最小二乘法在傳感器實驗中的應(yīng)用研究

寧顯斌

摘 要：在傳感器實驗中，常常需要由一些離散的實驗數(shù)據(jù)組擬合出該傳感器的輸入輸出特性曲線。線性或非線性傳感器實驗曲線的擬合，如采用簡單的擬合方法來處理，會使得擬合出來的曲線與實驗曲線的誤差不理想，該文采用最小二乘法對實驗數(shù)據(jù)進行擬合。以MATLAB對傳感器輸入輸出的實驗數(shù)據(jù)進行處理，應(yīng)用最小二乘法進行曲線擬合，選擇合適的擬合函數(shù)使得其誤差最小。

關(guān)鍵詞：最小二乘法 傳感器實驗 曲線擬合

中圖分類號：TP212 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）11（c）-0014-02

在傳感器產(chǎn)品試驗中，往往需要根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，得出輸入輸出之間的關(guān)系，即輸入與輸出之間的標定曲線。對于線性傳感器，其輸入輸出特性曲線接近直線；非線性傳感器，其輸入輸出特性曲線通常呈現(xiàn)不同的非線性。不論線性或非線性傳感器，根據(jù)約定的非線性度，總能在試驗數(shù)據(jù)中找到某一區(qū)域，使得其輸入輸出特性呈線性。而某些傳感器在應(yīng)用過程中，需要求得其完整的標定曲線。因此，根據(jù)試驗所得數(shù)據(jù)進行傳感器特性的標定成為了產(chǎn)品試驗的必要步驟。最小二乘法正好可以很好地處理實驗數(shù)據(jù)，并根據(jù)實驗數(shù)據(jù)擬合出輸入輸出特性曲線。該方法的主要優(yōu)點在于誤差最小。

1 最小二乘法的原理

圖1為實驗數(shù)據(jù)折線圖與擬合曲線。已知實驗數(shù)據(jù)（Xi，Yi）（i=1，2，…，n），設(shè)需擬合的直線為y=f（x）=kx+b，需確定的直線方程參數(shù)為k和b。根據(jù)最小二乘法，構(gòu)建函數(shù)Φ（k，b），使得擬合出來的直線與實驗數(shù)據(jù)的誤差最小。即

2 MATLAB中進行曲線擬合

對一組數(shù)據(jù)進行建模的最簡單方法是將其作為直線來看待。而在實驗過程中，通常實驗結(jié)果就是這樣的一組離散的數(shù)值，對這樣的數(shù)組，用直線對其進行建模，稱為實驗數(shù)據(jù)的線性回歸。在MATLAB中有內(nèi)置的擬合函數(shù)，可以用來對經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行建模。這種建模僅在所收集的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)是可行的。如果參數(shù)y隨x的變化規(guī)律是未知的，那么，數(shù)據(jù)擬合方程就不能預(yù)測所收集數(shù)據(jù)范圍以外的情況。線性回歸在MATLAB中用函數(shù)polyfit實現(xiàn)，該函數(shù)要求3個輸入內(nèi)容：x值矢量、y值矢量和一個用來表示擬合多項式結(jié)束的整數(shù)。

3 MATLAB確定實驗曲線

當實驗數(shù)據(jù)在有效量程范圍內(nèi)呈現(xiàn)出明顯的非線性，即該傳感器為非線性傳感器時，需要確定該傳感器的輸入輸出特性曲線，此時應(yīng)用一階線性回歸的辦法來擬合曲線是明顯不合適的。因此可以尋求多項式回歸進行擬合。

衡量擬合程度的效果用以下方法：

其中為樣本值與擬合曲線在該樣本點的函數(shù)值之差。Δ稱為誤差的平方和，該值越小，則實驗樣本值與擬合曲線的重合性越好。以下是光纖位移傳感器的實驗數(shù)據(jù)處理。

（1）四階回歸（如圖2）。

誤差的平方和為：3.0811e+004

（2）五階回歸（如圖3）。

誤差的平方和為：2.4989e+004。

由以上擬合曲線的誤差平方和的情況看，曲線的多項式回歸呈現(xiàn)這樣的趨勢：方程中的項數(shù)越多，擬合效果越好，至少實際樣本數(shù)據(jù)點和預(yù)測數(shù)據(jù)點之間的距離減小。

4 結(jié)論

根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)的處理過程，發(fā)現(xiàn)利用多項式回歸進行曲線的擬合，多項式的階數(shù)越高則其誤差越小。最小二乘法是能使擬合出來的曲線與實驗數(shù)據(jù)的誤差最小的一種實用的方法。總結(jié)以上得到曲線擬合的基本方法。

（1）確定實驗曲線的特性，如直線特性或非直線特性。

（2）確定試驗曲線對應(yīng)的函數(shù)特性，如冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。

（3）選用合適的曲線擬合工具，如MATLAB。

（4）對比擬合結(jié)果，根據(jù)擬合的性能指標最終確定擬合曲線的函數(shù)解析式。

參考文獻

[1] Holly Moore.MATLAB實用教程[M].高會生，劉童娜，李聰聰，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2013.

[2] 唐文彥.傳感器[M].北京：機械工業(yè)出版社，2006.

[3] 張玉蓮.傳感器與自動檢測技術(shù)[M].北京：機械工業(yè)出版社，2012.