實數連續性諸命題的等價性的證明

李朋霖

摘 要：實數連續性諸等價命題為數學奠定了堅持基礎，但目前，關于諸命題的等價性證明研究較少。為了了解實數連續性命題的結構及邏輯關系，本文介紹了實數連續性的概念及其命題描述，重點探討了實數連續性諸命題的等價性證明。

關鍵詞：實數連續性諸命題等價性證明

“極限”是數學分析中的基本運算，其以實數連續性為基石。而實數連續性有效區別了實數系與理數系，呈現了二者最本質的屬性。對于實數而言，其最為顯著的特點便是連續性，其可處理多種問題，如：呈現連續變量的變化狀態，衡量不可公度線段之比等量。數學分析主要用于探討連續變量變化規律，因此，實數的連續性對其有著積極的作用。

一、實數連續性的概念及其命題的描述

關于實數連續性的概念，不同理論對其有著差異化的描述，具體表現在以下幾方面：第一，小數角度，實數為有限、無限循環、無限不循環小數；第二，戴德金角度，實數是與理數的區分；第三，康托爾角度，實數是由理數構成的基本序列；第四，魏爾斯特拉斯角度，實數為有理數集的上確界；第五，巴赫曼角度，實數為有理相關列確定的數。上述關于實數的定義，均體現出其具有連續性。

關于實數連續性命題的描述：一，單調有界數列存在極限；二，每個閉區間擁有唯一數h；三，如果非空集C有上界或者下界，則數C存在唯一的上確界或下確界；四，如果開區間集D覆蓋閉區間[a，b]，則D所擁有的有限個開區間均覆蓋上述該閉區間；五，如果C為有界無限點集，則其最少擁有一個聚點。

二、實數連續性諸命題的等價性證明

數學分析建立基礎為極限理論，該理論的基石為實數連續性，其又與有理數系有著本質區別，因此，在高等數學學習過程中全面了解與認識實數連續性具有積極的意義。關于實數連續性命題主要有：單調有界定理、有限覆蓋定理、閉區間套定理、聚點及確界定理等，上述定理利用不同形式論述了實數連續性，而具體模式為數學分析發展提供了可靠保障，本文對各個命題進行了介紹，并論證其等價性。

（一）命題描述

單調有界定理：如果數列遞增或遞減，并有上界或下界，則數列收斂，此時，單調有界數列一定有極限。閉區間套定理：假設閉區間C擁有一定性質，則C為閉區間套，同時在實數系中擁有唯一的點。界點定理，R的子集為A，y為R的某點，在一定條件下，y可為A的內點、外點及界點，如果A的任意點均為內點，則A為開集，如果數集A不等于非空，并且不等于R，則A一定存在界點。有限覆蓋定理：數軸點集S，開區間集合為H，如果點集中的任意點均含在開區間內，則H為S的開覆蓋，如果H中開區間有無限或有限個數，則H為S的有限開覆蓋或無限開覆蓋。以有限覆蓋定理為例，假設H為閉區間M的一個開覆蓋，則H中可選取出有限個開區間覆蓋M。確界定理：如果A為非空數集，存在實數β，在滿足充要條件下，β為數集A的上確界；如果A為非空數集，存在實數α，在符合充要要求下，α為數集A的下確界；如果非空數集A擁有上界與下界，則其必然存在唯一的上確界與下確界。戴德金定理：將實數劃分為兩類，在滿足一定條件下，可對二者進行分拆，即：實數域劃分，其中包括下類與上類，以實數域R為例，將其劃分為A與B，必然存在實數β，此后將獲得下類最大數與上類最小數。

（二）等價性證明

在明確實數連續性各命題后，可借助閉循環回路方法證實任意兩個命題等價，在此基礎上，不僅了解了系統各命題，還可認識其等價性，進而利于掌握證明分析中的關鍵定理思想方法。下面介紹幾個定理的等價證明，具體如下：

1.單調有界定理與閉區間套定理，主要是證明ξ的存在性與唯一性，具體如下：[an，bn][an+1，bn+1]→數列單調增加且有上界→數列有極限。

假設ξ→ξ∈[an，bn]。同時，ξ唯一。

2.區間套定理與有限覆蓋定理，證：利用反證法，兩個定理結論均不成立，即：H中的有限個開區間難以覆蓋[a，b]。此后將[a，b]進行等分，使其成為兩個子區間，其中最少有一個子區間難以利用H中的有限個開區間覆蓋，則記其為[a1，b1]，此時[a1，b1][a，b]，并且b1-a1=1/2（b-a）。再將[a1，b1]進行等分，使其成為兩個子區間，最少有一個子區間難以利用H中的有限個開區間覆蓋，記其為[a2，b2]，此時[a2，b2][a1，b1]，并且b2-a2=1/2（b1-a1）。上述步驟反復后，可獲得閉區間列，在其滿足一定條件下，可獲得區間套，其中的任意閉區間均難以利用H中的有限個開區間覆蓋，在此定理中，存在唯一點，由于H為[a，b]的一個開覆蓋，經證明，必然存在屬于H的有限個開區間覆蓋[a，b]。

3.有限覆蓋定理與界點定理，證：E為非空，使用發證法，假設E在[a，b]上無界點，由于[a，b]屬于有界閉集，其一定被有限個開區間覆蓋，此后從[a，b]中取有限個點，各點的領域并起來可覆蓋[a，b]，二者矛盾，因此，假設不成立。

三、總結

綜上所述，實數連續性定理形式各異，但均論述了實數集的連續性，為解決相關問題，表達式及證明方式各異，本文證明了各定理的等價性，相信，日后學習者關于實數連續性的認知將更加深刻。

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