大學經濟數學

田東紅　李玲娜

[摘 要]大多數經濟類專業學生在學習大學經濟數學——微積分時，存在熱情不高、學習能力較弱、為考試過關而學習等現象。如何有效地改變學生的學習狀態，是每個任課教師都應該思考的問題。實例教學設計是一種導向，通過經濟管理領域內的實際問題，將經濟學與數學有效地結合在一起，引入數學建模思想，改變教學方式和方法，以期調動學生的學習積極性。

[關鍵詞]經濟數學；微積分；教學方法；數學建模；案例教學

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2017）02-0068-02

一、引言

我給經濟類專業學生講授經濟數學——微積分課程已有好幾年了，經過這些年與經濟類專業學生接觸，總結出他們在學習該門課程時的幾個特點：一是大多數經濟類專業學生是文科生，數學基礎較薄弱，運算能力和邏輯推理能力普遍較差，學生學習該課程時經常出現畏難情緒；二是與理工科學生相比，大多數經濟類專業學生學習數學課程的熱情較低，覺得數學課程跟專業課關系不大，沒有意識到數學知識對專業課程的作用而應付了事；三是他們應用數學知識解決實際問題的能力普遍較差，缺乏運用數學知識解決經濟管理中實際問題的意識。

如何在經濟數學——微積分課程的教學中，有效地改變學生的學習狀態、調動學生的主動性、提高學生解決實際問題的能力，使得課堂不再枯燥無味是亟待解決的問題。本文主要探討教師在經濟數學——微積分授課中進行案例教學以及滲透數學建模思想，從而將數學與經濟學有效結合，以期收到更好的教學效果。

二、將經濟管理中的問題滲透到教學中

在經濟管理中，有很多理論與現象都跟數學知識緊密聯系，教師在講解經管院的數學課程時，要注意將數學與經濟學相結合。但是將兩者結合時，要注意在肯定經濟分析中數學重要作用的同時，也不能過分強調數學的作用，否則，學生會對數學學習產生畏難情緒甚至會厭煩數學。授課過程中，極限、導數、積分、微分方程、差分方程、無窮級數等重要知識點都可以結合經濟問題講解，具體的教學設計可以參考“經濟——數學——經濟”的模式展開，即從實際經濟現象出發，引導學生思考，再應用數學理論方法分析問題的實質，從而引出數學知識點，最后再用所學知識點指導學生分析類似的經濟問題。比如，導數是微積分中的重要概念，在經濟中也有廣泛應用，在講解導數時，可以按照下面的教學設計展開。

（一）精心選取引例

教師通過具體實例，提出經濟管理中邊際的概念。邊際是經濟學中進行經濟分析時經常用到的一個概念，在微觀經濟學中是指自變量增加一個單位時所引起的因變量的增加量。但是對于大多數大一學生來說，他們還沒有聽說過邊際的概念，教師不宜選取復雜的引例，而應給學生舉一些生活中常見的實例，引導學生思考。比如，一個人肚子很餓，打算買饅頭吃，第一個饅頭帶給他的效益最大，因為那時候他最餓；第二個饅頭的效益就比第一個饅頭減少了，因為有一個饅頭已經進肚了，不是那么餓了……第五個的效益最小甚至為負，因為那個時候他幾乎已經吃飽甚至都要吃撐了。每支出一個饅頭的價錢產生的效益，也就是你感覺花每一份錢買來的價值，就是邊際效益。這樣教學就能生動地引入經濟管理中邊際的概念。

（二）講解數學概念

在引例的基礎上，提出數學中導數的概念。當一個變量（效益）隨另一個變量（饅頭數量）發生變化時，導數提供了關于這種變化的大小和方向的信息，這樣就可以與引例呼應。假設產品數量是連續變化的，于是產品單位可無限細分。若產品數量從x增加到x+Δx，由此引起的總效益增量為ΔR=R（Δx+x）-R（x），兩者的比值■=■表示在x和x+Δx之間總效益的平均變化率。當Δx → 0時，若■■存在，則將此極限稱為邊際效益，在數學上稱為效益函數的導數，記為R′（x）。于是，經濟學中求邊際效益的問題就轉化為數學上求導數的問題。

（三）強化經濟學與數學的結合

教師講解完導數的概念后，再引導學生回到經濟管理中的邊際問題，如邊際成本、邊際收入、邊際需求、邊際利潤等。舉一個邊際利潤的實例：通過歷史銷售數據分析發現，總利潤L（元）與每月產量x（支）之間的函數關系為L（x）=250x-50x2，請學生確定每月產量為20支時的邊際利潤。該問題類似于引例中的邊際效益，可引導學生根據邊際效益計算邊際利潤。所求的邊際利潤應為總利潤函數在自變量為20時的導數：L′（20）=■■=50。可知當x=20支時，每增加1支產量，利潤增加50元。

三、將數學建模思想滲透到經濟數學教學中

素質教育是數學教育的本質。教師在數學教育中不僅要讓學生學會一些概念、定理和公式，更要讓學生領會到數學精神，學會“用數學”。但是，長期以來的傳統教育顯然是不夠重視對學生“用數學”能力的培養，學生學習數學時感到十分吃力，甚至產生畏難情緒，這種現象在文科生中更為明顯。基于這種現狀，任課教師應考慮將數學建模思想滲透到經濟數學教學中。通過具體實例的建模過程，學生將體會到數學學習的重要性，更加積極主動地運用數學知識解決實際問題。如何在教學中滲透數學建模思想是一個值得探討的問題。一般情況下，數學知識不能直接解決實際問題，需要依據變量和變量之間的關系建立數學模型。教師可以參考下面的案例進行教學設計。

（一）案例準備，提出問題

為了提高學生解決實際問題的能力，更好地理解所學知識，教師講授完一個重要知識點或章節后，要精心準備實際問題，除了要與理論知識密切聯系外，還要講究趣味性，另外要注意結合學生的實際水平，不能選太復雜的問題。比如，在講完函數的極值與最值知識點之后，可花一個學時來講解類似下面的建模問題。

有甲、乙兩家企業生產同一種產品，邊際成本函數分別為C1和C2，該產品的價格關于需求量的函數為P（Q）=a-bQ，其中Q=q1+q2為兩家企業的總產量，a，b均為非負常數。若乙企業先宣布其產量為q2，那么兩家企業該怎樣安排生產，才能使各自的利潤達到最大值？

（二）分析問題，建立數學模型

本題實際上是一個合理安排生產量的問題，目標應該是兩個企業的利潤各自達到最大值，需要用到數學中求極值與最值的知識。

依據“利潤是收入與成本的差額”的經濟學思想，教師引導學生寫出甲、乙兩家企業各自的利潤函數：Ri（q1，q2）=p（Q）qi-Ciqi，i=1，2，其中i=1代表甲企業，i=2代表乙企業。乙企業已經先宣布產量為q2，對于甲企業來說，目標應為在乙企業產量為q2時確定產量 ■，使利潤達到最大值。然而對于乙企業來說，可以預測到甲企業的產量將為 ■ ，乙企業必然會在甲企業產量 ■ 的條件下，確定最優產量 ■，以使利潤達到最大值。于是目標函數可建為 maxR1（q1，q2）=[a-b（q1+q2）]q1-C1q1

maxR2（■，q2）=[a-b（■+q2）]q2-C1q2

（三）求解模型，分析結果

根據極值的相關理論，求極大值的問題可以轉化為求駐點的問題，于是應有■=a-2bq1-bq2-C1=0，從而可以解出甲企業的最優產量 ■ =■。同理可建立方程■=0，將 ■ 代入方程即可解得 ■ =■。

此時， ■ 和 ■ 滿足斯塔克爾伯格均衡。斯塔克爾伯格模型是一個產量領導模型，廠商之間存在著行動次序的區別。產量的決定依據以下次序：領導性廠商決定一個產量，跟隨廠商可以觀察到這個產量，然后根據領導性廠商的產量來決定自己的產量。需要注意的是，領導性廠商在決定產量的時候，會充分了解到跟隨廠商將如何行動。因此，領導性廠商自然會預期到決定的產量對跟隨廠商的影響。對于這種問題，我們可以使用數學中求最值的思路建立數學模型解決。由此可見，數學建模在經濟管理中起著重要作用，有利于資源有效配置。

（四）模型檢驗和改進

該模型還需要進一步檢驗和改進，此處省略。

四、結語

傳統的經濟數學——微積分課程的授課方式還有很多值得探討的地方，本文所提出的實例教學設計是一種導向，通過經濟管理領域內的實際問題，將經濟學與數學有效地結合在一起，引入數學建模思想，改變教學方式和方法，以期調動學生的學習積極性。任課教師應根據具體的授課內容和授課對象，多選取經濟管理領域內的實際例子進行教學設計，使經濟類專業學生喜歡上數學，提高他們運用數學知識解決問題的能力。

[ 參 考 文 獻 ]

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[5] 劉富豪，張麗莉，蔣漢軍.淺談大學教學中數學建模研究與實踐[J].大學教育，2014（3）.

[責任編輯：鐘偉芳]