只見樹木不見森林

余壽華

【中圖分類號】G633.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）27-0133-02

分數除法是小學數學的一個難點，特別是當分率與具體數量同為分數時，學生更感覺無所適從。為什么在我們看來非常明顯的數量關系，學生卻困惑難解？我認為這里既有教學的原因——分數意義建構不完整，也有教材的問題——編排缺乏系統性。

一、緣起

分數除法單元檢測中有這樣一題“李明分鐘跑步千米。他平均每分鐘跑多少千米？他跑1千米要多少分鐘？”竟然有一半的同學出現錯誤。類似這樣的問題還有很多，學生總是鬧不清楚該用誰除以誰。這引起了我的思考，是學生思維發展沒有達到解決此類問題所需的水平，還是教師教學失誤？我做了進一步的研究，以期找到原因，使學生掌握分數除法。

二、思考

是什么造成了學生的困難？我覺得有以下幾個原因：

1.認知水平的影響

（1）直觀的除法與抽象的分數

無論整數除法還是分數除法，共同的本質是除法運算。為什么整數除法學生的思路是清楚的，而到了分數除法中就糊涂了呢？

當學生面對“一臺織布機小時可以織布米”這樣的情境時，無論是“米÷小時”還是“小時÷米”都無法用平均分來解釋，故無法順利地將新知納入已有的經驗中。

是什么造成分數除法與整數除法的割裂呢？再看學生分數概念的形成過程。三年級第一次接觸分數時，是這樣認識分數的“把一塊月餅平均分成兩份，每份是這塊月餅的一半，也就是它的二分之一，寫作。”五年級第二次認識分數時，是這樣認識分數的“一個物體，一些物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。”通過比較不難發現，這兩次認識的路徑是相同的，都是用來表示平均分的結果，區別只是否用語言進行概括。

這樣學習的結果是學生看見“米布”立刻想到“把1米布平均分成3份，表示這樣的2份”?？吹叫r立刻想到“把1小時平均分成5份取其中的4份”。按照這個思維模式，與“小時÷米”相對應的表象是什么？“把1小時平均分成5份取其中的4份÷把1米布平均分成3份取其中的2份”，此時中間的除法無論是說成平均分還是包含都說不通，而且布怎么可以平均分時間呢？這太不可思議了！學生沒有意識到，分數除法算式的意義不是分數意義的簡單疊加，它是可以脫離分數的意義獨立存在的。

之所以出現這種現象，是因為學生對分數的理解仍停留在直觀的平均分水平，沒有形成抽象的分數概念。對上題中小時和米，根本無需分析它所代表的意義，只有暫時放棄對數的意義的關注，轉而關注數量關系，才能理解這類問題的本質——總數、份數和每份數，才能順利解決問題。

（2）熟悉的生活情境和陌生的數量關系

新課程提倡在具體的問題情境中解決問題，不提倡數量關系的概括與歸類，認為概括數量關系后易造成學生按照某個固定模式分析數量關系，并利用數量關系“套路化”地解決問題，從而縮小學生思維的空間。這樣改革的結果是學生對少量熟悉的情境用生活經驗無需思考輕松解決，對大量陌生的數量關系難以歸類無從下手。

注重問題情境與概括數量關系并不矛盾，從某種意義上說，概括是抽象必然的結果。要讓學生熟練地解決一類問題，必須進行適當的數量關系的研究與概括。以上題為例“一共織布多少米”“每小時織布多少米”“織了多少小時”組成了一個有關工作總量、工作效率、工作時間的數量關系，它們又可以進一步抽象為總數、份數和每份數的數量關系。這樣陌生的織布問題就與熟悉的平均分結合在一起了。學生會自覺將“每份數×份數=總數”“工作效率×工作時間=工作總量”與“每小時織布米數×小時=織布總數米”建立聯系，甚至根據乘除法互逆關系得出“每小時織布米數=織布總數米÷小時”。

2.教材編排的偏差

學生認知水平除了受學生思維發展水平影響，教材編排有沒有可以改進之處呢？我查閱了人教版小學數學1-12冊教材，嘗試從教材編排中找原因。

二下是學生第一次學習除法，第二單元《表內除法一》教師用書明確指出：本節教材主要是讓學生在具體情境中通過實踐操作明確平均分的含義，在頭腦中形成平均分的表象，進而讓學生在具體情境中體會除法運算的意義。（《教師用書》P32）

第四單元《表內除法二》重點有二：一是使學生熟練應用乘法口訣求商；二是使學生經歷從實際問題中抽象出一個數是另一個數的幾倍的數量關系的過程。教學難點是應用分析推理，將一個數是另一個數的幾倍是多少的數量關系轉化為一個數里面有幾個另一個數的除法含義。也就是說二年級第一次接觸除法時，學生了解的除法的意義有二：一是平均分；二是包含。（二下《教師用書》P82）

綜上所述，從教材的編排看，教材對學生除法概念的形成缺乏系完整性和嚴密性，除法的意義的形成局限于平均分和包含兩個數學模型。既缺少常用數量關系的概括，更缺少除法是乘法逆運算的思考。正是學生對除法意義理解的缺陷，造成學生解決分數除法問題的困難。

三、解惑

數學的本質是抽象，一個蘋果和一群小羊都可以用數字“1”表示，為什么不能用總數和每份數來概括路程和速度呢？總數、每份數的抽象程度并不比單位“1”更高，有眾多的生活情境做支撐，完全可以把行程問題、工作量問題、價格問題、工程問題等都納入到這個數學模型中，通過建立模型簡化問題。

我們以上題為例：李明分鐘跑了千米，他平均每分鐘跑多少千米？他跑1千米要多少分鐘？

（1）平均每分鐘跑多少千米？

速度本質上是單位時間的路程。把路程作為總數，時間作為份數，用總數除以份數，得到的就是每份數——每分鐘跑多少千米。雖然這個份數與學生熟悉的3份、5份有所不同，但是沒關系，此時根本不需要考慮這個問題，要關注的是數量關系，而不是每個數的意義。

（2）跑1千米要多少分鐘？

如果每份數是時間，總數當然也是時間，路程反而變成了份數，數量關系仍然是總數÷份數=每份數，總時間÷千米數=每千米需要的時間，分。

這樣無論是求速度還是每千米需要的時間，都納入“總數÷份數=每份數”關系之中，不同的問題用同樣的數量關系解答，降低了學生記憶的負擔。

四、結束語

學生的錯誤本質上是學生的抽象水平不足，面對紛繁的問題無法從具體的情境里跳出來，只見樹木不見森林，造成分析數量關系的困難。新課程淡化了數量關系的概括，客觀上影響了學生對除法意義的再認識，從而造成學生知識的割裂，不能自覺同化整數除法與分數除法，從而形成學習困難。

把這類問題的基本數量關系概括為“每份數×份數=總數”，可以避免分數意義對除法意義的干擾?！胺N瓜得瓜，種豆得豆”的比喻形象地說明了總數與每份數之間的關系，有助于學生進一步理解乘除法的互逆關系。既能幫助學生解決生活中簡單的實際問題，又有利于學生抽象水平的提高。