基于協方差矩陣重構穩健波束形成算法

陳明建,龍國慶,黃中瑞

(合肥電子工程學院,合肥 230037)

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【專家特稿】

基于協方差矩陣重構穩健波束形成算法

陳明建,龍國慶,黃中瑞

(合肥電子工程學院,合肥 230037)

提出了一種新的基于協方差矩陣重構的穩健算法。該算法基于最小化輸出期望信號空間倒譜，利用多項式擬合估計期望信號的導向矢量；從數據協方差矩陣中減去期望信號部分，得到干擾加噪聲協方差矩陣，通過修正方法實現對干擾加噪聲協方差矩陣的準確估計，解決了低信噪比時由于信號子空間發生纏繞，導致協方差矩陣估計存在較大誤差的問題；理論分析與仿真實驗表明了該算法的有效性和穩健性。

穩健自適應波束形成；協方差矩陣重構；導向矢量估計；信干噪比

傳統自適應波束形成在理想情況下能夠獲得良好性能[1]。然而實際上訓練數據中不可避免包含期望信號，且存在指向誤差、陣列幅相誤差、信號散射等因素導致導向矢量無法精確獲得，期望信號有可能被當成干擾，從而出現信號自相消現象。學者們相繼提出了各類穩健自適應算法解決該問題。主要分為以下4類：對角加載算法、特征空間算法、不確定集約束算法以及干擾加噪聲協方差矩陣重構算法。對角加載算法是在任意陣列響應誤差和小樣本數據情況下常用的穩健波束形成算法之一，但如何選擇最優的對角加載量，是該算法難題[2-6]。特征空間法是利用期望信號導向矢量在信號和干擾子空間內的投影代替原導向矢量本身，從而減輕信號自相消現象，提高輸出信干噪比(SINR)。但該算法在低信噪比時性能下降甚至完全失效[7-9]。針對上述傳統方法的不足，基于不確定集約束的穩健波束形成方法相繼提出[10-16]，如最差性能最優化穩健波束形成(WCPO)、穩健Capon波束形成(RCB)等。由于不確定集穩健算法的陣列接收信號中包含期望信號，在高信噪比時仍然會出現信號相消現象，算法性能受限于導向矢量模約束參數選取，且需要優化算法求解權向量，計算復雜度較高，不利于工程應用。針對上述問題，最近一些學者提出了基于干擾和噪聲協方差矩陣重構的穩健算法[17-21]，如文獻[17]提出基于空間譜的干擾加噪聲協方差重構算法，但需要對期望方向外所有空域進行譜估計，計算量較大。文獻[18-19]提出一種新的協方差矩陣重構算法，避免積分運算，但該算法只適用于陣列響應模型準確的情況。若陣列存在幅相誤差、互耦等時算法性能將下降。文獻[20]分析了特征空間法能夠獲得穩健波束形成的機理，提出了基于信號子空間重構的穩健算法，在任意SNR情況下均能獲得穩定性能。文獻[21]利用導向矢量的環面不確定集約束，一定程度上解決了任意陣列模型失配導致波束形成性能下降的問題，進一步提高了算法的適用性，但該算法導向矢量計算較為復雜，且若模約束參數選擇不當，算法穩健性能改善有限。

針對上述問題，本文提出了一種新的基于干擾加噪聲協方差矩陣和導向矢量聯合估計的穩健算法，該算法基于最小化期望信號空間倒譜，利用多項式擬合近似求解期望導向矢量和期望信號功率；然后利用接收信號的協方差矩陣中減去期望信號的協方差矩陣，得到干擾加噪聲協方差矩陣。同時，為了解決低信噪比時協方差矩陣存在較大估計誤差的問題，對干擾加噪聲協方差矩陣進行修正，得到了更為準確的協方差矩陣；最后利用Capon算法得到最優權矢量。

1 問題描述

1.1 信號模型

假設由M元各向同性等距線陣組成接收陣列，遠場空間的K個相互獨立的窄帶平面波信號以到達角(DOA)θk入射到該陣列，若x(t)表示M×1維復采樣接收數據，則

(1)

(2)

其中Ri+n表示干擾加噪聲的協方差矩陣。

利用拉格朗日乘子法可得最優權向量為

(3)

實際中，協方差矩陣通常由多次快拍估計得到，即

(4)

在理想情況下MVDR波束形成器性能理論上能達到最優，但實際應用中存在各種非理想因素(如信號的DOA失配、信源散射、陣元通道誤差、陣元位置誤差、陣元互藕、短快拍、多徑信號干擾等)，導致目標信號的導向矢量和數據協方差矩陣估計出現失配，而基于采樣矩陣求逆的MVDR形成器對模型失配特別敏感，尤其是當訓練樣本中出現目標信號時，導致波束形成器的性能嚴重下降甚至完全失效。

1.2 各類失配對算法性能的影響

(5)

(6)

(7)

則可以推導得到輸出SINR為[1]

(8)

其中

(9)

2 典型的穩健自適應算法

2.1 對角加載法

對角加載算法(DL)的核心思想是通過在常規Capon算法的代價函數式中增加一個二次項調整權重向量，即將約束優化問題修改為

(10)

(11)

對角加載算法一定程度上能夠克服模型失配導致算法性能下降的問題，但該算法的關鍵是如何確定最優加載量。對角加載因子γ選擇過小或者過大，都無法達到穩健自適應波束形成的目的。

2.2 特征子空間法

基于特征子空間算法是通過將導向矢量投影到信號加干擾子空間，得到新的導向矢量：

(12)

將式(12)代入式(3)可得

(13)

對期望信號進行投影，一方面可以消除噪聲子空間擾動帶來的影響，另一方面進一步修正期望信號導向矢量，減小誤差的影響。但該算法的不足是在低信噪比時或者信源數未知時，由于子空間的纏繞(Subspace Swaps)無法準確獲得的信號加干擾的子空間，從而導致波束器的穩健性能下降。

2.3 最差性能最優法

最差性能最優法(WCPO)主要思想是設計權值，使導向矢量在已知的不確定集A內的最差情況下的陣列響應都大于1，即

(14)

式(14)是一個二階錐優化問題，可以使用內點法求解。最差性能最優算法性能的好壞取決于不確定集的ε取值，這在實際應用中很難準確獲得，因此ε取值不當將造成算法性能嚴重下降。

2.4 協方差矩陣重構法

該算法的主要思想是通過矩陣重構剔除協方差矩陣中期望信號，得到干擾加噪聲協方差矩陣估計值，其可以通過空間譜積分得到，即

(15)

(16)

(17)

3 本文算法

3.1 導向矢量估計

式(16)約束優化問題是M維搜索優化問題，算法復雜度較高，不利于工程應用。本文提出了最小化期望信號空間倒譜，利用多項式擬合得到期望信號的導向矢量。算法模型可描述為

(18)

其中Θ=[θ1,θ2]屬于期望信號的預估計方向區域，Θ可以通過常規Capon算法在期望信號來波方向波束圖的3 dB寬度來確定。

式(18)是一維約束優化問題，可利用多項式擬合思想求解該問題[16]，即

(19)

其中Q為多項式階數，ci為多項式系數。若定義向量c=[c0,c1,…,cQ-1]T， ψ=[1,θ1,…,θQ-1]T，則式(19)可以通過最小二乘算法求解，即

(20)

易得最優解為

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

需要說明的是，當信號來波方向估計存在失配時，上述方法可以獲得準確的導向矢量；若存在其他陣列誤差，如陣列幅相誤差、位置誤差、陣元互耦等。雖然沒法獲得準確的導向矢量，但估計的非“真實”導向矢量能夠獲得最大輸出信干噪比。

3.2 干擾加噪聲協方差矩陣估計

期望信號的功率可用下式估計得到

(25)

(26)

(27)

(28)

綜上所述，本文算法步驟歸納如下：

4 仿真實驗

考慮10元均勻線陣，陣元間距為半波長；假設空間存在1個目標信號和2個不相關的干擾信號，其中目標的來波方向為5°，信噪比為10 dB；2個干擾信號的來波方向分別為-25° 和45°，干噪比均為30 dB。采樣快拍數為100，陣元各通道噪聲均為復高斯白噪聲。

為了驗證本文算法的有效性，分別對固定對角加載算法、特征空間法算法、最差性能最優算法、文獻[17,21]算法以及本文算法進行仿真實驗，其中對角加載算法對角加載量取10倍白噪聲功率；最差性能最優算法參數設置與文獻[10]相同。

仿真1 存在指向誤差時穩健性能

假定來波方向為0°，即來波方向誤差Δθ=5°。圖1為存在指向誤差時各算法輸出SINR隨輸入SNR變化曲線。圖2為存在指向誤差時各算法輸出SINR隨快拍數變化曲線(輸入SNR為10 dB)。

圖1 存在指向誤差時SINR隨SNR變化曲線

由圖1可知，當輸入SNR較小時，除了特征空間法外，其他穩健算法輸出SINR性能大致相同；隨著輸入SNR逐漸增大時，基于協方差矩陣重構類的穩健算法性能明顯優于其他算法。這說明當陣列模型準確已知時，通過重構干擾加噪聲的協方差矩陣，消除了期望信號成分，有效避免的各類誤差引起的信號自相消，此外，通過對目標信號導向矢量有效估計，保證了目標信號波束增益無損失，進一步提高了算法穩健性能。

圖2 存在指向誤差時SINR隨快拍數N變化曲線

由圖2可知，基于協方差矩陣重構類穩健算法的SINR能夠較快收斂于最優值SINR，本文算法收斂速度略慢于文獻[17,21]算法，這主要是因為本文算法的協方差矩陣重構依賴于期望信號導向矢量估計，而導向矢量是通過多項式擬合求得，當快拍數較小時，存在一定擬合誤差，因此算法的性能有一定的損失，但當快拍數大于80時，算法性能基本收斂到接近最優值。

需要說明的是，本文算法與文獻[17,21]算法性能一致，但協方差矩陣無需積分求解，且沒有通過優化算法求解導向矢量，而是利用多項式擬合思想求解來波方向，因此算法復雜度較小。

仿真2 存在幅相誤差時穩健性能

考慮陣列是未精確校準的，陣列通道的幅度和相位均存在一定誤差，其誤差均服從高斯分布，其中幅度誤差服從CN(1,0.052)，相位誤差服從CN(0,(0.025π)2)，符號CN(a,σ2)表示隨機變量服從均值為a、方差為σ2的高斯分布。期望信號來波方向準確已知，其他仿真參數不變。

圖3、圖4分別為陣列存在幅相誤差時各算法SINR隨SNR變化曲線、SINR隨快拍數變化曲線。

由圖3可知，當SNR小于0 dB，本文算法與對角加載、最差性能最優法性能相當，但當SNR大于0 dB，本文算法要優于其他類算法，文獻[17]算法性能依賴于陣列模型準確已知，若陣列存在幅相誤差、互耦、陣列位置誤差等算法性能下降。而文獻[21]提出了基于導向矢量不確定集的修正重構算法，雖然一定程度上改善了算法性能，但需要已知導向矢量誤差模值，若該系統參數設置不合理，算法性能將受到影響。

圖3 存在幅相誤差時SINR隨SNR變化曲線

圖4 存在幅相誤差時SINR隨快拍數N變化曲線

由圖4可知，本文算法在快拍數接近100時，算法性能漸進收斂于最優值，而其他類穩健算法均無法收斂到最優值。

仿真3 導向矢量存在隨機誤差時穩健性能

圖5 導向矢量存在隨機誤差時SINR隨SNR變化曲線

圖6 導向矢量存在隨機誤差時SINR隨快拍數N變化曲線

由圖5、圖6可知，在低信噪比時，本文算法與最差性能最優算法接近，而在高信噪比時，本文算法的優勢逐步顯現，即使導向矢量存在隨機誤差，算法性能仍然較優。

仿真實驗4 導向矢量存在相干局部散射時穩健性能

從圖7、圖8可知基于協方差矩陣重構算法的性能明顯優于其他算法，隨著輸出SNR增大，該類算法的干擾抑制能力優勢更加明顯，SINR能夠較快收斂于最優值，且本文算法性能略優于文獻[17,21]的重構穩健算法。

綜上所述：本文提出基于協方差矩陣重構的穩健算法，在導向矢量存在任意失配時，陣列輸出SINR均能夠收斂于最優值，且算法復雜度較低，便于工程實現。

圖7 存在相干散射時SINR隨SNR變化曲線

圖8 存在相干散射時SINR隨快拍數N變化曲線

5 結束語

針對標準Capon波束形成器存在陣列模型失配時性能下降的問題，本文提出了一種基于干擾加噪聲協方差矩陣重構的穩健波束形成算法。該算法利用多項式擬合方法得到導向矢量估計，再根據數據協方差矩陣特征分解重構得到的干擾加噪聲協方差矩陣。該算法的主要優點：無需陣列失配程度的先驗信息或經驗參數的設置，且適合于任意陣列失配情況；當存在導向矢量誤差和局部散射等情況時，仍能保證在較大信噪比范圍內SINR性能均接近理論最優；算法求解無需任何優化算法，減小了計算量，有利于工程實現。

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(責任編輯 周江川)

Robust Adaptive Beamforming AlgorithmBased Interference-Plus-Noise Covariance Matrix Reconstruction

CHEN Ming-jian, LONG Guo-qing, HUANG Zhong-rui

(Electronic Engineering Institute, Hefei 230037, China)

A novel robust algorithm was proposed. In contrast to previous works, the true desired signal steering vector was estimated by solving an optimization problem, and a computationally efficient steering vector estimator has been proposed by polynomial function. The interference-plus noise covariance matrix can be reconstruction by subtracting the desired signal component from the sample covariance matrix. However, when the desired signal presented in the training data is weak, the signal subspace will suffer from the high probability of subspace swap, and as a result, the desired power associated with desired signal will deviate from its true value severely. To prevent the absence of the desired signal steering vector in the estimated signal-plus-interferences subspace, we defined the modified interference-plus noise covariance matrix. The main advantage is that the proposed algorithm is robust against unknown arbitrary type mismatches. Theoretical analysis and simulation results demonstrate the effectiveness and robustness of the proposed algorithm.

robust adaptive beamforming; covariance matrix reconstruction; steering vector estimation; signal to interference plus noise ratio

2016-11-18；

2016-12-15

安徽省自然科學

基金項目(1608085QF140)

陳明建(1983—),男,本刊審稿專家，博士，講師，主要從事光學工程與電子技術研究。

10.11809/scbgxb2017.04.001

陳明建,龍國慶,黃中瑞.基于協方差矩陣重構穩健波束形成算法[J].兵器裝備工程學報，2017(4):1-7.

format:CHEN Ming-jian, LONG Guo-qing, HUANG Zhong-rui.Robust Adaptive Beamforming Algorithm Based Interference-Plus-Noise Covariance Matrix Reconstruction[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(4):1-7.

TN911.7

A

2096-2304(2017)04-0001-07