與橢圓相關的高考定值問題的求解策略

江蘇省海州高級中學(222000) 謝 身 ●

與橢圓相關的高考定值問題的求解策略

江蘇省海州高級中學(222000) 謝 身 ●

橢圓相關的定值是高中數學的難點，也是高考數學的重點考查內容．本文以幾道近幾年的高考題為例，說明與橢圓相關的定值問題的求解策略，以供參考．

高考數學;橢圓相關定值;求解

一、設直線方程，求目標點坐標或線段長度

1．設一條直線方程，運用韋達定理整體求解

(1)求橢圓的方程;

(2)設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P．

(ⅱ)求證:PF1+PF2是定值．

例2 (2011年高考數學四川卷理科第21題)橢圓有兩頂點A(－1，0)、B(1，0)，過其焦點 F (0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q．

點評 通過設出一條直線的方程，將單個目標點轉換成兩個相關點(直線與橢圓的兩個公共點)，再由方程聯立消元，運用韋達定理進行整體運算，求出目標點坐標或是相關的線段長度，可以簡化運算過程，克服了列出方程(組)卻解不出來的困難(計算本身就是例2求解的難點)．

2．設兩條直線方程，由對偶性代換配對求解

例3 (2012年高考數學上海卷理科第22題)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1:2x2－y2=1．

(1)(2)略;(3)設橢圓C2:4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證:O到直線MN的距離是定值．．

點評 對于成對出現的目標點，常利用對偶性設出兩條直線的方程，分別與曲線方程聯立，通過代換或是同理得到兩個式子進行配對運算，可以起到整體求解、降低運算難度的效果．類似的考題有2010年高考數學山東卷理科第21題．

二、設相關點坐標，求目標點軌跡方程

1．設相關點坐標，設而不求整體代入，求出目標點軌跡

(1)求該橢圓的標準方程;

2．設相關點坐標，代入求點坐標消參，求出目標點軌跡

例5 (同例1)

一般地，與橢圓相關的定值問題的求解，歸根結底是運用方程的思想，將問題轉化為解方程(組)的問題，體現出解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質．解決的途徑是通過引入適當的參數合理地表示所求證的量，再消參后得出常數或是求得相應的軌跡方程，以算代證．這一類問題的求解對于轉化、計算都有著很高的要求，需要在平時的解題過程中重視并且學會進行轉化、計算，講求根據條件、結論進行合理設參、合理表示、合理變形、合理計算．

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