的思維向圓的標準方程發展. 于是，數學探究的過程也就展開了. 此時，教師可以拋出一個問題：能否以坐標為工具，來解決這個問題？在問題驅動下的探究過程中，學生的學習思路大致相同，他們首先要在坐標上建立起隧道與汽車兩個對象（當然這是數學抽象的產物），然后將相關的數據記錄其中，于是隧道被抽象為圓心在原點、具有一定半徑的半圓，而汽車被抽象為一個已知長和寬的矩形. 于是實際問題也就成為一個純粹的數學問題，最終學生要比較的也就是直角坐標上圓的半徑與矩形對角線的長度的關系，而其中的難點又是圓的半徑的確定. 于是學生的研究重點就轉移到了坐標系的圓上來，這個時候教師進一步提出問題：如何在直角坐標系上描述一個圓呢？有此問題驅動，其后建立圓的標準方程與傳統教學就接軌了，考慮到同行們相對熟稔，此不贅述.

第三步，變式訓練，任務驅動. 這一步有兩個任務，一是向學生提出問題，如果圓心不在原點處，那圓的標準方程如何建立？二是呼應此前的實際問題，并給出新的實際問題，以讓學生具有一個運用圓的標準方程去解決不同難度實際問題的機會，從而形成良好的解題直覺.

在上述三個步驟中，關鍵在于學生思路的打開，也就是教學情境的創設與其的引導. 多年的教學經驗讓筆者意識到，很多時候學生感覺數學學習困難，并不完全是因為數學知識本身所謂的“難”上，而是學生入不了“境”，因而也就找不到“門”. 因此，創設情境非常重要，打開學生的思路亦很重要，有此兩個環節作為基礎，學生的思路一旦打開，后面的數學概念建構有時反而比較簡單，本節課的教學就是如此.

[?] 教學及其反思

反思本課的教學，尤其是將此次教學的整體過程與此前進行比較時，還是有所發現：

其一，數學內容的定位問題. 圓的標準方程在曲線方程中起著什么樣的作用？這樣的問題此前沒有仔細思考過，而一旦思考之后，就發現其在知識構建、能力形成乃至于數學意識與學習習慣形成方面都具有重要的作用，這種作用要想真正發揮出來，只能依靠好的教學設計.

其二，教學設計要在學生的基礎與考試要求之間做好平衡，過于偏向前者，則滿足不了考試要求；過于偏向后者，則學生的學習過程就是空中樓閣. 尋找這個平衡點，往往成為評價教師教學能力的關鍵，同時也是教師自身專業成長的著力點.

其三，數學意識是數學教學的重要方向. 筆者在圓的標準方程的教學中，注意比較過數學成績好與差學生的表現，結果發現數學學得好的學生，他們往往有一個極好的直覺，能夠迅速地判斷出數學學習的下一步方向，而學困生就缺乏這樣的意識. 有此觀察之后，筆者還注意研究過數學進步較快的學生的學習特點，發現他們的數學意識也挺好，這就使筆者確信數學意識的培養很重要.

以上是筆者對圓的標準方程的教學設計與思考，不當之處，還請各位同行批評指正.