思維與本質：中學數學教學方法與內容的核心

陳龍

中學數學教學，因其受眾的特殊以及囿于學考的艱難權衡，所以呈現出與生活常態(tài)數學、學院學術數學等諸多數學領域不同的面目與姿態(tài)。由此論說的基點來審議當下中學數學教學，筆者發(fā)現，在教學方法的選擇以及教學內容的確定上，存在著一定的困弊，需要深度辨識、厘清與規(guī)避。

1 思維過程指導的缺失：數學教學方法的內傷

思維，是高揚在中學數學教學領域中的一面大旗。這面旗幟似乎成為了中學數學學科、甚而整個中學理工學科“包治百病”的萬能詞匯。當學生數學學業(yè)成績較差，有數學老師在旁指點：“要注意數學思維的訓練啊！”數學老師在專業(yè)研究中也喜歡大談特談“思維重要性”。下面，我們來審議江蘇省數學特級教師張乃達關于“三角形內角平分線性質定理”的教學升格案例：

1.1 原始教學設計

如右圖：AD 是∠BAC的平分線，AE = AC。

求證：

思考：從上面的例子中可以發(fā)現三角形的內角平分線有什么樣的性質？寫出證明。

1.2 升格教學設計

（1）證明線段成比例有哪些方法、定理？

（2）怎樣創(chuàng)造條件在本題（如右圖）中使用平行線截得比例線段定理？

（3）延長AB到E，使AE=AC，問題轉化為證明什么？

這樣的提示，可以控制提示的水平，也可以適應不同水平學生學習的需要，不會束縛學生思維。例如，學生在上面的提示下，會想到如圖所示的新證法：

（取AE=AC，引EF∥AD，證ED=DC）

如果出于教學的需要，打破了上面提示的順序，則可以通過“反思”這個環(huán)節(jié)，來揭示被超越的思維過程，如在上述教學設計中，加上教學程序“4”。

（4）如果沒有問題（1），你能直接給出三角形角平分線性質定理的證明嗎？輔助線AE、EC是根據什么想出來的？

顯然，由原始與升格的對比觀照而言，我們不難發(fā)現：當下中學數學教學中，思維指導缺失的主要表現在“忽視概念定律結論的形成推導”“忽視數學具體方法的思考運用過程”以及“數學問題的發(fā)現的過程”等方面。而上述升格教學案例的呈現已經遠遠超越了“要注意數學思維的訓練啊！”一語的蒼白，以及單談“思維重要性”片語的孤立。張老師的升格教學環(huán)節(jié)中，最重要的是將“粗獷粗線條的啟發(fā)式教學方法”明晰明細為了“聚焦思維過程的啟發(fā)式教學方法”。啟發(fā)式教學方法絕不是單純羅列幾個問題，而是需要將數學思維過程的聚焦與關懷熔鑄其中。可以說，“問題編排”僅僅是啟發(fā)式教學方法之“形”，而“思維過程”才是啟發(fā)式教學方法之“神”。“神”為“形”本，“形”為“神”體。二者相輔相成，方能形神俱佳。

2 學科本質特征的旁落：數學教學內容的困厄

任何一個學科都有其學科的特質，這是一個關乎學科“姓氏”的大是大非的問題，不容我們任何小覷。筆者曾看到過一個關于“反比例函數的圖像與性質”的課堂案例。其中的教學片段為：

（1）觀察反比例函數的圖像（略），你能猜想出反比例函數有什么性質嗎？填寫下表。

（2）閱讀課本“思考”，小組交流各自的猜想是否正確？

中學數學是研究現實世界空間形式和數量關系的一門學科。高度的抽象性、嚴密的邏輯性、結論的相對確定性、較完整的系統(tǒng)性以及應用的廣泛性是其本質的特點，而思維能力則是數學學科能力的核心。針對這樣的學科特質，我們的教學方法要突出過程，教學內容也要相應地做出呼應。如前面敘及的案例。教師將反比例函數的圖像和性質分成了k>0和k<0兩類情況。這樣的分類已然將學生體驗分類的過程斥于教學視野之外，相應的教學內容也隨之缺失。這就會造成學生僅識表象，而不究內里：為什么當k>0時，反比例函數的圖象經過第一、三象限；當 k<0時，反比例函數的圖像經過第二、四象限？

因而，針對上述的困厄，有教師進行了完善升格：

（1）觀察六個反比例函數的圖像（略）。你能將它們分成兩類嗎？ 你是怎樣分類的？

（2）說出每種情況下函數的增減性。

如此提升后的教學環(huán)節(jié)，實際上是對數學學科特質的把握與尊重。由此而來的教學內容的呈現，更是一種智慧與思想的綻放。

前不久，筆者參加了一個公開課評課活動，有一位教研員認為：“多媒體可以激發(fā)學生興趣，優(yōu)化教學內容，進而提高教學效果。”此言確有一定的價值。但亦需我們警醒：數學教學內容的優(yōu)化的根本路徑在于對數學本質的深刻領悟與挖掘，切莫為了僅僅讓課堂變得“華麗多彩”而“聲光俱現”。

教學方法與教學內容，是任何一門學科教學的兩翼。中學數學教學唯有“重視思維過程指導”“時時秉持學科特質”，才能在學科教學方面不斷取得貨真價實的效益，在學科教育專業(yè)方面保有自己應有的地位與尊嚴。