方程在數學建模中的思想及應用研究

肖瀟

【摘 要】在大學數學學習中，常微分方程是非常重要的一項學習內容。在本文中，將就方程在數學建模中的思想及應用進行一定的研究。

【關鍵詞】方程；數學建模；思想；應用

1.引言

在初等數學中，方程類型有指數方程、三角方程以及線性方程等類型，而對于這部分方程來說，其在實際應用當中的作用有限，并不能夠對所有的實際問題進行解決。在該種情況下，要做好實際問題的研究，就需要能夠尋找能夠對部分條件進行滿足的未知數方程。其中，數學建模正是對實際問題當中復雜程度較高現象進行分析的有效方式，在實際數學知識學習中，通過對其中能夠以數學語言描述規律以及關系的發展，則能夠在將恰當數學關系進行抽象的基礎上實現向數學問題的轉化，并通過數學系統方式的應用求解數學問題，以此實現對現實問題的解釋。

2.常微分方程同數學建模的結合

對于事物來說，其始終處于發展與變化的過程當中，而其中部分對象的特性，也將隨著時間的發展而逐漸變化，且在變化當中具有一定的規律性，以此則能夠實現其未來狀態的預測，而要想尋找到對其控制的方式，則需要做好對象動態模型的建立。在根據不同類型對象進行建模處理之前，則需要能夠提前根據實際需要解決的問題類型以及建模目標進行假設以及簡化處理，之后再根據對象內部當中存在的規律以及類比情況列出相關的微分方程，在求解方程、將其實現為實際對象翻譯后做好相應的描述、分析等工作。數學建模的過程，其實質正是具有較強創造性思維的過程，在該過程中，將對實際問題本質進行分析的基礎上實現問題的解決，不僅內容來自實際，在獲得結果之后，也會將其科學的應用在實際問題的解決。根據該種情況，在面對實際問題需要處理時，就需要能夠提前選擇好解決問題的切入點，在充分聯系方程內容、特點的情況下體現數學建模思想。對于數學建模思想的培養而言，其為具有長期、持續特征的過程，并不會立即獲得效果，且同積極的鉆研具有不可分割的關系，同純粹能力不同，其在實際運行中也離不開相關的鍛煉以及培養，通常來說，在對模型建立時，其也將具有較為明顯的動態特點，該種特點的存在，則使我們在對方程進行推導時具有著非常繁瑣的特征，且具有十分簡明的結果，并在此基礎上給出正確的解釋。對此，在實際問題處理當中就需要對兩項內容進行充分而全面的結合，在對其作用充分發揮的情況下解決更多的實際問題。

3.數學建模中常微分方程的應用

3.1新產品推廣

在管理科學以及經濟學當中，經常需要對經濟變量邊際、變化以及增長相關問題進行研究，通常情況下，不僅需要能夠做好實際情況的充分把握，還需要在此基礎上按照要求建立模型，及時尋找到其中蘊藏的經濟變化規律，并做好預測以及分析處理。目前，模型具有著較多的類型，其中更常見的即為推廣、價格調整以及人才分配模型，在該項研究中，我們以推廣模型為案例進行研究。在該題目中，首先設某企業具有一項新產品需要面向市場推廣，t時刻下，該產品在市場中銷量為x（t），由于該產品在性能方面具有較好的表現，具有較好的宣傳力，對此，在t時刻，該產品的增dt/dx同x（t）之間成正比。考慮到產品在銷售當中具有市場容量N，經過統計則可以發現，dt/dx對沒有對產品進行購買顧客的潛在銷量N-x（t）具有正相關關系，由此可得：

dt/dx=kx（N-x）

其中，常數k為比例系數，始終大于0，在對積分以及變量進行分離后，則可以獲得有：

x（t）=

所得到的該表達式即稱之為邏輯斯蒂曲線，由=以及=可以發現：當00，即銷量x（t）為單調增加，當x（t ）=時，=0。經過分析發現，當銷量為最大需求量N的50%時，此時該產品最為暢銷，當銷量沒有達到50%時，銷售速度則將處于不斷增加的狀態，當銷量在50%以內時，其銷量速度則將逐漸減小。

3.2動力學模型

在微分方程當中，動力學是早起內容，其基本定理即為f=ma。該定理也正是我們以微分方程解決動力關系問題的關鍵方式。當物理處于自由下落過程中時，有兩項將對其產生重要的影響，其中第一項因素為重力作用，第二項因素即為阻力作用。在這兩種因素中，物理下落速度降同重力間具有正相關的聯系，同空氣阻力具有負相關聯系。此時，則可以設運動員的質量為m，其在跳傘過程中，降落傘因受到空氣阻力影響，則將同下落速度間具有正比的關系。此時，求該將落下降速度的變化規律。具體解答方面，首先將空氣的阻力系數設為k，在t時刻下，物體的下落速度為v，于是在t時刻下，其將受到的力為f=mg-kv，根據牛頓第二定律，則可以列出微分方程為：m=mg-kv，在經過對變量的分析處理后，可得=，在經過積分處理后得到：-ln|mg-kv|=+C1，在求解后，則可以得到，當t取向正無窮情況下，可以獲得limv（t）=。

根據測定，k=αρs，其中，ρ為介質密度，s為物體在地面上投影面積，α為同物體形狀具有關聯的常數。在實際設計中，將根據該公式對降落傘所需的直徑大小進行計算，即當跳傘著在空中的時間足夠長時，其到達地面的速度同常速mg/k近似相等，且不會超出該常速，在該種情況下，該名跳傘著才能夠安全的降落到地念，且其自由落體將根據加速度g落到地面。

4.結束語

經過上文的一系列研究，我們則可以了解到，數學相關理論的形成， 正是為了解決實際生活當中問題而進行的，而在實際建立數學模型的過程中，也正需要使用數學理論作為指導使其能夠在實際問題解決當中實現自身作用的充分發揮，并提前做好理論形成情況以及理論自身的理解，以此更好的解決實際問題。在實際生活中，即在充分觀察問題的基礎上轉化理論向能力的過程，并通過建模方式的應用不斷實現常微分方程的求解，使其在相關領域當中能夠實現自身作用的充分發揮。通過該方面的研究，也為我們未來數學知識的學習帶來了新的思路，在未來學習當中，需要能夠做好該思想的把握，在實際當中更好的實現數學知識的運用。

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