云計(jì)算技術(shù)在美式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用

劉源++張金燕

摘 要 美式期權(quán)由于允許期權(quán)持有人在期權(quán)到期日之前的任何時(shí)刻執(zhí)行期權(quán)，其定價(jià)過(guò)程復(fù)雜。云計(jì)算是一種新型的超級(jí)計(jì)算方式，在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、數(shù)據(jù)管理等多方面具有自身獨(dú)特的技術(shù)，符合美式期權(quán)定價(jià)的數(shù)據(jù)密集型屬性。本文就是采用云計(jì)算技術(shù)構(gòu)建一個(gè)分布式環(huán)境，通過(guò)并行化算法，并產(chǎn)生大量模擬數(shù)據(jù)，來(lái)解決美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】云計(jì)算 并行化 美式期權(quán)

期權(quán)是一種廣泛的金融衍生產(chǎn)品，它即是一種投資手段，也能幫助買方規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。其中美式期權(quán)允許期權(quán)持有人在期權(quán)到期日之前的任何時(shí)刻執(zhí)行期權(quán)，所以其定價(jià)過(guò)程十分復(fù)雜，運(yùn)算量及數(shù)據(jù)規(guī)模都極端龐大。云計(jì)算技術(shù)的迅速發(fā)展為這一課題提供了良好的運(yùn)算環(huán)境與條件。

1 美式期權(quán)的定價(jià)方法

目前對(duì)于期權(quán)定價(jià)的方法有Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方法和蒙特卡羅模擬方法等。前者給出顯式解，但只適用于某些比較特定的情形。蒙特卡羅模擬方法是一種在期權(quán)定價(jià)上非常有效的數(shù)值方法，近年來(lái)許多研究也是針對(duì)蒙特卡洛方法開(kāi)展的。蒙特卡洛方法可以模擬多標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格路徑，從而克服了二叉樹(shù)模型和有限差分模型不能為多標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)的問(wèn)題。最小二乘蒙特卡洛方法 （LSM）能模擬多資產(chǎn)標(biāo)的價(jià)格，同時(shí)又能解決提前執(zhí)行期權(quán)的問(wèn)題。為了使定價(jià)結(jié)果盡可能的準(zhǔn)確，在使用蒙特卡羅方法時(shí)應(yīng)盡可能多的產(chǎn)生樣本路徑數(shù)據(jù)，以保證定價(jià)的可靠性。但是大數(shù)據(jù)量產(chǎn)生同時(shí)也帶來(lái)運(yùn)算困難的問(wèn)題，因此可以考慮采用分布式的云計(jì)算模型來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2 LSM模擬算法的實(shí)現(xiàn)步驟

LSM模擬方法是根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的模擬樣本路徑在每個(gè)時(shí)刻的截面數(shù)據(jù)，利用最小二乘法回歸求得繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益，并將其與該時(shí)刻立即執(zhí)行期權(quán)的收益相比較，如果后者大于前者，則立即執(zhí)行期權(quán)。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下文所述。

2.1 生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格樣本路徑

根據(jù)期權(quán)理論，我們假設(shè)期權(quán)的到期日為T，執(zhí)行時(shí)間為T*，則對(duì)歐式期權(quán)而言，T=T*，即期權(quán)只能在到期日?qǐng)?zhí)行；對(duì)美式期權(quán)而言，T*∈[0，T]，即期權(quán)可以在到期日前的任意時(shí)刻執(zhí)行。期權(quán)在執(zhí)行時(shí)間T*的價(jià)值為：

通過(guò)隨機(jī)抽樣對(duì)公式f進(jìn)行求解，從而得到期權(quán)價(jià)值的一種數(shù)值方法。因此，價(jià)格路徑的生成就顯得非常重要。給定發(fā)行日的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為S0，任意時(shí)刻ST標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為：

其中δ是標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率，由公式2可以得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的一條樣本路徑，經(jīng)過(guò)M次模擬，就可以得到樣本路徑矩陣P。

2.2 最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間和期權(quán)受益的計(jì)算

在每條路徑上，LSM方法通過(guò)逆向求解，從期權(quán)到期日開(kāi)始，通過(guò)回歸得到一個(gè)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多項(xiàng)式，我們將樣本路在時(shí)刻i的價(jià)格Si作為X值，將對(duì)應(yīng)的樣本路徑上的未來(lái)期望收益的貼現(xiàn)值作為Y值，并采用多元線性回歸的方法：

為了求解每條樣本路徑上的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間和相應(yīng)的期權(quán)收益，我們從到期日開(kāi)始考慮，期權(quán)執(zhí)行的條件是執(zhí)行期權(quán)當(dāng)且僅當(dāng)期權(quán)是溢價(jià)的，同事還要考慮繼續(xù)持有期權(quán)至到期日的期望收益的貼現(xiàn)值，如果它小于X- Sn-1，則立即執(zhí)行期權(quán)，否則，繼續(xù)持有期權(quán)。我們僅以那些在N-1時(shí)刻處于溢價(jià)的樣本路徑為基礎(chǔ)進(jìn)行回歸。以N時(shí)刻的收益在N-1時(shí)刻的貼現(xiàn)值作為Y值，Sn-1作為X值，采用曲線擬合，就可求的各項(xiàng)系數(shù)，然后再求出此時(shí)的未來(lái)預(yù)期收益，然后決定此時(shí)是否執(zhí)行期權(quán)，以此類推，即可計(jì)算出執(zhí)行時(shí)刻和收益的貼現(xiàn)值。

3 算法并行化設(shè)計(jì)

為了充分利用云計(jì)算技術(shù)強(qiáng)大的運(yùn)算能力，需要多整個(gè)期權(quán)定價(jià)的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行并行化設(shè)計(jì)。最終選擇在每一步的最小二乘法回歸處進(jìn)行并行化處理，每一步的最小二乘法采用公式3進(jìn)行擬合，則問(wèn)題等價(jià)于求解矩陣（XTX）β=XTy。

本論文選擇使用開(kāi)源的Hadoop平臺(tái)實(shí)現(xiàn)算法。Hadoop平臺(tái)對(duì)于矩陣的運(yùn)算具有顯著優(yōu)勢(shì)。Map函數(shù)負(fù)責(zé)將每一條價(jià)格路徑作為一條記錄提交提交給節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)對(duì)這些價(jià)格路徑求解矩陣， Reduce函數(shù)負(fù)責(zé)將所有矩陣的對(duì)應(yīng)元素相加，得到XTX矩陣。與此類似，XTy也用相同的方法求得。在求出這兩個(gè)矩陣之后，利用多元線性回歸，求得最小二乘法的系數(shù)向量，進(jìn)而倒推得出最終期權(quán)價(jià)格。

4 測(cè)試結(jié)果及結(jié)論

測(cè)試平臺(tái)選擇Hadoop集群的MapReduce模塊，一個(gè)NameNode，3個(gè)DataNode，對(duì)比測(cè)試環(huán)境使用單機(jī)MATLAB。為了使定價(jià)結(jié)果盡可能的準(zhǔn)確，在使用蒙特卡羅方法時(shí)應(yīng)盡可能多的產(chǎn)生樣本路徑數(shù)據(jù)，以保證定價(jià)的可靠性。但是大數(shù)據(jù)量產(chǎn)生同時(shí)也帶來(lái)運(yùn)算困難的問(wèn)題，因此可以考慮采用分布式的云計(jì)算模型來(lái)實(shí)現(xiàn)。

通過(guò)上述論斷可以看出，在價(jià)格路徑較少的情況下，云計(jì)算平臺(tái)的優(yōu)勢(shì)并未發(fā)揮，這是因?yàn)樵诜植际降倪\(yùn)算中，用于節(jié)點(diǎn)間通信的消耗較大，此時(shí)單機(jī)運(yùn)算效率更高；當(dāng)價(jià)格路徑及時(shí)間點(diǎn)數(shù)增加的時(shí)候，云計(jì)算平臺(tái)的分布式計(jì)算能力優(yōu)勢(shì)明顯，運(yùn)算效率趕超單機(jī)模型；當(dāng)數(shù)據(jù)量大到一定程度時(shí)，單機(jī)運(yùn)算模型將無(wú)法負(fù)擔(dān)運(yùn)算的強(qiáng)度。

參考文獻(xiàn)

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[2]Wang F Y，Yan A M，Yang L F.Combined application of cloud computation technology and Business Intelligence[C].ICECE，2011：2933-2936.

作者簡(jiǎn)介

劉源（1986-），男，河南省鶴壁市人。碩士研究生學(xué)歷?，F(xiàn)為鶴壁汽車工程職業(yè)學(xué)院助教。主要從事網(wǎng)絡(luò)計(jì)算、物聯(lián)網(wǎng)方向的研究。

張金燕（1987-），女，河南省鶴壁市人。碩士研究生學(xué)歷?，F(xiàn)為鶴壁汽車工程職業(yè)學(xué)院助教。主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)、金融工程方向的研究。

作者單位

鶴壁汽車工程職業(yè)學(xué)院 河南省鶴壁市 458030