雙材料裂紋問題的積分方程方法

呂 君，柴國鐘(.浙江工業大學 機械工程學院，浙江 杭州 3004；2.義烏工商職業技術學院 機電信息學院，浙江 義烏 322000)

雙材料裂紋問題的積分方程方法

呂 君1，2，柴國鐘1
(1.浙江工業大學 機械工程學院，浙江 杭州 310014；2.義烏工商職業技術學院 機電信息學院，浙江 義烏 322000)

雙材料；裂紋系統；應力強度因子；積分方程

雙材料斷裂力學問題的研究，最早始于WILLIAMS[1]對雙材料界面裂紋問題的研究，發現了界面裂紋尖端的應力場和位移場具有I-II型相互耦合的振蕩奇性，從而為雙材料斷裂力學問題的研究建立了理論基礎.隨后，主要是20世紀80年代以后，隨著涂層材料在工程中越來越廣泛的應用，人們用數值分析[2-7]和實驗研究[8-10]等方法對雙材料斷裂力學問題開展了廣泛的研究，取得了一系列的成果.但這些研究主要針對非界面裂紋及單個界面.

1 基本理論

1.1 基本解

對于彈性平面問題，應力分量由復應力函數Φ(z)和Ω(z)所確定：

σxx+σyy=4ReΦ(z)

(1)

對于圖1所示雙材料無限平面，在點s=s(x0,y0)處作用一單位力f=1·eiθ，其應力函數為

圖1 雙材料平面內單位力和單位位移不連續Fig.1 Unit force and unit displacement discontinuity in the double material plane

(2)

式中：δmn為Kronecker記號；m，n分別為加載點和求解點所在區域(m，n=1，2)；

在式(2)中分別令θ=0和θ=π/2，代入式(1)，可確定x方向單位力和y方向單位力作用下的應力σijk(z,s)基本解(單位力基本解，稱為第一基本解)，其中的第三個下標k表示單位力作用方向，計算結果為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

1.2 積分方程和應力強度因子

考慮圖2所示的雙材料無限平面，含有M個裂紋(其中1～M′個非界面裂紋和M′+1～M個界面裂紋)，其中任意第m個裂紋的幾何參數定義如圖2所示.對于該裂紋問題，可建立積分方程：

圖2 雙材料平面內多裂紋問題Fig.2 Multiple-crack problems in the plane of bi-material

(25)

令xm=ξam和xk=ξkak，式(25)可簡寫為

(26)

求解該積分方程，得到任意第k個裂紋的上下

表面相對位移Δuxk(ξ)和Δuyk(ξ)，并由此確定裂紋應力強度因子：

1) 對于非界面裂紋，有

(27)

(28)

2 邊界元數值方法

2.1 裂紋單元

為了數值求解積分方程式(26)，將每個裂紋離散成N個單元，得到離散形式的積分方程為

(29)

表面沿im方向的相對位移.

由于裂紋尖端附近裂紋上下表面相對位移具有如下奇性：

2) 界面裂紋(I-II型耦合振蕩奇性)有

為了高精度反映這種奇性，對于各單元內裂紋上下表面相對位移，取如下模式：

1) 非界面裂紋有

(30)

2) 界面裂紋有

(31)

將式(30，31)代入式(29)，有

(32)

2.2 數值方法

當ξ和ξk不在同一單元內時，式(32)中右邊各項積分可按通常的數值積分方法進行計算.

(33)

(34)

其中

(35)

1) 非界面裂紋為

(36)

2) 界面裂紋為

(37)

將式(34)代入式(33)，式(33)可寫為

(38)

其中

(39)

(40)

(41)

1) 非界面裂紋為

(42)

(43)

2) 界面裂紋為

(44)

(45)

(46)

而由式(35)Res=0(ξ-ξk)2可知：式(41)已無奇異性，可按通常的數值積分方法進行計算.

3 典型算例

3.1 算例1

單個非界面斜裂紋如圖3所示.

圖3 雙材料平面中的斜裂紋Fig.3 Oblique crack in the plane of bi-material

表1 斜裂紋受均布壓力時的無量綱應力強度因子Table 1 The non-dimensional stress intensity factor of inclined cracks under uniform pressure

由表1可見：由于受界面干涉，除了Ⅰ型外，還存在Ⅱ型應力強度因子，且與μ1/μ2，y0/2a，θ有關.筆者計算結果與文獻[12]的結果一致(相差不超過10-3).

3.2 算例2

界面裂紋和非界面裂紋的干涉如圖4所示.

圖4 雙材料平面中的兩條裂紋Fig.4 Two cracks in the plane of bi-material

由圖4可知：雙材料無限平面內有兩條裂紋，受遠場應力σ∞.其中界面裂紋的中心位于坐標的原點，長度2a1=200；非界面裂紋長度2a2=20，d=15，L2的中心點到L1的右端點與界面的夾角θ為變量，給定的雙材料的相關參數：材料1為Al2O3,μ1=1.792×1011N/m2,ν1=0.207;材料2為Cu,μ2=0.478×1011N/m2，ν2=0.345.

表2 兩條裂紋(含界面裂紋)受遠場應力時的應力強度因子Table 2 Stress intensity factor of two cracks (including interface cracks) under far field stress

4 結 論

[1] WILLIAMS M L. The stress around a fault or crack in dissimilar media[J].Bull,1959,49:199-204.

[2] GOSHIMA T,TAKAYAMA H.Thermo mechanical cracking in a surface layered medium due to rolling contact with frictional heating[J]. On the normal stresses and related topics,1995(1):67-70.

[3] MILLER T C,CHONA R.Finite element analysis of a thermally loaded interface crack in a ceramic coating[J].Engineer fracture mechanics,1998,59(2):203-214.

[4] NIKISHIN V S. Axisymmetric contact problems for a two-layer elastic half-space with an annular or circular crack at the interface of the layers[J]. Journal of applied mathematics and mechanics,2002,66(4):651-660.

[5] NODA N A, KAGITA M, CHEN M C, et al. Analysis of stress intensity factors of a ring-shaped interface crack[J]. International journal of solids and structure,2003,40:6577-6592.

[6] 柴國鐘，李祥輝，吳化平，等.界面裂紋和印章材料性能對轉印技術的影響[J].浙江工業大學學報，2014，42(2)：119-123.

[7] 張盛明，柴國鐘，鮑雨梅，等.熱應力下雙材料表面裂紋的應力強度因子[J].浙江工業大學學報，2011，39(2)：197-200.

[8] VOEVODIN A A, IARVE E V, RAGLAND W, et al. Stress analyses and in-situ fracture observation of wear protective multilayer coatings in contact loading[J]. Surface and coatings tech,2001,148:38-45.

[9] 張迎軍，鮑雨梅，柴國鐘，等.接觸載荷下多層結構中央裂紋KⅠ的數值研究[J].浙江工業大學學報，2011，39(2)：201-205.

[10] JINNESTR M, BRODIN H. Crack initiation and propagation in air plasma sprayed thermal barrier coatings[J]. Material science and engineer,2004,379(1/2):45-57.

[11] IOKIMIDIS N I. Application of finite-part integrals to the singular integral equations of crack problems in plane and three-dimensional elasticity[J]. Acta mechanics,1982,45:31-47.

[12] 杜云海，樂金朝.雙材料平面斜裂紋問題超奇異積分方程方法[J].機械強度，2004，26(3)：326-331.

[13] CHEN Yiheng. A consistecy check for strongly interacting multiple crack problems in isotropic[J]. International journal of fracture,1998,89:333-353.

(責任編輯：陳石平)

Integral equation methods for the problem of bi-material crack

Lü Jun1,2, CHAI Guozhong1
(1.College of Mechanical Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China；2.School of Mechanical and Electrical Engineering, Yiwu Industrial&Commercial College, Yiwu 322000, China)

bi-materials; crack system; stress intensity factors; integral equation

2016-06-28

國家自然科學基金資助項目(51275471)；浙江省科技計劃項目(2014C33030)

呂 君(1980—)，女，浙江東陽人，副教授，博士研究生，研究方向為復合涂層材料機械強度的數值分析與實驗研究，E-mail：lvjun61258@163.com.

O346.1

A

1006-4303(2017)02-0130-07