加強考試基本分析 科學提升教學效果

陳小祥 李慧

[摘 要] 如何有效地測評試卷，科學地提升教學效果？由于種種原因，教學過程中教師們往往從經驗、感覺、對錯統計、均分等角度出發評價試卷，進而調整教學，雖然說有一定的道理，但仍不夠科學和嚴謹. 如何在有效的時間內準確評估試卷和教學效果？本文以此為主題，結合自身教學實踐的案例，著重研究試卷分析中關鍵指標分析方法，進一步對如何科學地提升教學效果作了反思和總結.

[關鍵詞] 基本分析；多層探究；解題教學

[?] 問題的提出

隨著社會經濟水平的提升，人們對優質教育的需求愈發強烈，隨之而來的就是較為激烈的升學競爭. 競爭的加劇帶來了學校教育教學的諸多改變，最大的變化之一是原來存在于高三年級的頻繁考試逐漸延伸至基礎年級. 我們知道，測試評價的目的主要是：提供反饋信息，促進學生的數學學習；改善教師的教學；對學生數學學習的成就和進步進行評價；改善學生對數學的態度、情感和價值觀；修改包括課程、教學計劃在內的項目方案等[1]. 筆者反思自身的同時也了解到不少學校因為各種原因或多或少出現了以下一些常見問題：考試較多，分析較少；解題教學關注多，研究試卷命制及評價方法少；高考研究多，考后分析缺；分析不細致，反思不及時，總結不準確等. 本文主要結合筆者自身的最近一次的教學案例，對如何進行常態化的教學測試評價以及如何結合評價科學地提升教學效果做出自己的反思，不當之處敬請指正.

今年筆者接任高一年級卓越班（年級內較好的四個實驗班之一），由于經驗的慣性和常年教學高三的自信，認真忙碌了半個學期（寒假后到四月底），原以為準備充足的情況下學生能達到較好的水平，但結果卻出乎筆者意料，為什么會這樣呢？

[?] 基本分析

1. 基本數據分析

從表1來看，D班在第13、14、20題，特別是18題上的表現與其他班（特別是與最好班）的表現差距較大，在其他題目上的表現基本持平；從表2來看，D班第2、3段（130～139，120～129）上明顯偏弱，即優秀率不足，而且最后兩段學生偏多，這引起了筆者的關注，究竟是什么原因呢？

試題的難度系數是指試題（卷）的難易程度，一般用試題的得分率P表示，其值在0～1之間，數值越大說明越容易.P=，特別要指出的是，對全年級全部考生而言，本試卷的難度系數是0.68；對四個實驗班200名學生而言，難度系數是0.8. 實踐表明，試卷的難度一般應在0.60～0.70之間，而對于難度值為0.5的試題具有最好的區分度.

區分度是指試題對不同考生的知識、能力水平的鑒別程度. 一般而言，區分度達到0.3便可以接受，0.3以上為好題，0.4以上為優秀題，低于0.3的題目區分力差. 區分度D的計算方法常用的有：①得分求差法，D=. 將考生按所測題目從高到低排序，H表示高分組（總數的27%）的得分總和，L表示低分組（總數的27%）的得分總和，n表示高（低）組人數，XH表示高分組該題的最高分，XL表示低分組該題的最低分.此式適宜計算解答題的區分度. ②得分率求差法，D=PH-PL. PH為高分組得分率，PL為低分組得分率.

從全年級角度看此卷難度適宜，區分度高；從實驗四個班分析此卷較容易，但區分度不錯，13題高分組得分率為1，低分組為0，此題為區分度最高的問題. 另外，第14、18、19、20題都是優秀題目，然而若單從均分指標來看，第14題和第20題的第（2）、（3）問給筆者的第一印象卻是個廢題，不值得講評，但經過科學的測評筆者發現這是個好題.

2. 試卷試題分析

案例1：（第13題）D班比筆者任教的C班的得分低得較多，翻開試卷，問題出在第②小問上.

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，給出以下結論：

①A>B>C，則sinA>sinB>sinC；

②必存在A，B，C，使tanAtanBtanC

③若sin2A+sin2B>sin2C，則△ABC是鈍角三角形；

④若==，則△ABC是等邊三角形.

其中正確的命題的序號是______.

本題答案是①④，班級平均得分為2.1分，班級難度系數是0.42，屬于易錯較難題.

考查要點：正弦定理的理解及靈活運用，三角公式在化簡證明中的運用.

主要問題：D班學生在第③問上未能從已有的知識結構中尋找出合適的解法，沒搞清解題方向和目標，導致無從下筆，于是一些“投機”辦法橫行——找幾個特例代入驗證，發現找不到存在的；若是任意性問題，找到反例就可判別，又對于三個角的式子化簡與證明不熟悉，于是就想當然地認為是存在的. 顯然知識結構、思維方式和解題技巧都是有問題的，即使是筆者所任教的另一個基礎較好的班，均分也不高.

追根溯源：（1）兩角和正切公式的教學中，雖然設計了公式的變形及使用，但使用的層次較低（tanα±tanβ=tan（α±β）·（1?tanαtanβ）），僅局限于求兩個角正切值的和.

（2）對教材挖掘使用不力. 本題其實源于蘇教版必修四第102頁例題4，還配備了思考問題. 回看了教案，當時沒有弄清例習題設置的目的，沒有認真領會例習題設置的教學功能. 其實教參上作了很好的建議：本例是一個優美的三角恒等式，它可以喚起學生的美感，教學中要注意引導學生欣賞，并注意它在結構上的特點（由正切的和與積構成），由此可以得到思路. 對于拓展思考題，一般地，當A+B+C=kπ時結論成立，安排在這里，具有培養學生反思習慣的意圖[2]. 由于缺乏研究等原因，當時僅僅提了一下，覺得學生的能力較強，讓他們自習例題就可以了，而并沒有針對性地設計“戰術”將其涉及的教學提高到一個很重要的地位.

（3）沒有很好地引導學生反思總結，無論是結構特征上，還是具體解法上，乃至針對性練習上，共同的本質性的東西沒提煉出來，“含有正切的和與積的式子可考慮兩角（多角）和（差）的正切公式”“最主要的是讓學生注意到tan（α+β）可以用tanα和tanβ表示”（反之亦然）.

應對策略：可以問題串的形式將例題、思考題、練習題、變式題以小專題的形式組織起來，引領學生“一題多解”“多題一解”，最終提煉并反思出公式的使用條件、使用方式、拓展形式、共同的本質.

設計如下：

題1：在斜三角形ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. （多法）

題2：一般地，當角A，B，C滿足什么條件時，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立？反之是否成立？

題3：是否存在角A，B，C使得tanA+tanB+tanC≥tanAtanBtanC？

題4（蘇教版必修四第117頁練習）：

（1）已知三角形ABC中，tanA，tanB是方程3x2-7x+2=0的兩根，求tanC的值.

（2）求證：tan3α-tan2α-tanα=tan3α·tan2αtanα.

（3）化簡：.

題5（蘇教版第118頁題8）：證明tan（A-B）+tan（B-C）+tan（C-A）=tan（A-B）tan（B-C）tan（C-A）.

題6（蘇教版第118頁題9及變式）：

（1）若α+β=45°，求證：（tanα+1）（tanβ+1）=2；

（2）若（tanα+1）（tanβ+1）=2，求α+β的值；

（3）求值：（tan1°+1）（tan2°+1）（tan3°+1）…（tan44°+1）（tan45°+1）.

設計說明：方均斌教授認為，“數學問題教學過程中有5個探索點需要數學教師特別關注：選題、顯題、變題、鏈題、戀題，即重新審視數學問題的題源，關注數學問題教學中的呈現策略，對學生進行數學問題變化訓練，把學生相關的數學問題進行必要的鏈接，加強學生對數學問題解決的反思教學活動.”[3]

題1即是考試13題的題源之一，源于課本，潛移默化地引導學生重視課本，會用課本. 題2是將題目條件一般化，題3則是將結論前置，其實都涉及數學問題在教學中問題信息不同呈現方式的顯題環節，“顯題是問題教學展開的第一步，它的呈現策略是實現策略性教育功能聚焦的一種手段”.

題4則是回歸到題1背后的公式中去，變化題境、形式、條件等促使學生理解教學目標本身，需要說明的是，按方均斌教授所指出的在“為什么要變”“如何變”“誰來變”“何時變”等方面繼續研究會大有裨益. 如果說考試中該題出了較大的問題，至少可以說明教學中變題教學這一塊做得不夠.

題5和題6可以歸為鏈題的環節，鏈題是問題解決者對命題者意圖猜測及尋求問題源頭的一項舉措. 如果說變題是將問題“打散”的過程，那么鏈題則是問題教學的整合. 即通過一題一題的教學，從知識與方法上串合起來，形成“歸一”的過程. 題5是對源題的知識方法的鏈接，題6則是逐層對前面題目的解法和公式本身的應用鏈接. 當然，教師要作“之前見過類似的問題嗎”“涉及哪些知識”“可以與之前的哪些題歸類，為什么”“能否將此類題歸類”等引導.

至于戀題，簡單地說就是欣賞性地總結和反思，培養數學情感，挖掘數學文化. 就本例而言，至題6仍遠未結束：可以引導學生總結解題的基本規律，回顧解答一類題的基本知識、基本方法和活動經驗，引導學生揣測命題者的意圖以拉近學生與命題者的心理距離，引導學生欣賞本題的優美結構并存疑——三角形中有無類似涉及正余弦的優美等式（不等式）？能否證明？能否一般化？以提高學生的興趣，培養他們的數學情感并促其探索數學文化.

從統計來看，第11、12這兩道數列題班級之間幾無差距，說明基礎性問題的教學是到位的，但第14、18、20題D班的得分明顯落后，則一定程度上可以說明教學要么沒有很好地結合學情，要么就是教學本身有些地方做得未到位.

案例2：（18題）已知數列{an}的首項a=1，且an+1=2an+1. （1）求數列的通項公式an；（2）設數列{cn}對任意n∈N*，都有++…+=an+1成立，求c1+c2+…+c2016的值.

該題的平均得分是2.1分，班級難度系數是0.52，明顯低于四個班總體難度系數0.6，更是遠低于C班的0.65，屬于高錯誤問題.

（20題）各項均為正數的數列{an}中，前n項和Sn=

2. （1）求數列{an}的通項公式；（2）若++…+

該題的平均得分是7.6分，D班難度系數是0.47，低于四個班總體難度系數0.51，更是遠低于C班的0.55，屬于較難問題.

考查要點：已知遞推關系式以等差、等比數列為載體考查通項和或求和，嵌入恒成立等問題到數列的最值、單調性中.

主要問題：D班基礎較弱的學生對簡單的數列構造方法不熟練，直接導致大量失分，18題第（2）問和20題第（1）問中由“和項式”求通項這一基本模式的識別缺位，說明常見技能掌握不到位；18題第（2）問多次強調的n=1驗證問題依然沒有得到很好的解決.

追根溯源：（1）具體學情的忽視. 即使是均分差不多的班級或學生也存在巨大的差異，其實D班文科類科目很強，理科類科目如數學、物理一直薄弱，這一基本差異的忽視，導致課堂的設計、進度、方式都同于理科較強的C班，顯而易見會出問題.

（2）教學設計的缺位. 就本題而言，平時的教學中相似的問題也算是反復練、練反復了，遺憾的是，大多數時候18題第（1）問的設問方法諸如“證明數列{an+1}是等比數列，并求數列{an}的通項公式”之類的，主觀認為構造不大能考，于是課堂中最多就是干癟地“即興”帶一句“若去掉證明，直接求通項怎么辦”之類的幾乎無效的問題. 換言之，相關的設計缺乏層次性、系統性、靈活性以及針對性訓練.

（3）總結提煉的膚淺. 18題第（2）問的本質是由“和項式”求通項，求和問題的本質是求簡意識和劃歸思想，在對結構的剖析歸類、方法思想的提煉上做得不夠，對“為什么要驗證”的問題重復得不夠，引導不透，導致在核心問題（通項求和）上練得不少但細節不好，講得不少但效率不高.

應對策略：針對學情適調方式：D班需要教師多一些的引導講授并給予充足的時間反思整理；設計題組專題攻克難點：針對構造法、由“和項式”求通項不熟，首項驗證好忘等問題，系統設計針對性的小專題，以變式題組成的問題串和通項求和的常規技巧方法為主要方式和內容組織補償性教學；復習教學中加大對數列的一些重要方法、重要公式、常用性質的教測力度，做到講透練熟，并繼續加強“通解通法”的教學，以提升數列知識的理解程度，提高復習效率.

對難度最大的14題和20題第（3）問，盡管卷面的統計看區別并不大，但若從實驗班的角度衡量，教學中也存在諸多問題.

案例3：（14題）設數列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*且a1，a2+5，a3成等差數列，則此數列的通項公式an=________.

（20題第（3）問）各項均為正數的數列{an}中，前n項和Sn=

2是否存在正整數m，k，使得am，am+5，ak成等比數列？若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由.

14題平均得分0.3分，D班難度系數是0.06，屬于很難的問題.

考查要點：14題其實屬于類等比（差）數列，20題第（3）問屬于數列中的整除問題，此類問題主要是數列與其他主干知識的綜合問題的考查，是訓練學生思維的很好的載體. 通過這些問題的解決，學生分析問題、解決問題的能力能得到較大的提高，往往是高考中的難點，多以壓軸題的形式出現，對考生有很好的甄別與選拔功能.

問題分析：14題其實是2012年廣東高考理科19題的第（2）問，“和項式”的初步處理問題不大，但n≥2的問題會干擾學生順利求出an，即使得到an的遞推關系式后，若構造技巧不嫻熟或疊加應用不自如，則成功的可能依然很低. 20題第（3）問其實某種程度上屬于難題中的常規問題，因為有跡可循，就統計發現，競賽班里的系統講授過的學生解答得就很好；反之，平時考試中雖涉及，但講評后不系統歸納，不組織延伸拓展，不正確的主觀引導等思想態度很容易誤導學生失去對此類問題的關注與興趣，久而久之，學生的能力得不到提升，優生的優勢得不到體現. 總之，最大的問題筆者以為是教師專研的薄弱、導向的失誤、設計的缺失.專研薄弱則眼界淺窄，導向失誤則錯失良機，設計缺失則無分無能.

應對策略：此類問題的解決不再是補題、補課的問題了，而是改變執教思路，針對學生的學情優化自身的教學理念.優生應該有優師，“優”要優在理念先進、專研深厚、設計精到，除了平時自己的積累，學習他人之長也不失為高效的法門. 只要關注和思考結合學情就會有收獲，此類問題的精心設計必會點燃優生們的學習熱情，能達到多重教學功效.

3. 其他分析

案例4：（19題）扇形AOB中，圓心角AOB的大小等于，半徑為2，在半徑OA上有一動點C，過點C作平行于OB的直線交弧AB與點P. （1）當OC=時求線段PC的長；（2）設∠COP=θ，求△POC面積的最大值及此時的θ值.

（17題）錯位相減法求和問題.

問題分析：此兩題兩個班考試情況相對而言都比較好，究其原因，首先與此題相關的三角函數化簡求值學生掌握得很好有關；其次與之類似的問題處理得比較扎實有關. 可概括為：專題突破、變式引領、先學后教、展示拓展、一題多解、多題一解、當堂整理、課后鞏固等環節做得比較到位.

19題筆者有過較多的研究，其教學可概括為：專題以聚焦、題組以系統、變式以拓展、多解以開思、展示以破難、反思以升華.

題7（蘇教版必修四第122頁例5）：在半圓形（如圖2）鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取才能使這個矩形的面積最大？

[D][A][B][C][O]

圖2

題8（蘇教版必修四第121頁思考）：在一個圓的所有內接矩形中，怎樣的矩形面積最大？

題9（蘇教版必修四第132頁習題18）：如圖3，在半徑為R、圓心角為的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內接矩形MNPQ，使得點Q在OA上，點M，N在OB上，求這個矩形面積的最大值及相應的∠AOP的值.

[M][A][Q][P][O][N][B]

圖3

題10（2012南京二模）：如圖4，現在要在一塊半徑為1，圓心角為的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在AB弧上，點Q在OA上，點M，N在OB上，設∠BOP=θ，平行四邊形MNPQ的面積為S. （1）求S關于θ的函數關系式；（2）求S的最大值及相應的θ的值.

[M][A][Q][P][O][N][B][M][A][Q][P][O][N][R]

圖4

題11：如圖5，在半徑為R、圓心角為的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內接矩形MNPQ，使得點Q在OA上，點M在OB上，P，N在弧AB上，求這個矩形面積的最大值及相應的∠AOP的值.

而對于17題錯位相減問題，同樣精心做了針對性的設計，并集中進行了反復的訓練，對于這樣的程序性知識集中時間和精力專項突破效果較好.

[?] 感悟反思

1. 加強試卷基本層面分析的實效性

平均分、分數段、難度系數、區分度及其在相應的群體中的對比是有效分析試卷查找問題的基礎. 筆者認為，數學教師至少應該知道一些基本的卷面分析評價知識并形成自己的分析模式，重要的是分析后的對策尋求和即時施教（進一步的研究可參考北京師范大學張英伯、曹一鳴教授主編的數學教育叢書中分冊、馬云鵬等教授編寫的《數學教育測量與評價》等書），雖然不一定每次都必須如此分析，但對于大型的校月考聯考、區市統考、中高考還是需要精確分析的，數據在精確分析后才有其更高的價值.

2. 重視教材的使用方式和挖掘層次

一方面，正如何睦老師所言：“關注教材的邏輯性價值以形成學科的‘大觀念（如學完解三角形后可就目錄引導學生：為什么學完三角函數后學向量，然后是三角恒等式和解三角形），幫助學生提高解題能力；關注教材的規范性（如本文題1、7）、拓展性（如本文題4、5、6、8）、探究性（如本文題2、6）價值以全面提升學生分析問題、解決問題的能力.”[5]另一方面，也可依照潘振嶸老師的“挖掘教材例習題的數學背景、變式功能（“一題多解”和“一題多變”，反思教學）和應用功能，激發學習興趣、促進思維發展、培養應用意識”.[6] 思考如何使用教材，如挖掘時可從問題的數學史背景、幾何背景、高考背景、美學背景等視角思考隱含價值，至于變式價值和應用功能的挖掘，只要多點思考大多總能從教材中理出線索，進而串成網.

3. 研究學情、教法、理論和解題

時間緊、任務重、進度急，幾乎是我們一切問題的主要原因，而罔顧學情，不作分析，多憑經驗的教學再結合殷希群先生所言“有效教學意識不強，自始至終盯住高考，策略準備不足，采用灌輸（不過是誰灌輸的差別）成績與教學有效背后的興趣和教育缺失和過度教學造成的低效、無效和負效”，或許是勞而無功的最好注腳.這就需要我們回歸到教學的基本層面中來. 近些年，我們在各種活動中往往迷失了方向，回歸意味著我們需要研究學情，摸透學情，在此基礎上加強教育教學理論學習和解題研究，在深刻理解各種常用理論和常用教學模式（方式）、系統掌握知識方法的來龍去脈和相關載體問題的聯結關系的前提下，選擇合適的教法針對性地設計教學或許才能“幫助學生不斷優化五個基本的學習環節：預習、上課、復習、作業、小結；幫助學生不斷轉變五種基本的學習方式：度、問、思、議、展；幫助學生不斷地達到五種常態學習境界：懂、會、熟、巧、通”.[7] 最終不斷地提升教學效果，達到學生和教師的共同發展.

參考文獻：

[1] 馬云鵬，孔凡哲，張春莉. 數學教育測量與評價[M]. 北京：北京師范大學出版社，2009，11：36

[2] 高中數學教學參考書·數學4（必修）[M]. 南京：江蘇教育出版社，2012，7：138.

[3] 方均斌，梁凱，朱玲. 數學問題教學探索的五個探索點[J]. 數學教育學報，2016，25（1）：47-50.

[4] 陳小祥. 一道質檢題引發的探究和反思[J]. 數學通訊，2014，11：46-49.

[5] 何睦. 例談關注教材價值的若干視角[J]. 數學通訊，2014，11：9-11.

[6] 潘振榮. 摭談對教材例、習題功能的深層次挖掘[J]. 數學通訊，2015，5：20-22.

[7] 殷希群. 怎樣才能“把方法教給學生”[J]. 數學通訊，2012，5：1-2.